付美鑫

（長春汽車工業(yè)高等?？茖W(xué)校，吉林 長春130000）

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992 年，隨著賽事的發(fā)展，參加競賽的學(xué)校越來越多，尤其是?？平M。本文將對2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D 題進(jìn)行分析和求解。

2020 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D 題是接觸式輪廓儀的自動(dòng)標(biāo)注的問題，主要應(yīng)用最小二乘法的思想，建立了接觸式輪廓儀自動(dòng)標(biāo)注的模型，包括斜線模型、圓弧模型、旋轉(zhuǎn)平移模型等，通過模型對工件需要標(biāo)注的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，并對工件進(jìn)行標(biāo)注。

1 問題簡述

在工業(yè)生產(chǎn)中，工件表面測量方法分類很多，常見的分為接觸式和非接觸式[1]，其中接觸式輪廓儀，廣泛應(yīng)用于光學(xué)元件、精密五金、機(jī)械加工等工件，在測量儀器中有著舉足輕重的地位[2]。接觸式輪廓儀在測量時(shí)，探針隨著被測工件表面勻速滑行，上下移動(dòng)，在X 和Z 方向分別采樣，并通過傳感器轉(zhuǎn)化為電信號，經(jīng)過計(jì)算機(jī)處理得到被測工件的表面輪廓圖[3]?，F(xiàn)要對表面輪廓圖進(jìn)行標(biāo)注，主要標(biāo)注的各項(xiàng)參數(shù)值包括：槽口寬度、圓弧半徑、圓心之間的距離、圓弧長度、水平線段的長度、斜線段的長度、斜線與水平線的夾角和人形線的高度。有時(shí)在對工件做多次測量時(shí)，由于放置的水平位置和角度的不同導(dǎo)致測量結(jié)果有明顯的差異，同時(shí)給輪廓圖的標(biāo)注帶來很大的阻礙，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成以下問題：

1.1 標(biāo)注工件1 的各項(xiàng)參數(shù)值。

1.2 針對有角度偏移和水平偏移的工件1 數(shù)據(jù)進(jìn)行校正，對校正數(shù)據(jù)進(jìn)行重新標(biāo)注，并比較矯正后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)標(biāo)注之間的偏差。

圖1 提取數(shù)據(jù)之后的輪廓圖

1.3 針對工件2 給出的10 次測量數(shù)據(jù)，給出每次測量時(shí)的傾斜角度、并標(biāo)注輪廓線的各項(xiàng)參數(shù)值，畫出工件2 的完整輪廓圖。

1.4 根據(jù)進(jìn)一步給出的圓和角的測量數(shù)據(jù)，對1.3 中的結(jié)論進(jìn)行修正，并完成輪廓線的修正。

2 問題分析

由于測量儀測量時(shí)在工件上勻速滑行，在X 和Z 方向進(jìn)行采樣，由于采樣間距極短，且是等時(shí)間間隔獲取，導(dǎo)致相鄰很大部分?jǐn)?shù)據(jù)差異不明顯，本文所有模型建立求解所使用的數(shù)據(jù)都是每隔15 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取一次，獲取新數(shù)據(jù)。通過EXCEL 畫圖，可以清晰看到提取的數(shù)據(jù)保持工件原貌，（如圖1 所示）。

3 模型建立與求解

針對問題一：以工件x=-1.77 為水平線，建立坐標(biāo)系，要求解槽口寬度、斜線段長度、弧長、圓心之間的距離等，首先要建立斜線模型和圓弧所在圓的模型，然后利用交點(diǎn)，確定相應(yīng)的槽口寬度、斜線段長度、人形線高度、弧長、圓心之間的距離等標(biāo)注參數(shù)。其中，建立斜線模型：

zi= kxi+ b( k , b為 參數(shù))；

圖2 輪廓線標(biāo)注圖

在求解圓弧弧長與半徑時(shí)，基于點(diǎn)到圓心距離等于半徑理論，在工件凹槽處取最低點(diǎn)，以該點(diǎn)為中心，向前向后分別取20個(gè)數(shù)據(jù)，共計(jì)41 個(gè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到圓心距離等于半徑建立圓弧模型：

( xi- x0)2+ ( zi- z0)2= r2,( x0, z0, r 為參數(shù))

對該線性方程組利用最小二乘法求解，即可得到圓弧的圓心及半徑，從而確定圓弧的方程。

利用Mathematica 軟件對上述斜線模型和圓弧模型進(jìn)行求解，即可確定標(biāo)注參數(shù)。對工件標(biāo)注如圖2。

針對問題二，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度，與測量工件放置的位置及角度有變化，要對給出數(shù)據(jù)進(jìn)行校正，首先要確定旋轉(zhuǎn)角度，建立旋轉(zhuǎn)平移校正模型，先旋轉(zhuǎn)校正，然后進(jìn)行平移校正，利用前面建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，對工件進(jìn)行參數(shù)標(biāo)注。

旋轉(zhuǎn)校正模型：

平移校正模型：

針對問題二，做誤差分析如下：

對校對之后的工件輪廓圖標(biāo)注參數(shù)和工件1 的原始數(shù)據(jù)的工件輪廓圖標(biāo)注參數(shù)分類進(jìn)行先對偏差分析（校對之后數(shù)據(jù)記為*），如下：

通過上述相對誤差分析發(fā)現(xiàn)，水平距離的相對偏差較大，分析原因，主要是由于d9的實(shí)際距離較小，測量產(chǎn)生偏差屬于合理范圍之內(nèi)，以后測量需要慎重。圓心間的距離偏差最小，在求解圓弧長度、圓心距離、半徑時(shí)，主要是基于求解圓弧模型，其處理方式主要采取優(yōu)化處理方法，產(chǎn)生的偏差非常理想，也說明了模型的合理性。

針對問題三：前兩問基本解決工件自動(dòng)標(biāo)注問題，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，要對工件2 進(jìn)行標(biāo)注，首先對所給工件2 測量的十組數(shù)據(jù)，利用問題二的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移變換之后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行校正整合，擬合成一組數(shù)據(jù)，然后對獲得的新數(shù)據(jù)，利用問題一的模型進(jìn)行參數(shù)標(biāo)注。在對工件2 進(jìn)行標(biāo)注時(shí)，10 次測量數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)都存在旋轉(zhuǎn)和水平偏差，所以對10 組數(shù)據(jù)利用問題二的旋轉(zhuǎn)校正模型和水平校正模型，對數(shù)據(jù)進(jìn)行校正。首先確定每組數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)角度。通過問題二中旋轉(zhuǎn)角計(jì)算模型，得到10 組數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)角如下表所示：

表1 工件2 的10 組數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)角

通過對工件2 的10 組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對旋轉(zhuǎn)平移校正得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)行補(bǔ)充，主要補(bǔ)充缺失數(shù)據(jù)信息，得到工件2 的大致輪廓圖，并對工件做簡單標(biāo)注。針對問題四：工件2 在問題三中已經(jīng)基本標(biāo)注完成，但是圓、角的標(biāo)注還很粗糙，所以針對問題四，將對圓、角數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的處理，然后對問題三的輪廓線進(jìn)行修正。

4 結(jié)論

本文針對2020 年數(shù)學(xué)建模競賽D 題進(jìn)行分析求解，從模型求解結(jié)果和誤差分析可以看出，該模型能夠很好的對接觸式輪廓儀測量的工件進(jìn)行自動(dòng)標(biāo)注，并標(biāo)注參數(shù)誤差較小，該模型是有效的。由于時(shí)間問題以及技術(shù)硬件要求不足等問題，對于問題三和問題四，只做了數(shù)據(jù)的相關(guān)處理，在后續(xù)會(huì)進(jìn)一步對其進(jìn)行標(biāo)注。

該模型不僅可以解決針對本文的問題，還可以應(yīng)用于非球面接觸式輪廓儀的自動(dòng)標(biāo)注、物體表面樣貌的分析等其它測量的自動(dòng)標(biāo)注問題。