凍 芳 芳，劉 沁 薇，王 淑 梅，劉 建 偉

(1.江西省水文局，江西 南昌 330000； 2.江西省上饒市水文局，江西 上饒 335100)

水文模型應(yīng)用于洪水預(yù)報時，除了水文過程本身固有的自然不確定性外，還存在模型輸入、模型參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)的不確定性，這些不確定性的存在必將導(dǎo)致洪水預(yù)報成果存在不確定性[1-3]。關(guān)于如何定量描述洪水預(yù)報成果不確定性的研究一直是水文領(lǐng)域的熱點。縱觀國內(nèi)外關(guān)于洪水預(yù)報不確定性分析的研究，大體上可以分為基于不確定性要素耦合途徑和基于預(yù)報總誤差分析途徑兩類[4]。不確定性要素耦合途徑的實質(zhì)是分析預(yù)報過程中各環(huán)節(jié)的主要不確定性因子，估計其概率分布，再將這些不確定性耦合到洪水預(yù)報模型中，從而量化預(yù)報成果的不確定性[5-8]；預(yù)報總誤差分析途徑不直接處理模型輸入數(shù)據(jù)、模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不確定性，代之以處理其綜合誤差(即終端輸出誤差)，算法上不依賴于具體的水文預(yù)報模型，可以與任何模型相耦合，最終以后驗分布的形式直接提供模型輸出變量概率分布的估計，量化洪水預(yù)報成果的不確定性[4，9-10]。

水文不確定性處理器(HUP)是預(yù)報總誤差分析方法的一種，被廣泛應(yīng)用于洪水預(yù)報不確定性分析中[11-14]。針對采用最小二乘法估計HUP模型參數(shù)過程中存在的多重共線性問題，Yao等[15]提出采用主成分分析技術(shù)(PCA)對傳統(tǒng)HUP模型進(jìn)行改進(jìn)，避免了HUP模型中似然函數(shù)求解過程中的多元共線性問題。

本文以江西省信江流域梅港水文站為研究對象，采用PCA-HUP模型分析洪水預(yù)報不確定性，在提供類似于傳統(tǒng)定值預(yù)報結(jié)果的同時，可實現(xiàn)預(yù)報成果的不確定性定量評估，為進(jìn)一步提升信江流域防洪減災(zāi)決策的科學(xué)水平提供技術(shù)支撐。

1 方法原理

1.1 HUP基本理論

設(shè)H0為預(yù)報時刻已知的實測流量，Hn，Sn(n=0，1，2，…，N)分別為待預(yù)報的實測流量、確定性水文模型的預(yù)報流量，估計值分別用hn，sn表示，N為預(yù)見期的長度。根據(jù)貝葉斯原理及任意的觀測值H0=h0，在Sn=sn的條件下，可求得Hn的后驗密度函數(shù)[10-11]：

(1)

式中：hn為Hn的估計值；sn為Sn的估計值；h0為預(yù)報時刻已知的實測流量；fn為Hn的似然函數(shù)；gn為先驗密度函數(shù)。

預(yù)報量后驗分布函數(shù)的形式復(fù)雜，為了簡化計算及推求預(yù)報量后驗分布的解析解，一般先通過正態(tài)分位數(shù)轉(zhuǎn)換將非正態(tài)的流量序列分布轉(zhuǎn)換為亞高斯分布，在正態(tài)空間中對先驗分布式和似然函數(shù)式進(jìn)行線性假設(shè)，并采用最小二乘法對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計[11]。

令Q表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，q表示相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，則Hn與Sn轉(zhuǎn)換后的正態(tài)分位數(shù)可分別表示為

Wn=Q-1(Γ(Hn))，n=0，1，2，…，N

(2)

(3)

在獲得Hn和Sn的正態(tài)分位數(shù)Wn和Xn后，通過假定轉(zhuǎn)化空間中的流量過程服從一階馬爾可夫過程的正態(tài)-線性關(guān)系，構(gòu)造了如下的先驗分布函數(shù)：

Wn=cWn-1+G

(4)

式中：c為參數(shù)，G為不依賴于Wn-1的殘差系列，且服從N(0，1-c2)的正態(tài)分布。

通過假定正態(tài)空間中的各變量Xn，Wn，W0服從正態(tài)-線性關(guān)系，構(gòu)造了如下的似然函數(shù)：

Xn=anWn+dnW0+bn+Θn

(5)

在正態(tài)空間中，進(jìn)一步推出Wn的后驗密度函數(shù)：

(6)

(7)

通過下式可獲得原始空間中預(yù)報流量的分布函數(shù)為

(8)

根據(jù)公式(8)預(yù)報流量的分布函數(shù)，可計算任一分位點的預(yù)報值，如50%概率對應(yīng)的中位數(shù)預(yù)報及90%置信度對應(yīng)的預(yù)報區(qū)間(5%概率和95%概率對應(yīng)的分位數(shù)組成的區(qū)間)。

1.2 PCA-HUP模型

由先驗分布(式(4))可以看出，似然函數(shù)(式(5))中的自變量Wn和W0之間存在明確的線性關(guān)系，會導(dǎo)致公式(5)存在多重共線性問題。采用傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計，會使得估計的回歸系數(shù)不唯一，導(dǎo)致回歸方程不穩(wěn)定。因此，Yao等[15]采用主成分分析技術(shù)(PCA)對傳統(tǒng)HUP模型參數(shù)估計方式進(jìn)行了改進(jìn)。

主成分回歸的基本思想是對原始回歸變量進(jìn)行主成分分析，將線性相關(guān)的自變量轉(zhuǎn)化為線性無關(guān)的新綜合變量，采用新綜合變量建立模型回歸方程。針對變量Wn和W0?？紤]它的線性變換：

(9)

Xn=bn+b1Z1+b2Z2

(10)

由于各個主成分之間是相互獨立的，為此可采用最小二乘法估計公式(10) 中的參數(shù)bn，b1和b2，進(jìn)而克服了自變量間的多重共線性問題。

將公式(9)帶入到公式(10)中，公式(5)可進(jìn)一步表示為

(11)

即，an=b1a11+b2a12，dn=b1a21+b2a22

3 應(yīng)用研究

梅港水文站為信江流域主要控制站，位于信江下游余干縣梅港鄉(xiāng)。梅港水文站集水面積15 535 km2，占信江總流域面積的97.4%。1952年4月設(shè)站，有流量、水位、降雨量、蒸發(fā)量、含沙量等測驗項目。實測最高水位為1998年的29.84 m(吳淞基面)，實測最大流量為2010年的13 800 m3/s。本研究中，采用2012～2019年共10場洪水資料對PCA-HUP模型進(jìn)行率定驗證，其中2012～2017年的8場洪水用于模型率定，而2019年的2場洪水用于模型驗證。場次洪水的確定性預(yù)報值是通過新安江模型預(yù)報獲得。

圖1給出了實測系列和模型預(yù)報系列的經(jīng)驗累積分布函數(shù)及三參數(shù)對數(shù)威布爾分布函數(shù)的擬合效果圖。從圖1可以看出，三參數(shù)對數(shù)威布爾分布函數(shù)能很好地擬合實測系列和模型預(yù)報系列。

圖1 實測系列和模型預(yù)報系列的擬合效果Fig.1 Fitting effect of the measured series and prediction model series

表1給出了基于PCA-HUP模型的率定期8場洪水的分析結(jié)果，并與原始預(yù)報成果進(jìn)行了對比分析。其中，PCA-HUP模型的確定性系數(shù)和洪峰相對誤差指標(biāo)值是基于PCA-HUP模型提供的中位數(shù)(Q50)預(yù)報結(jié)果計算獲得，而離散度和覆蓋率指標(biāo)值是基于PCA-HUP模型提供的90%置信度下的預(yù)報區(qū)間計算獲得。

表1 基于PCA-HUP模型的預(yù)報評估結(jié)果(率定期)Tab.1 Evaluation results of flood forecast based on PCA-HUP Model(rate period)

從表1中的中位數(shù)(Q50)預(yù)報結(jié)果來看，就確定性系數(shù)指標(biāo)而言，8場洪水的確定性系數(shù)指標(biāo)值均為0.99，高于原始預(yù)報的平均確定性系數(shù)為0.92；就洪峰相對誤差指標(biāo)而言，8場洪峰的相對誤差絕對值的平均值為0.40%，遠(yuǎn)小于原始預(yù)報的6.23%。在分析的8場洪水中，經(jīng)PCA-HUP模型處理后，8場洪水的確定性系數(shù)均增大，且洪峰相對誤差均減小，表明經(jīng)PCA-HUP模型處理后，洪水預(yù)報精度整體上有明顯的提高。從90%置信度下的預(yù)報區(qū)間來看，就離散度指標(biāo)而言，其值在0.20～0.21之間，平均值為0.20；就區(qū)間覆蓋率指標(biāo)而言，其值在91%～100%之間，平均值達(dá)97%。在離散度較小情況下，保證了較高的覆蓋率。

圖2給出了率定期2場洪水的實測值、原始預(yù)報、概率預(yù)報模型的中位數(shù)預(yù)報(Q50)及90%置信度下的區(qū)間預(yù)報成果。從圖2中可以看出，90%置信度的預(yù)報區(qū)間很好地描述了洪水預(yù)報的不確定性，且覆蓋了絕大多數(shù)的實測點據(jù)。

圖2 率定期2場洪水的PCA-HUP模型預(yù)報成果Fig.2 Forecast results of PCA-HUP model of two floods in rate period

表2給出了基于PCA-HUP模型的驗證期2場洪水的分析結(jié)果，并與原始預(yù)報成果進(jìn)行了對比分析。從表中可以看出，就中位數(shù)(Q50)的預(yù)報結(jié)果而言，2場洪水的確定性系數(shù)值均為0.99，高于原始預(yù)報的平均確定性系數(shù)0.91；而2場洪峰的相對誤差絕對值的平均值為0.28%，遠(yuǎn)小于原始預(yù)報的7.15%。就90%置信度下的預(yù)報區(qū)間而言，2場洪水的離散度均值為0.20；而區(qū)間覆蓋率的均值為0.98。與率定期結(jié)果相似，在離散度較小情況下，保證了較高的覆蓋率。

表2 基于PCA-HUP模型的預(yù)報評估結(jié)果(驗證期)Tab.2 Evaluation results of flood forecast based on PCA-HUP Model(verification period)

圖3給出了驗證期2場洪水的實測值、原始預(yù)報、概率預(yù)報模型的中位數(shù)預(yù)報(Q50)及90%置信度下的區(qū)間預(yù)報成果。從圖中可以看出，90%置信度的預(yù)報區(qū)間同樣很好地描述了驗證期2場洪水的預(yù)報不確定性，且覆蓋了絕大多數(shù)的實測點據(jù)。

圖3 驗證期2場洪水的PCA-HUP模型預(yù)報成果Fig.3 Forecast results of PCA-HUP model of two verification periodic floods

4 結(jié) 論

以信江流域梅港站為例，采用PCA-HUP模型對洪水預(yù)報不確定性進(jìn)行了分析，在提供中位數(shù)(Q50)定值預(yù)報結(jié)果的同時，也提供了90%置信度下的預(yù)報區(qū)間成果。主要結(jié)論如下：

(1) 基于確定性系數(shù)指標(biāo)和洪峰相對誤差指標(biāo)，評估了原始確定性模型預(yù)報精度和PCA-HUP模型的中位數(shù)(Q50)預(yù)報精度。結(jié)果表明：無論是在率定期還是在驗證期，PCA-HUP模型的確定性系數(shù)平均值均高于原始預(yù)報的確定性系數(shù)平均值。經(jīng)PCA-HUP模型處理后，洪水預(yù)報精度整體上有明顯的提高。

(2) 基于離散度和覆蓋率指標(biāo)，評估了PCA-HUP模型計算的90%置信度預(yù)報區(qū)間的可靠性。結(jié)果表明：率定期和驗證期10場洪水的覆蓋率均在90%以上，且離散度均在0.20左右，具有較高的可靠性。