崔麗娟，景崇毅，焦國(guó)慶，潘夏霖

（中國(guó)民用航空飛行學(xué)院機(jī)場(chǎng)工程與運(yùn)輸管理學(xué)院，廣漢618307）

0 引言

自二十一世紀(jì)以來(lái)，航空運(yùn)輸需求不斷增加，航空市場(chǎng)不斷擴(kuò)大，航空運(yùn)輸業(yè)正在蓬勃發(fā)展，同時(shí)航空公司的競(jìng)爭(zhēng)也日趨激烈，航班編排越來(lái)越緊湊，導(dǎo)致不正常航班時(shí)有發(fā)生。航空公司如何合理地分配現(xiàn)有資源，從而低成本、高效率地進(jìn)行航班恢復(fù)對(duì)公司運(yùn)營(yíng)效益和服務(wù)水平尤為重要。

不正常航班恢復(fù)問(wèn)題是一個(gè)非常復(fù)雜的實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，其解空間隨著飛機(jī)和航班數(shù)量的增加而呈指數(shù)型增加，屬于NP-hard 問(wèn)題，同時(shí)有實(shí)時(shí)優(yōu)化的需求[1]。關(guān)于航班恢復(fù)的文獻(xiàn)已經(jīng)頗為豐富，Teodorovic和Guberinic[2]考慮航班延誤和飛機(jī)交換，以旅客總延誤時(shí)間最小化為目標(biāo)建立針對(duì)飛機(jī)故障的數(shù)學(xué)模型，對(duì)飛機(jī)路徑和航班時(shí)刻進(jìn)行了恢復(fù)。Jarrah 等人[3]針對(duì)飛機(jī)短缺問(wèn)題根據(jù)航班延誤和航班取消兩種恢復(fù)策略分別建立了兩個(gè)航班恢復(fù)成本最小化的網(wǎng)絡(luò)流模型，但這兩個(gè)模型不能同時(shí)使用，所以在航班恢復(fù)過(guò)程中不能同時(shí)考慮航班延誤和航班取消。Argüello[4]為解決飛機(jī)短缺問(wèn)題，在不考慮飛機(jī)交換的情況下以航空公司收益損失最小和旅客總延誤時(shí)間最短為目標(biāo)建立航班恢復(fù)模型，首次采用貪婪隨機(jī)自適應(yīng)搜索算法求解該模型。Aktürk 等人[5]首次將巡航速度調(diào)整明確引入航班恢復(fù)模型，為便于求解通過(guò)二次圓錐曲線對(duì)模型進(jìn)行重構(gòu)。周靖為[6]針對(duì)飛機(jī)故障時(shí)間的不確定性建立了航班時(shí)刻和飛機(jī)路徑恢復(fù)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)模型的特點(diǎn)，選用Benders 分解法求解該模型。趙秀麗[7]在經(jīng)典的資源指派模型的基礎(chǔ)上，完善了飛機(jī)路徑恢復(fù)約束條件，從旅客和航空公司的角度設(shè)置了不同的恢復(fù)目標(biāo)函數(shù)，并分析了不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)恢復(fù)方案的影響。白鳳[8]在時(shí)空網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上提出了多商品流模型，并采用不同的算法分別對(duì)飛機(jī)路徑和機(jī)組進(jìn)行恢復(fù)。王峰[9]針對(duì)機(jī)場(chǎng)關(guān)閉帶來(lái)的航班中斷問(wèn)題，分別建立了恢復(fù)時(shí)間確定和恢復(fù)時(shí)間不確定的兩種航班恢復(fù)模型，對(duì)飛機(jī)路徑進(jìn)行恢復(fù)。

通過(guò)分析現(xiàn)有研究成果可知，將巡航速度調(diào)整明確地納入到航班恢復(fù)模型的研究寥寥無(wú)幾。而在航空公司實(shí)際的運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，巡航速度調(diào)整在航班恢復(fù)中被普遍使用，因此，本文基于航班取消、航班延誤、飛機(jī)交換和巡航速度調(diào)整四種恢復(fù)策略，以航班恢復(fù)成本最小為目標(biāo)建立航班恢復(fù)模型，為航空公司及時(shí)、高效地應(yīng)對(duì)不正常航班提供理論參考。

1 問(wèn)題描述與模型構(gòu)建

1.1 問(wèn)題描述

航空公司在處理不正常航班計(jì)劃的過(guò)程中，常常會(huì)考慮航班延誤，航班取消，飛機(jī)交換三種恢復(fù)策略，飛機(jī)巡航速度的調(diào)整也是經(jīng)常被使用的一種恢復(fù)策略，巡航速度調(diào)整在航班恢復(fù)過(guò)程中具有重要的意義。

圖1 巡航速度調(diào)整對(duì)航班恢復(fù)的影響示意圖

在航班恢復(fù)過(guò)程中改變飛機(jī)的巡航速度主要有兩個(gè)作用：一是縮短巡航時(shí)間使航班可以盡早到達(dá)目的地，減少航班的到達(dá)延誤時(shí)間，從而減少航班的延誤成本。如圖1 所示，3 架飛機(jī)在7 個(gè)機(jī)場(chǎng)之間執(zhí)行14 個(gè)航班，例如航班11、航班12、航班13、航班14 是由飛機(jī)1 執(zhí)行的四個(gè)連續(xù)航班。由飛機(jī)2 執(zhí)行的航班22 出發(fā)延誤90 分鐘，紅色虛線表示飛機(jī)2 的原始航班計(jì)劃，黑色實(shí)線代表恢復(fù)之后的航班計(jì)劃示意。左圖是順延方案下的航班恢復(fù)方案，在航班22 的影響下航班23*、航班24*、航班25*三個(gè)后續(xù)航班都有不同程度的延誤；右圖是巡航速度調(diào)整之后的航班恢復(fù)方案，航班22*、航班23*、航班24*都進(jìn)行了加速，在航班25 出發(fā)之前航班延誤時(shí)間被抵消，航班25 可以按原航班計(jì)劃執(zhí)行。二是飛機(jī)增加巡航速度之后，可以進(jìn)行相應(yīng)的飛機(jī)交換，保證重要航班的正常執(zhí)行，減少航班恢復(fù)的總成本。如航班22*適當(dāng)?shù)丶铀僦?，若航?2 進(jìn)行適當(dāng)?shù)募铀伲桨?2*的飛機(jī)就可以與航班32 的飛機(jī)進(jìn)行飛機(jī)交換，從而保證后續(xù)航班的順利進(jìn)行。

增加巡航速度對(duì)降低航班恢復(fù)成本有利也有弊。一方面增加巡航速度可以減少航班的巡航時(shí)間，縮短航班延誤時(shí)間，從而減少航班延誤成本；另一方面隨著巡航速度的增加，飛機(jī)的燃油消耗也會(huì)增加，進(jìn)而帶來(lái)額外的燃油成本。所以利用巡航速度調(diào)整進(jìn)行航班恢復(fù)時(shí)，需要在延誤成本和額外燃油成本之間進(jìn)行權(quán)衡。

1.2 航班恢復(fù)模型的構(gòu)建

本節(jié)在考慮航班延誤、飛機(jī)交換、巡航速度調(diào)整三種恢復(fù)決策的基礎(chǔ)上建立單機(jī)型的航班恢復(fù)模型。

（1）集合

L：航班集合

Ld：原始受擾航班集合

S(l)：可能進(jìn)行飛機(jī)交換的航班l(xiāng)的集合

（2）參數(shù)

表1 模型參數(shù)及其說(shuō)明

（3）決策變量

vl：航班l(xiāng) 的巡航速度

tl：航班l(xiāng) 的巡航時(shí)間

ll：航班l(xiāng) 的出發(fā)延誤時(shí)間

xlg：若航班l(xiāng) 和航班g 進(jìn)行飛機(jī)交換，則為1；否則為0。

yl：若航班l(xiāng) 取消，則為1；否則為0。

（4）目標(biāo)函數(shù)

巡航速度增加可以在一定程度上減少航班延誤時(shí)間，從而降低延誤成本，同時(shí)也會(huì)使油耗增加，從而到來(lái)額外的燃油成本。因此，目標(biāo)函數(shù)中除了航班取消成本和航班延誤成本之外，應(yīng)加入額外燃油成本。

（5）約束條件

約束（2）表示航班巡航距離與巡航速度的關(guān)系，其中巡航距離可通過(guò)原始巡航速度與原始巡航時(shí)間的乘積求得，即。公式（3）表示航班出發(fā)延誤約束?；謴?fù)之后的航班出發(fā)時(shí)間不早于原始出發(fā)時(shí)間，并且不能晚于最晚延誤時(shí)間。公式（4）定義了航班出發(fā)延誤。航班的出發(fā)延誤等于原始中斷航班的原始出發(fā)延誤時(shí)間。公式（5）恢復(fù)之后的航班巡航速度約束?；謴?fù)之后的航班巡航速度不得小于原始航班巡航速度，并且不能大于該航班狀態(tài)下的最大巡航速度。公式（6）表示航班出發(fā)時(shí)間約束。當(dāng)航班l(xiāng) 與航班g 不進(jìn)行飛機(jī)交換時(shí)，航班l(xiāng) 的后續(xù)航班n(l)的出發(fā)時(shí)間不得早于恢復(fù)之后航班l(xiāng) 的到達(dá)時(shí)間加上航班l(xiāng) 的地面周轉(zhuǎn)時(shí)間，即rl+ll+tl-tol+al≤dn(l)+ln(l)；當(dāng)航班l(xiāng) 與航班g 進(jìn)行飛機(jī)交換時(shí)，航班l(xiāng) 的后續(xù)航班n(l)的出發(fā)時(shí)間不得早于恢復(fù)之后航班g 的到達(dá)時(shí)間加上航班g 的地面周轉(zhuǎn)時(shí)間，即rg+lg+tg-tog+al≤dn(l)+ln(l)。公式（7）和（8）是對(duì)航班交換飛機(jī)的頻次約束。保證每?jī)蓚€(gè)航班之間最多只能交換一次飛機(jī)，并且進(jìn)行飛機(jī)交換的兩個(gè)航班要同時(shí)換飛機(jī)。公式（9）表示恢復(fù)之后航班到達(dá)延誤時(shí)間。公式（10）是航班燃油消耗的公式，該公式引自參考文獻(xiàn)[5]。公式（11）保證恢復(fù)之后的航班巡航速度不得超過(guò)初始航班速度的110%。本研究假設(shè)航班的初始巡航速度為最大航程（MRC）速度的102%。公式（12）（13）（14）是對(duì)決策變量取值的約束。

2 算例測(cè)試

為驗(yàn)證該模型的可行性及有效性，本節(jié)結(jié)合航空公司的實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況及合理的假設(shè)，進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn)及分析。航班信息截取于國(guó)內(nèi)某航空公司2020 年冬季航班中某天的航班計(jì)劃，5 架飛機(jī)在11 個(gè)機(jī)場(chǎng)之間執(zhí)行的20 個(gè)航班，具體航班信息見(jiàn)表2。

表2 航班信息表

假設(shè)航班延誤成本為120 元每分鐘；航班出發(fā)延誤時(shí)間超過(guò)180min 時(shí)，取消該航班；每個(gè)航班的最小地面周轉(zhuǎn)時(shí)間為30min、非巡航時(shí)間為20min。

當(dāng)飛機(jī)1 由于飛機(jī)故障需在A 機(jī)場(chǎng)需要停場(chǎng)4 小時(shí)（10:00-14:00），用手動(dòng)順延方案、歷史方案（航班取消、航班延誤、飛機(jī)交換）和優(yōu)化方案（巡航速度調(diào)整、航班取消、航班延誤、飛機(jī)交換）分別進(jìn)行航班恢復(fù)。

手動(dòng)順延方案：由于航班101 延誤時(shí)間超過(guò)180min，所以取消航班101 和航班102，航班103 和航班104 按原計(jì)劃執(zhí)行。取消航班的取消成本相當(dāng)于延誤180min 的成本，計(jì)算恢復(fù)效率時(shí)，取消航班的延誤時(shí)間取180min。

歷史方案：飛機(jī)1 和飛機(jī)4 進(jìn)行交換，航班101、航班102、航班103 和航班104 可按原計(jì)劃執(zhí)行；航班401、航班402 和航班403 分別延誤85min、70min、20min。

優(yōu)化方案：飛機(jī)1 和飛機(jī)4 進(jìn)行交換，航班101、航班102、航班103 和航班104 按原計(jì)劃執(zhí)行。航班401、航班402 進(jìn)行不同程度的加速后，在航班403 出發(fā)之前完全抵消了延誤，航班403 及其之后的航班按原計(jì)劃執(zhí)行，優(yōu)化方案的具體結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 優(yōu)化方案

表4 給出了三種方案恢復(fù)成本的比較。優(yōu)化方案和手動(dòng)順延方案相比較，恢復(fù)成本較低65.40%，恢復(fù)效率提高51.39%；和歷史方案相比，恢復(fù)成本降低28.82%，恢復(fù)效率提高31.43%。

單位延誤成本分別取80 元每分鐘、120 元每分鐘、160 元每分鐘、200 元每分鐘時(shí)，優(yōu)化方案和歷史方案相比較，恢復(fù)成本分別降低27.51%、28.82%、29.47%、29.86%，因此單位航班延誤成本越高，巡航速度控制降低恢復(fù)成本的效果越明顯。

表4 三種方案結(jié)果比較

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)發(fā)生飛機(jī)故障時(shí)航班計(jì)劃受擾的情況，采用巡航速度調(diào)整、飛機(jī)交換、航班延誤、航班取消四種恢復(fù)策略對(duì)航班進(jìn)行恢復(fù)，并用MATLAB 軟件進(jìn)行求解。本文運(yùn)用算例對(duì)模型進(jìn)行過(guò)了測(cè)試，結(jié)果表明，該模型在降低航班恢復(fù)成本的同時(shí)，也提高了恢復(fù)效率；通過(guò)優(yōu)化方案和歷史方案的對(duì)比，可知，單位航班延誤成本和巡航速度調(diào)整對(duì)降低成本的效果成正比。

本文只對(duì)單機(jī)型進(jìn)行了建模，若對(duì)不同機(jī)型執(zhí)行的航班進(jìn)行恢復(fù)，需要對(duì)模型進(jìn)行延展；航班恢復(fù)包括飛機(jī)恢復(fù)、時(shí)刻恢復(fù)、機(jī)組恢復(fù)和旅客恢復(fù)，但該模型沒(méi)考慮機(jī)組恢復(fù)和旅客恢復(fù)。