張 琪, 欒世霞

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

本文主要研究下述基爾霍夫型方程

(1)

a為常數(shù)且a>0,λ是一個(gè)參數(shù),f∈C(N×,),F(x,u)=f(x,s)ds,s∈N.

過(guò)去幾十年間,問(wèn)題 (1) 是一個(gè)重要的非局部擬線性問(wèn)題.因?yàn)楫?dāng)f滿足不同的條件就會(huì)得到不同的結(jié)果,所以這類(lèi)基爾霍夫問(wèn)題及其結(jié)果已經(jīng)得到了廣泛的研究.例如,文獻(xiàn)[4]在f滿足超線性的條件下,通過(guò)變分方法和擾動(dòng)方法得到了基爾霍夫問(wèn)題的無(wú)窮多解.文獻(xiàn)[13]在f滿足漸近線性的條件下,利用極大極小方法和莫斯理論,得到了共振和非共振條件下基爾霍夫型方程的3個(gè)非平凡解的存在性.文獻(xiàn) [18]提出當(dāng)f滿足適當(dāng)?shù)目刂圃鲩L(zhǎng)條件,通過(guò)最小化的討論,得到基爾霍夫型方程的最小能量變號(hào)解.另外,當(dāng)f滿足奇性條件,利用定量形變引理,得到基爾霍夫型方程的無(wú)窮多非平凡弱解.

當(dāng)V(x)=0,λ為正常數(shù),N被一個(gè)有界區(qū)域 Ω 取代時(shí),問(wèn)題 (1) 就簡(jiǎn)化為下述問(wèn)題

(2)

基爾霍夫在文獻(xiàn) [1] 中首次提出此方程.準(zhǔn)確來(lái)說(shuō),與擬線性基爾霍夫方程

密切相關(guān),是自由振動(dòng)彈性繩的經(jīng)典達(dá)朗貝爾波方程的擴(kuò)展.自此方程提出后,方程 (2) 備受關(guān)注,早期的研究成果見(jiàn)文獻(xiàn) [5-7].事實(shí)上,在各種物理和生物模型的研究中,基爾霍夫問(wèn)題也受到越來(lái)越多的關(guān)注[8-12,14].

在主要結(jié)果證明前,我們假設(shè)V(x),f(x,u) 滿足以下條件:

(F5)f(x,-t)=-f(x,t),t∈,x∈N.

利用噴泉定理來(lái)求泛函的解,需驗(yàn)證(PS)條件成立.首先,由于在全空間H1(N) 上,很難驗(yàn)證(PS)序列的有界性,其次,由于非局部項(xiàng)?u|2dx的影響,得到一個(gè)有界的(PS)序列時(shí),對(duì)于??u|2dx極限的成立仍面臨著困難.為了解決這些困難,我們使用徑向?qū)ΨQ(chēng)的索伯列夫空間N).N) 為H1(N) 的子空間.于是,定義泛函N)→

(3)

1 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)果

Bk={u∈Yk:‖u‖≤ρk},Nk={u∈Zk:‖u‖=rk}, 且ρk>rk>0.

ci定義了不同的正常數(shù).

定理1.1 假設(shè) (V1),(F1)-(F5) 成立,則存在λ*>0,當(dāng)λ∈(0,λ*) 時(shí),問(wèn)題 (1) 有無(wú)窮解uk,使得當(dāng)k→∞ 時(shí),Iλ(uk)→+∞.

2 引理及主要結(jié)果的證明

因?yàn)镮λ∈C1,所以,對(duì)任意v∈X有

(4)

我們先介紹一下噴泉定理.

引理2.1[2]假設(shè)泛函φ∈C1(X,) 滿足φ(-u)=φ(u)，對(duì)于幾乎處處的k∈,存在ρk>rk>0,使得

(ⅲ) 對(duì)任意的C>0,φ滿足 (PS)c條件;

則φ有一個(gè)無(wú)界的臨界值序列φ(uk)→+∞,k→∞.

引理2.2 假設(shè)條件 (V1),(F1)-(F3) 成立,則

(a) 存在ρ>0,α>0,使得Iλ(u)≥α>0,u∈X且 ‖u‖=ρ.

(b) 存在e∈X,‖e‖>ρ,λ*>0,當(dāng) 0<λ<λ*時(shí),Iλ(e)<0.

證明(a) 由條件 (F1) 和 (F2) 知,對(duì)任意的ε>0 有cε>0,使得

(5)

由索不列夫嵌入不等式,有

所以,由上式知,當(dāng) ‖u‖=ρ>0,ρ充分小時(shí),有Iλ(u)≥α>0,即(a)成立.

因此,存在e∈X,‖e‖>ρ且Iλ(e)<0,其中 0<λ<λ*,于是(b)成立.

引理2.3[3]設(shè)E為巴拿赫空間,E*為E的對(duì)偶空間.φ∈C1(E,),存在α<β,ρ>0,u1∈E且‖u1‖>ρ，滿足條件設(shè)其中 Λ={γ∈C([0,1],E):γ(0)=0,γ(1)=u1} 是連接 0 和u1之間的連續(xù)路徑的集合.則存在 {un}?E,使得

I(uk)→c≥β,I′(uk)→0，k→∞.

由引理2.2和引理2.3,可知,存在一個(gè) (PS) 序列 {uk}?X,滿足

Iλ(uk)→c>0,Iλ′(uk)→0，k→∞

(6)

引理2.4 假設(shè)條件 (V1) 和 (F3) 成立,則 (PS) 序列 {uk} 在X中有界.

證明由 (6) 式得,

(7)

反證,假設(shè) {uk} 在X中無(wú)界,即當(dāng)k→∞ 時(shí),‖uk‖→+∞.由不等式 (7) 及條件 (F1),若 {uk} 無(wú)界,則 (7) 式矛盾,所以 {uk} 在X中有界.

引理2.5 若 {uk}在X中有界,且當(dāng)k→∞ 時(shí)Iλ′(uk)→0,則 {uk} 在X中有一個(gè)收斂的子列,為書(shū)寫(xiě)方便,仍記為 {uk}.

接下來(lái)證明 {uk} 有強(qiáng)收斂子列

〈Iλ′(uk)-Iλ′(u),uk-u〉=

(8)

顯然,當(dāng)n→∞ 時(shí),等式左邊和等式右邊的中間兩項(xiàng)趨于 0.另外,由文獻(xiàn)[2]的定理 A.2,可以得到

f(x,un)→f(x,u),在Lq(N)中

由 H?lder 不等式可知

定理1.1的證明由引理2.2,引理2.3,引理2.4可以得到有界的 (PS) 序列.由引理2.5,可知道Iλ(u) 滿足引理2.1的條件 (ⅲ).另外,由條件 (F5) 知,Iλ滿足Iλ(-u)=Iλ(u).下面證明Iλ(u) 滿足引理2.1中的條件 (ⅰ) 和 (ⅱ).

首先驗(yàn)證 (ⅰ),有條件 (F1),(F3),(F4) 知,存在常數(shù)ci>0,i∈,使得

F(x,u)≥c3|u|4-c4|u|2.

則

因?yàn)樵谟邢蘧S空間Yk中范數(shù)等價(jià)，所以,當(dāng) ‖u‖=ρ,ρ充分大時(shí),(ⅰ) 滿足.

其次驗(yàn)證 (ⅱ),由條件 (F1),得

(9)

定義

(10)

由文獻(xiàn)[2]知,當(dāng)k→∞,βk→0.所以,在空間Zk中,由 (9),(10) 式及索不列夫嵌入不等式,得

(11)

取

(12)

因?yàn)閜>2,所以當(dāng)k→∞,rk→+∞.將 (12) 式代入 (11)式,得

當(dāng)k→∞,所以,條件 (ⅱ) 成立.綜上,定理1.1得證.