李佳訊，沈元川, 賈振岳，于劍橋

(1 北京理工大學(xué)，北京 100081；2 北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

針對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸高轉(zhuǎn)速的特點(diǎn)，通過采用鴨舵組件代替原有引信構(gòu)成“雙旋”結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈智能化、靈巧化改造已經(jīng)成為該領(lǐng)域的強(qiáng)烈共識(shí)。雙旋彈動(dòng)力學(xué)具有強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，同時(shí)結(jié)構(gòu)的變化與控制系統(tǒng)的引入使得彈丸的諸多非線性運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象難以用線性系統(tǒng)理論分析和解釋，因此對(duì)雙旋彈開展非線性動(dòng)力學(xué)分析具有重要的理論意義與工程應(yīng)用價(jià)值。

雙旋彈在飛行過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)攻角大小不衰減的圓錐擺動(dòng)，使得彈丸射程減小，甚至導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)失穩(wěn)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)特性分析，一般借助美國著名外彈道學(xué)者M(jìn)urphy針對(duì)彈箭建立的角運(yùn)動(dòng)方程[1-2]。韓子鵬對(duì)彈箭的圓錐運(yùn)動(dòng)以及非線性角運(yùn)動(dòng)特性開展了深入的研究，發(fā)表了多篇學(xué)術(shù)著作[3-4]。常思江等對(duì)雙旋彈前體周期性干擾引起的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，得到了周期性舵控作用強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)應(yīng)特解的表達(dá)式，并對(duì)前體轉(zhuǎn)速閉鎖問題進(jìn)行了初步分析[5]。舒敬榮等研究了非線性力矩作用下氣動(dòng)偏心的低速旋轉(zhuǎn)彈丸的強(qiáng)迫圓錐運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性條件[6]。

在彈道的非水平段，當(dāng)偏航舵偏轉(zhuǎn)到一定程度時(shí)，雙旋彈角運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象是雙旋彈動(dòng)力學(xué)分岔造成的。分岔分析是研究非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)行為，掌握解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與系統(tǒng)參數(shù)之間關(guān)系的一種手段，在飛行器工程領(lǐng)域取得了許多有價(jià)值的研究成果。Carroll等采用分岔分析方法研究了大攻角下飛行器的動(dòng)力學(xué)問題[7]。許多生等提出了一種快速有效的研究方法，對(duì)飛機(jī)滾轉(zhuǎn)時(shí)的慣性耦合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分岔分析和穩(wěn)定性分析[8]。Gill等對(duì)標(biāo)準(zhǔn)飛行包線外的飛行器控制器特性進(jìn)行了分岔分析，研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制器參數(shù)的關(guān)系[9]。鐘揚(yáng)威等研究了彈箭角運(yùn)動(dòng)的霍普夫分岔現(xiàn)象，分析了飛行高度對(duì)極限環(huán)擺幅的影響[10]。

文中根據(jù)雙旋彈非線性角運(yùn)動(dòng)方程組，從氣動(dòng)非線性和幾何非線性兩個(gè)角度分別研究了雙旋彈典型的非線性運(yùn)動(dòng)特性。給出了基于平均法的角運(yùn)動(dòng)擬線性分析方法，以及基于中心流行定理的角運(yùn)動(dòng)分岔分析方法。結(jié)合某型雙旋彈參數(shù)，得到了三次方靜力矩作用下雙旋彈產(chǎn)生穩(wěn)定圓錐擺動(dòng)的必要條件，同時(shí)分析了以偏航舵偏角為分岔參數(shù)的雙旋彈非線性角運(yùn)動(dòng)分岔特性。最后通過數(shù)值仿真，驗(yàn)證了分析方法和結(jié)果的正確性。

1 雙旋彈非線性角運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于雙旋彈的角運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為雙旋彈速度V、轉(zhuǎn)速ωx為慢變量，故選取x=[αβωzωy]T為雙旋彈非線性角運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。同時(shí)假設(shè)雙旋彈穩(wěn)定飛行過程中α、β為小量，即sinα≈α，sinβ≈β，cosα≈1，cosβ≈1，且小量的乘積為0。進(jìn)一步，忽略馬格努斯力以及舵面控制力對(duì)雙旋彈角運(yùn)動(dòng)的影響。根據(jù)雙旋彈的運(yùn)動(dòng)方程組，可以推導(dǎo)非線性角運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:

2 氣動(dòng)非線性下角運(yùn)動(dòng)特性分析

2.1 雙旋彈角運(yùn)動(dòng)振幅平面方程

在討論氣動(dòng)非線性對(duì)雙旋彈角運(yùn)動(dòng)的影響時(shí)，可以引入水平彈道假設(shè)，即?= 0°。采用Murphy穩(wěn)定性理論中的復(fù)數(shù)分析方法，定義復(fù)數(shù)變量Δ=β+iα和δ=δy+iδz，從式(1)中消去ωz、ωy及其導(dǎo)數(shù)，可以得到雙旋彈的非線性復(fù)攻角方程：

(2)

(3)

設(shè)式(3)的解具有二圓運(yùn)動(dòng)的形式：

Δ=K1eiφ1+K2eiφ2

(4)

定義阻尼因子λi：

(5)

將式(4)、式(5)代入式(3)得：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

同理可以得到：

(11)

(12)

2.2 圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件

(13)

(14)

需要注意的是，λ1和λ2表達(dá)式有意義需要滿足：

(15)

(16)

(17)

(18)

綜合式(15)、式(17)，由李雅普諾夫判據(jù)可知，雙旋彈存在穩(wěn)定的圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件為：

(19)

(20)

式中:

綜上所述，式(19)、式(20)構(gòu)成了雙旋彈在三次方靜力矩作用下產(chǎn)生穩(wěn)定圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件。

2.3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述結(jié)論的合理性，選取不同氣動(dòng)參數(shù)組合進(jìn)行數(shù)值仿真，如表1所示。

表1 氣動(dòng)參數(shù)表

圖1 算例1中初始狀態(tài)在極限環(huán)內(nèi)的相軌

圖2 算例1中初始狀態(tài)在極限環(huán)外的相軌

圖3 算例2中初始狀態(tài)在極限環(huán)內(nèi)的相軌

圖4 算例2中初始狀態(tài)在極限環(huán)外的相軌

圖5 算例3中相軌

圖6 算例4中相軌

3 幾何非線性下角運(yùn)動(dòng)特性分析

3.1 角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定邊界條件

設(shè)γ=[δyδz]T是含參非線性系統(tǒng)式(1)的參變量，設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe(γ)=[αeβeωzeωye]T，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的雅克比矩陣為：

(21)

對(duì)應(yīng)的四階特征方程可以表示為：

s4+p1s3+p2s2+p3s+p4=0

(22)

對(duì)于穩(wěn)定飛行的雙旋彈，ωze、ωye的數(shù)值非常小，取ωze≈0，ωye≈0，并做mΔ≈M，mω≈PT的近似處理，則式(22)中特征方程系數(shù)表達(dá)式為：

(23)

若忽略αe，并令HPT-PM=Q，根據(jù)四階勞斯-霍爾維茨判據(jù)，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)穩(wěn)定的充要條件為特征方程式(22)的系數(shù)滿足如下條件：

(24)

將式(23)代入式(24)可以得到關(guān)于βetan?的二次不等式:

r1(βetan?)2+r2(βetan?)+r3<0

(25)

其中多項(xiàng)式系數(shù)滿足：

(26)

對(duì)于雙旋彈一般有M>>HT，則可由式(25)得到系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)βetan?需要滿足的邊界條件為：

β1<βetan?<β2

(27)

式中：

由式(27)可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)δy需要滿足的邊界條件為：

(28)

式中：

3.2 分岔特性分析

在臨界點(diǎn)處，系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性發(fā)生了突變，其動(dòng)力學(xué)發(fā)生了分岔現(xiàn)象，下面對(duì)雙旋彈的分岔性態(tài)進(jìn)行計(jì)算分析。

表2 氣動(dòng)參數(shù)表

考慮?=-45°，以δy為分岔參數(shù)μ，使用x1,x2,x3,x4表示系統(tǒng)的狀態(tài)，將表2的氣動(dòng)參數(shù)代入角運(yùn)動(dòng)方程式(1)中，得到含參非線性系統(tǒng)：

(29)

使用式(28)的結(jié)論，可以驗(yàn)證當(dāng)μ=μ0=0.2時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生突變，此時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與雅克比矩陣特征值如表3所示。在此平衡點(diǎn)處，特征值為兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)，一對(duì)特征值具有負(fù)實(shí)部，另一對(duì)特征值實(shí)部為零。根據(jù)霍普夫分岔定理[11]，該平衡點(diǎn)為系統(tǒng)的一個(gè)霍普夫分岔點(diǎn)，且系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近將會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)。下面將對(duì)系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行深入分析。

表3 系統(tǒng)平衡點(diǎn)和雅克比矩陣特征值

不失一般性，在分岔點(diǎn)附近將平衡點(diǎn)擬合為分岔參數(shù)μ的線性函數(shù)，將系統(tǒng)的原點(diǎn)移至平衡點(diǎn)，并令μ=λ+μ0，則雙旋彈角運(yùn)動(dòng)方程在分岔點(diǎn)附近可以等價(jià)描述為：

(30)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]中心流行定理的計(jì)算方法，取非奇異線性變換矩陣B為表3每對(duì)共軛特征值所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量的實(shí)部與虛部構(gòu)成的方陣，如式(31)所示。

(31)

做非奇異變換x=By，系統(tǒng)式(30)可以變換為：

(32)

其中G(y,λ)為系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。根據(jù)中心流行定理，系統(tǒng)式(32)過霍普夫分岔點(diǎn)(0, 0)有二維穩(wěn)定流行和中心流行，可以計(jì)算出二維中心流行為：

(33)

其中H.O.T表示3階以上的高階項(xiàng)。

將式(33)代入式(32)中可以得到原系統(tǒng)降維后的二維約化方程：

(34)

根據(jù)中心流行定理，原系統(tǒng)在霍普夫分岔點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)特性可通過分析約化方程式(34)來確定。

令y1=rcosθ，y2=rsinθ，將約化方程式(34)在極坐標(biāo)下寫成規(guī)范形形式：

(35)

3.3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的有效性，將式(27)、式(28)計(jì)算結(jié)果與Matcont數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)?=45°時(shí)，由式(27)、式(28)可以得到雙旋彈角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)βe所需要滿足的邊界條件為-26.6°<βe< 2.3°，對(duì)應(yīng)的，δy所需要滿足的邊界條件為-8.5°<δy< 76.4°；當(dāng)?=-45°時(shí)，由式(27)、式(28)可以得到雙旋彈角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)βe所需要滿足的邊界條件為-4.5°<βe< 26.5°，對(duì)應(yīng)的，δy所需要滿足的邊界條件為-79.5°<δy< 11.5°。

Matcont數(shù)值仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。圖7為?= 45°時(shí)，平衡攻角、側(cè)滑角隨δy變化的曲線，l1，k1段對(duì)應(yīng)的為不穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，l2，k2段對(duì)應(yīng)的為穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，當(dāng)δy=-8.8°時(shí)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)屬性發(fā)生了突變，對(duì)應(yīng)圖中H1點(diǎn)，此時(shí)αe=-0.07°，βe=2.4°；圖8為?=-45°時(shí)的分岔圖，l3，k3段對(duì)應(yīng)的為穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，l4，k4段對(duì)應(yīng)的為不穩(wěn)定的平衡攻角、側(cè)滑角，當(dāng)δy=13.5°時(shí)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)屬性發(fā)生了突變，對(duì)應(yīng)圖中H2點(diǎn)，此時(shí)αe=0.2°，βe=-4.9°。數(shù)值仿真得到系統(tǒng)失穩(wěn)邊界的βe，δy與式(27)和式(28)計(jì)算得到的穩(wěn)定邊界基本一致，表明穩(wěn)定邊界條件可以作為偏航舵偏角引起雙旋彈在非水平彈道處動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的判定依據(jù)。

圖7 ?=45°時(shí)以δy為分岔參數(shù)的分岔圖

圖8 ?=-45°時(shí)以δy為分岔參數(shù)的分岔圖

為驗(yàn)證式(35)描述的系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)特性，使用Matcont對(duì)系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值仿真計(jì)算，系統(tǒng)平衡狀態(tài)αe，βe隨分岔參數(shù)δy的變化如圖9所示。隨著δy的變化，系統(tǒng)在δy,0處產(chǎn)生了霍普夫分岔，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)由穩(wěn)定的平衡點(diǎn)突變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點(diǎn)，并在穩(wěn)定平衡點(diǎn)一側(cè)產(chǎn)生不穩(wěn)定極限環(huán)，極限環(huán)的幅值隨著|δy-δy,0|增大而增大。數(shù)值仿真結(jié)果與理論分析結(jié)論一致，表明上述分岔分析方法能夠準(zhǔn)確描述雙旋彈的角運(yùn)動(dòng)特性。

4 結(jié)論

根據(jù)雙旋彈的非線性角運(yùn)動(dòng)方程，從氣動(dòng)非線性和幾何非線性兩個(gè)方面對(duì)雙旋彈非線性運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析，結(jié)論為：

1)三次方非線性靜力矩作用下的雙旋彈，在滿足式(19)、式(20)所確定的約束條件時(shí)，其角運(yùn)動(dòng)能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的圓錐運(yùn)動(dòng)，此時(shí)雙旋彈攻角不衰減，會(huì)影響彈丸的射程，甚至導(dǎo)致飛行失穩(wěn)，對(duì)于雙旋彈的結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

2)當(dāng)雙旋彈的彈道不平直時(shí)，且當(dāng)偏航舵偏角增大到一定程度時(shí)，產(chǎn)生的頭部側(cè)向控制力會(huì)導(dǎo)致角運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)。在臨界點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)發(fā)生了霍普夫分岔現(xiàn)象，越過分岔點(diǎn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)消失，而在穩(wěn)定分岔點(diǎn)一側(cè)產(chǎn)生了不穩(wěn)定的極限環(huán)?？刂品桨傅脑O(shè)計(jì)過程應(yīng)避免使雙旋彈角運(yùn)動(dòng)進(jìn)入不穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的吸引域。