朱 平

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽 471934)

0 引言

自Bohr提出概周期函數(shù)以來，其一系列推廣的研究已引起越來越多的關(guān)注.作為概周期函數(shù)的推廣之一，雙加權(quán)偽概周期函數(shù)于2011年由Diagana提出[1]，并應(yīng)用到一類微分方程的雙加權(quán)偽概周期溫和解的研究中.近年來，雙加權(quán)情形雖然也逐步推廣并豐富了隨機(jī)過程的動(dòng)力學(xué)行為，但研究成果甚少，尤其是對泛函微分方程[2-4].到目前為止，p次雙加權(quán)偽概周期隨機(jī)過程尚未研究，因此筆者對如下一類由G-Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非自治隨機(jī)泛函微分方程

(1)

在合適的條件下，證明該隨機(jī)微分方程存在唯一雙加權(quán)偽概周期溫和解.該結(jié)論的研究進(jìn)一步豐富了概周期隨機(jī)過程的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)，因此筆者的研究內(nèi)容具有重要的理論意義.

1 基本知識

下面，介紹一些新定義和引理.

2 存在唯一性

為證明本節(jié)的主要結(jié)論，需做以下假設(shè).

(H1)存在常數(shù)K>0和δ>0，當(dāng)t≥s時(shí)滿足

‖T(t-s)‖≤Ke-δ(t-s).

定義3 如果

稱隨機(jī)過程x(t)是隨機(jī)微分方程(1)的溫和解.

定理1 令ρ,q∈U*且(H1)-(H2)成立，若

(2)

fi(t,x(t),xt)=gi(t,y(t),yt)+fi(t,x(t),xt)-fi(t,y(t),yt)+hi(t,y(t),yt),

其中：

下面，分兩步進(jìn)行證明.

E‖h2(s,y(s),ys)‖p)dsq(t)dt≤

E‖h2(s,y(s),ys)‖p]dsq(t)dt≤

E‖h2(t-s,x(t-s),xt-s)‖p]q(t)dtds,

利用Lebesgue控制收斂定理，則有

第二步.算子Г是壓縮映射.

利用(2)，則

綜上所述，利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理可得隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的雙加權(quán)偽概周期溫和解.

3 結(jié)論

首先，在Banach空間中提出p次雙加權(quán)偽概周期隨機(jī)過程的定義，并給出相應(yīng)的復(fù)合定理；其次，對一類由G-Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非線性隨機(jī)泛函微分方程，根據(jù)所得的復(fù)合定理，借助算子半群理論、H?lder不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、Lebesgue控制收斂定理、Fubini定理等分析方法和分析技巧，利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明該類隨機(jī)泛函微分方程存在唯一的p次雙加權(quán)偽概周期溫和解;最后,該結(jié)論在已有研究中并未涉及，因此具有一定的創(chuàng)新性.