楊洪偉 李 爽

(南京航空航天大學航天學院，南京210016)

軌道力學是高等學校航天類專業(yè)一門必修的重要專業(yè)基礎課程。我校軌道力學相關課程包括本科生必修課“航天器動力學基礎”和研究生學位課“航天器軌道基礎” (主要面向本科非航天類專業(yè)的學生)。培養(yǎng)學生應用軌道力學知識進行軌道設計的能力是軌道力學的重要教學目標之一。但是軌道力學教材[1-2]涉及大量的數(shù)學公式推導，如果僅采用以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學方式，學生在學習過程中難免會感到枯燥乏味，并且難以將離散、抽象的知識點與軌道設計建立起有機聯(lián)系。在教學過程中適當引入前沿熱點問題[3]，加強教學互動[4]，則非常有利于改善教學效果。

問題導向式教學是一種以學生為中心的教學方式，通過解決實際問題，提升學生學習的興趣，培養(yǎng)學生解決問題的能力[5]。軌道力學是一門與航天任務設計聯(lián)系十分緊密的課程，基于問題導向式教學的思路，在教學過程中適當引入具有熱點航天任務背景的軌道任務設計問題，讓學生以主動學習的方式通過動手實踐解決問題，可以幫助學生直觀地理解與掌握軌道力學知識，建立與航天任務軌道設計的聯(lián)系，是培養(yǎng)學生軌道設計能力的有效途徑。近十年的全國空間軌道設計競賽發(fā)展歷程[6]也反映出通過軌道設計實踐可以有效地促進軌道設計水平的提升。近年來，國內外各種類型航天任務的不斷發(fā)展，為軌道力學教學中構建的軌道設計問題提供了豐富的背景素材。教材《軌道力學》[2]配套的軌道力學Matlab 程序包也為軌道設計實踐的教學提供了良好的條件。本文將介紹作者對教學措施的思考，以及在教學探索實踐中采用的案例問題和教學效果。

1 軌道力學問題導向式教學措施的思考

為了實現(xiàn)培養(yǎng)學生軌道設計能力的目標，在軌道力學問題導向式教學中需要采取一些必要的措施，下面給出對相關教學措施的思考。

1.1 優(yōu)化教學問題的設計

問題設計是能否成功實現(xiàn)問題導向式教學的關鍵[5]。為了調用學生的積極性，提升學生的參與度，讓學生能夠通過動手實踐理解和掌握軌道力學知識點在軌道設計中的應用，有必要對教學問題的設計進行優(yōu)化。一方面，引入的軌道設計問題可以結合前沿熱點的航天任務并適當簡化，不僅可以增強軌道設計的趣味性、激發(fā)學生的興趣，而且可以幫助學生建立軌道力學理論知識與工程實際任務的聯(lián)系。另一方面，給出的軌道設計問題應該充分考慮學生的知識和能力范圍，保障學生動手參與的可行性。對于軌道設計問題涉及的知識點應與教材內容聯(lián)系較為緊密，讓學生在動手實踐時已經學習過軌道設計所需的主要知識點；對于多個軌道設計問題應該循序漸進，由淺到深，引導學生逐步掌握復雜軌道設計的能力。

1.2 充分發(fā)揮教師輔助指導作用

雖然問題導向式教學是以學生為中心的教學方式，但是教師在學生主動學習的過程中依然十分關鍵。應當充分發(fā)揮教師輔助指導作用，幫助學生推進軌道設計問題的解決并建立軌道設計的知識。在教學過程中，教師應該對學生進行必要的知識引導。雖然給出的軌道設計問題已經過簡化處理，但是難免仍會涉及教材之外的知識難點，應當給予必要的講解或者提示，避免學生因為個別難以理解的知識點而無法推進軌道設計。對于本科生教學，也需要了解學生對Matlab 軟件使用的能力程度。如果學生對Matlab 了解很少，可以在課堂上花少量時間對基本的功能進行簡要介紹，幫助學生克服使用新軟件時的心理困難。另一方面，應該建立信息反饋機制。完成軌道設計問題需要學生在課堂之外投入時間。對于學生課外學習遇到的問題，鼓勵學生以學習小組的形式互相幫助解決，對于不易解決的問題可以通過郵件、微信等方式反饋給教師，教師整理后可以將學生反饋的普遍問題通過微信群、課堂等途徑進行及時答疑。此外，教師可以通過設計報告及課堂演示等方式對學生完成情況進行評估。

2 軌道力學教學中的實踐

根據軌道力學教學順序，在教學實踐中依次引入了具有我國航天任務背景的軌道設計問題。下面給出教學案例來詳細介紹并進行教學效果分析。

2.1 引入階段性軌道設計問題，培養(yǎng)軌道設計基礎能力

2.1.1 航天器運行軌道設計問題——軌道預報

航天器軌道預報是軌道力學主要目的之一。在二體問題下進行軌道預報計算，本質是求解二體問題運動微分方程的解。教材《軌道力學》[2]用了第2至4 章共3 章內容介紹相關知識，是軌道力學課程的基礎核心。在二體問題解的推導過程中，會涉及大量的數(shù)學運算和知識點。學生在聽講過程中容易陷入對枯燥的數(shù)學推導的困惑之中，并且不容易清晰地把握各知識點之間的邏輯關系。在實際的教學過程中，可以通過一個地球航天器的運行軌道仿真設計問題幫助同學們從宏觀的層面將這些知識點串聯(lián)起來，梳理章節(jié)知識點背后的邏輯關系，讓學生更直觀地了解這部分知識在航天任務設計中的作用。作者選取了“天宮二號”作為目標航天器，通過網絡查詢給出了軌道六根數(shù)的值，要求學生基于教材配套的 Matlab 代碼編寫設計程序繪制三維空間軌道及軌道狀態(tài)量隨時間的變化關系圖(部分結果如圖1)。在此運行軌道設計問題中，需要綜合應用前五個軌道根數(shù)守恒與平近點角隨時間線性變化的特性、開普勒方程和牛頓迭代法、坐標變換、以及軌道根數(shù)與位置速度轉換等知識點。在教學實踐中可以在課堂上引導學生思考討論算法的主要流程和涉及的知識點，初步形成正確的算法方案；在課后讓學生進行Matlab 仿真實踐。由于配套的 Matlab 程序包含有主要的基本軌道函數(shù)，學生在編程實現(xiàn)時較為容易，動手繪制出軌道也可以激發(fā)他們的學習熱情。通過本問題的鍛煉，學生可以掌握已知軌道根數(shù)的二體軌道設計方法。

圖1 “天宮二號” 運行軌道設計問題結果示意圖

2.1.2 火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口設計問題?軌道機動

軌道機動是軌道力學課程又一核心重點內容。教材《軌道力學》第6 至8 章均涉及軌道機動。學生在學完行星際軌道這一章后，已經初步具備了蘭伯特轉移和行星星歷計算等理論知識。以2020 年我國火星探測任務為背景，作者在教學中引入了火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口設計問題。要求學生基于教材配套Matlab 代碼中的蘭伯特求解器、大行星的星歷計算函數(shù)及時間系統(tǒng)轉換函數(shù)，通過離散發(fā)射時間和飛行時間并計算不同轉移軌道所需速度增量等高線圖(如圖2) 的方式，編寫Matlab 仿真程序，找出2020年的火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口。在本案例問題中，由于考慮了星歷計算，軌道設計與時間系統(tǒng)建立了聯(lián)系。另外，在軌道設計中并未限制于理想的共面霍曼轉移，比教材中霍曼轉移的例子更接近于真實情況。在教學實踐中仍然可以先引導學生思考和討論初步的解決方案，再讓學生通過Matlab 仿真實踐。學生通過該設計問題可以獲得 2020 年 7 月的最優(yōu)發(fā)射窗口，并可以發(fā)現(xiàn)與網絡搜索到的國內外2020 火星發(fā)射日期基本吻合。通過本設計問題可以幫助學生將課堂所學知識與實際的航天任務建立起聯(lián)系，體會軌道力學在航天任務中的重要性，也可以增強軌道力學學習的趣味性。此外，通過本問題的鍛煉，學生可以初步掌握雙脈沖機動轉移軌道的設計方法。

圖2 2020 年火星探測最優(yōu)發(fā)射窗口搜索示意圖

2.2 引入軌道優(yōu)化設計問題，提升軌道設計能力

考慮到實際的軌道設計中往往需要求解多變量的非線性優(yōu)化問題，在軌道力學理論課結束后的課程設計中可以進一步引入更具挑戰(zhàn)性的軌道優(yōu)化設計問題。作者結合我國未來深空探測的發(fā)展方向和自身在深空探測方面的研究經歷，在2018 年和2019年教學中分別布置了近地小行星采樣返回的軌道初步優(yōu)化設計問題和火星引力輔助探測木星[7]軌道初步優(yōu)化設計問題。圖3 給出了其中的木星探測問題設計結果。通過兩個軌道設計問題引導學生綜合使用軌道遞推、軌道機動、蘭伯特方法等知識對軌道進行優(yōu)化設計并繪制出軌道。為了提升學生完成軌道設計問題的可行性，作者首先對問題進行簡化以降低難度，其中包括小行星采樣返回軌道設計中，將采樣段簡化為探測器交會小行星之后固定時長之內保持與小行星相同的軌道狀態(tài)量；對于三維的火星引力輔助計算，提供了引力輔助模型[7]的Matlab 計算程序。學生在設計軌道時只需編寫求解以時間節(jié)點為優(yōu)化變量的速度增量優(yōu)化問題。其次，由于軌道力學教材并未涉及數(shù)值優(yōu)化知識，作者在學生開始課程設計之前補充演示了 Matlab 中非線性優(yōu)化函數(shù)“fmincon”的基本使用方法。通過深空探測軌道優(yōu)化設計問題的鍛煉，學生可以初步掌握軌道優(yōu)化設計的方法，進一步提升軌道設計的能力。

圖3 火星引力輔助探測木星的軌道設計問題結果示意圖

2.3 效果評價與討論

經過近兩年在軌道力學教學中的初步探索和實踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生能夠積極地參與到解決軌道設計問題之中。除了在教室中的交流討論，很多學生在課后通過微信、郵件等方式與作者進行較多的互動交流和討論。其中 2019—2020 學年就有 15 名學生通過微信方式交流了軌道設計問題。大部分大三學生之前尚未用 Matlab 解決過課程中的問題，通過Matlab 編程解決軌道設計問題，不僅加深了對軌道的理解，同時也鍛煉了Matlab 動手編程的能力。通過學生隨設計結果一同提交的心得體會中也可以看到，學生從對軌道設計問題比較迷茫到繪制出軌道時的喜悅。對于具有挑戰(zhàn)性的深空探測軌道優(yōu)化設計問題，也有不少學生完成了較高質量的軌道設計結果和報告。此外，軌道設計問題也激發(fā)了學生探索軌道設計方法的興趣。譬如，4 名學生在課程設計中自主探索了 “fmincon” 之外的優(yōu)化求解函數(shù)，并進行了對比分析；課程結束后部分學生參與到了軌道設計相關的大學生科創(chuàng)項目之中，包括1 項國家級大學生創(chuàng)新訓練項目。

作者近兩年軌道力學教學獲得的學生評價成績均為優(yōu)秀，一定程度上反映出學生對教學方法滿意度較好。另外，對比2018—2019 學年和2019—2020學年的教學實踐，后一學年選用的軌道設計問題更加符合循序漸進的原則 (增加了軌道機動方面的階段性問題)，故教學效果更佳，課程獲得優(yōu)秀的學生人數(shù)從7 名增加到了15 名，學生評教成績的全校課程百分比排名也提升了16%。

3 結束語

初步實踐表明，在軌道力學教學過程中引入適當?shù)暮教燔壍涝O計問題，可以提升學生學習興趣，加強學生對軌道力學知識的理解，有效培養(yǎng)學生的軌道設計能力。當然，軌道力學教育教學改革是需要長期探索和實踐的工作，需要保持軌道設計問題與前沿熱點航天任務的聯(lián)系，逐步完善以軌道設計問題為導向的教學法，從而在探索和實踐中不斷地提升教學質量。