楊曉鳳, 董 華

(曲阜師范大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

對偶模型是用隨機和不規(guī)則的收益來抵消連續(xù)支出的風(fēng)險過程,因此,經(jīng)常用其來描述某些發(fā)明創(chuàng)造類公司的盈余過程,具體參見文獻(xiàn) [3,4].另外,也有學(xué)者對譜正 Lévy 風(fēng)險過程的最優(yōu)分紅問題進(jìn)行了研究,例如,文獻(xiàn) [24] 在譜正 Lévy 風(fēng)險模型下討論了最優(yōu)分紅和注資問題,最大化了總的期望折現(xiàn)分紅量.

分紅問題是風(fēng)險理論中許多學(xué)者非常關(guān)心的問題.在傳統(tǒng)的障礙分紅問題上,在破產(chǎn)發(fā)生之前,超過分紅界限的那一部分就會立即作為紅利分給公司的股東,例如,文獻(xiàn) [5,20] 等.顯然,障礙分紅策略與實際情況很多方面不一致.一方面,保險人無法連續(xù)清查盈余,只能在一些離散時間支付紅利.文獻(xiàn) [1] 在經(jīng)典風(fēng)險模型下提出了周期分紅策略,其破產(chǎn)和分紅均發(fā)生在離散觀測時間點上.隨后,文獻(xiàn) [19] 研究了對偶風(fēng)險模型的周期分紅;文獻(xiàn) [21] 在經(jīng)典模型下將指數(shù)間隔時間推廣到了 Erlang(n) 間隔時間.文獻(xiàn) [10] 將文獻(xiàn) [21] 的結(jié)論推廣到了譜負(fù) Lévy 過程上,并得到了破產(chǎn)時間,分紅次數(shù)以及總的分紅量的聯(lián)合拉普拉斯變換.最近,文獻(xiàn) [22] 將隨機觀測障礙分紅策略和閾值分紅策略相結(jié)合,在對偶模型下討論了直到破產(chǎn)時間的總的折現(xiàn)分紅量以及期望折現(xiàn)罰金函數(shù).另一方面,在實際生活中保險人不可能在觀測到盈余水平高于分紅界限時立即進(jìn)行分紅,因為分紅決策的制定和實施之間往往有時間延遲.因此,文獻(xiàn) [9] 在經(jīng)典風(fēng)險模型下討論了在分紅決策和分紅實施之間有Parisian延遲的分紅問題,文獻(xiàn) [8] 又將其結(jié)果拓展到了譜負(fù) Lévy 過程上.文獻(xiàn) [7] 在對偶風(fēng)險模型下對此問題進(jìn)行了討論,并且文獻(xiàn) [23] 又運用極限逼近的方法將其結(jié)果推廣到了譜正 Lévy 風(fēng)險模型上,得到了破產(chǎn)時間的拉普拉斯變換.

近來,混合觀測體系在破產(chǎn)理論中備受關(guān)注,它是 Poisson 離散觀測和 Parisian 固定時間延遲的結(jié)合.文獻(xiàn) [13] 基于混合觀測體系重新定義了 Parisian 破產(chǎn)問題,并且得到了 Parisian 破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式及其極限形式.最近,文獻(xiàn) [14] 將其結(jié)果進(jìn)行了推廣并得到了一些其他的波動等式.事實上,混合觀測體系不僅能應(yīng)用于保險公司的 Parisian 破產(chǎn)問題上,還能應(yīng)用在分紅問題上,它是 Poisson 離散觀測分紅和 Parisian 延遲分紅的結(jié)合.

受上面這些文獻(xiàn)的啟發(fā),我們在譜正 Lévy 風(fēng)險模型下討論基于混合觀測體系的障礙分紅問題.本文結(jié)構(gòu)如下: 在第1節(jié)里給出具體模型;在第2節(jié)里給出一些譜負(fù) Lévy 過程的尺度函數(shù);在第3節(jié)里給出主要結(jié)果及證明;在第4節(jié)里給出一個例子.

1 模 型

首先給出譜正 Lévy 過程的定義,進(jìn)而在譜正 Lévy 過程下給出基于混合觀測體系的障礙分紅問題.

1.1 譜正 Lévy 過程

本文中,相應(yīng)的概率測度用Px表示,期望用Ex表示.特別地,記P=P0,E=E0.

1.2 基于混合觀測體系的障礙分紅問題

本文在譜正 Lévy 過程下考慮基于混合觀測體系的障礙分紅問題.在混合觀測體系下,我們對破產(chǎn)時間進(jìn)行連續(xù)觀測,首先以 Poisson 到達(dá)時間對風(fēng)險盈余過程進(jìn)行離散觀測.當(dāng)觀測到過程的盈余水平大于分紅界限b>0時,接下來過程就會被連續(xù)觀測.如果盈余水平在寬限期r>0內(nèi)一直保持在b水平之上,則在寬限期結(jié)束時對超過b的那一部分立即進(jìn)行分紅.否則,繼續(xù)以 Poisson 到達(dá)時間進(jìn)行離散觀測.用圖1來對基于混合觀測體系的障礙分紅問題進(jìn)行更詳細(xì)的演示.

圖1 混合觀測體系下譜正 Lévy 過程的分紅問題

2 尺度函數(shù)

該節(jié)介紹一些譜負(fù) Lévy 過程X的尺度函數(shù)以及一些波動等式.首先,函數(shù)Φq是方程ψ(θ)=q的最大的根 Φq=sup{θ≥0:ψ(θ)=q},并且Φq=0當(dāng)且僅當(dāng)q=0,記Φ=Φ0.當(dāng)q≥0時,用Wq來表示譜負(fù) Lévy 過程的q-尺度函數(shù),它的拉普拉斯變換為

(2.1)

其中ψq(θ)=ψ(θ)-q,當(dāng)x≥0時,它是正的,連續(xù)的并且嚴(yán)格單調(diào)遞增的,當(dāng)x<0時,Wq(x)=0.當(dāng)q=0時,記W=W0.文獻(xiàn) [2] 定義了第二類尺度函數(shù)

(2.2)

當(dāng)x<0時,Zq(x,θ)=eθx.當(dāng)θ=0時,(2.2) 式簡化為[11]

(2.3)

此外,(2.2)式也可以被寫為

(2.4)

當(dāng)p,p+q≥0,并且x∈時,文獻(xiàn) [18] 引入了尺度函數(shù)

(2.5)

并且滿足

(2.6)

文獻(xiàn)[16]引入了(r,s)-延遲尺度函數(shù),其定義為

(2.7)

當(dāng)q=0時,(2.7) 式簡化為在文獻(xiàn) [17] 中定義的尺度函數(shù)

(2.8)

記Λ=Λ(0).此外,Λ(p)(0,r)=epr.

下面給出一些波動等式.由文獻(xiàn) [12],知當(dāng)x≤b時,有

(2.9)

由文獻(xiàn) [15] 中知,當(dāng)θ,r,q>0時,有

(2.10)

并且

(2.11)

3 主要結(jié)果

該節(jié)首先討論破產(chǎn)時間和總的分紅量的聯(lián)合拉普拉斯變換,進(jìn)而通過對θ,λ,q以及r取極限得到一些特殊的結(jié)果.在給出主要結(jié)果和證明之前,首先給出下面兩個引理,詳見文獻(xiàn) [14].

引理3.1 當(dāng)u≤b,x<0并且q≥0時,有

(3.1)

引理3.2 當(dāng)q,θ≥0,λ,r,b>0并且u≤b時,有

Λ(q)(u;r,λ)-Λ(q)(u;r,θ-q)].

(3.3)

定理3.1 當(dāng)u,b>0,q,θ≥0時,有

其中

H(q)(b,r;λ,θ)=ψq(θ)e(q+λ)rZq(b,Φq+λ)-λeψ(θ)rZq(b,θ)+

ψq+λ(θ)A(q,q)(b;r,λ)+λA(q,ψ(θ))(b;r,λ),

A(q,ψ(θ))(b;r,λ)=Λ(q)(b;r,ψ(θ)-q)-Λ(q)(b;r,λ).

證明由強馬氏性以及譜負(fù) Lévy 過程和譜正 Lévy 過程之間的關(guān)系,易得

(3.3)

并且由 (2.9) 式可得

(3.4)

由(2.10)式和(3.2)式可以得到

(3.5)

下面,需要求解

(3.6)

的具體表達(dá)式.當(dāng)x≤a時,文獻(xiàn) [11] 給出了

(3.7)

當(dāng)α≥0,x≤0時,由(3.7)式,(2.1)式以及 Fubini 定理易得

接下來,討論上式的拉普拉斯逆變換.顯然,

(3.8)

結(jié)合(2.11)式和(3.8)式,可以得到

(3.9)

將(3.9)式代入(3.6)式中可以得到

(3.10)

其中,在第2個等式中用到了(3.1)式和(3.2)式,在最后一個等式中用到了(2.6)式.將(3.4)式,(3.5)式和(3.10)式代入(4.3)式并令u=b,得到

(3.11)

最后,將(3.4)式,(3.5)式,(3.10)式和(3.11)式代入(3.3)式中就完成了證明.

推論3.1 在定理3.1中令θ→0,有

(3.12)

其中

H(q)(b,r,λ)=-qe(q+λ)rZq(b,Φq+λ)-λZq(b)-(q+λ)Λ(q)(b,r)+

qΛ(q)(b;r,λ)+λΛ(q)(b;r,-q).

注3.1 當(dāng)λ→∞時,推論3.1和文獻(xiàn) [23] 中的(16)式是一致的.

證明對e(q+λ)rZq(b,Φq+λ)-Λ(q)(b;r,λ)取拉普拉斯變換,有

其中θ>q+λ,Φθ>Φq+λ,并且在第2個等式中用到了(3.8)式,(2.7)式和 Fubini 定理.在第3個等式中用到了 Kendall 等式[6]

(3.13)

第4個等式利用了首達(dá)時的拉普拉斯變換

(3.14)

在最后一個等式中用到了(2.6)式.與此同時,當(dāng)λ→∞時,可以推出θ→∞,Φθ→∞,Φq+λ→∞.因此,

其中,在第2個等式中用到了(2.4)式.由Φθ>Φq+λ,θ>q+λ可以得到

并且

因此,得到

由拉普拉斯變換的唯一性推出

進(jìn)而,由上面的等式得到

Zq(b)-Λ(q)(b,r)+Λ(q)(b;r,-q)=

其中,在第3個等式中用到了(2.7)式和(2.8)式,在最后一個等式中用到了(2.5)式.因此,可以得到

推論3.2 在(3.12)中令r→0,有

證明由文獻(xiàn)[14]知

(3.15)

并且

(3.16)

因此,有

進(jìn)而,得到

推論3.3 在定理3.1中令q=0可以得到

(3.17)

其中

H(b;r,λ,θ)=ψ(θ)eλrZ(b,Φλ)-λeψ(θ)rZ(b,θ)+ψλ(θ)Λ(b,r)-ψ(θ)Λ(b;r,λ)+λΛ(b;r,ψ(θ)).

推論3.4 在(3.17)式中對θ求導(dǎo)并令θ→0得到

證明

其中,在第一個等式用到了(2.8)式,在第二個等式中用到了 Fubini 定理和(3.13)式,在第三個和最后一個等式中分別用到了(3.14)式和(2.4)式.進(jìn)而,由 Fubini 定理和初值定理可以得到

(3.18)

由(3.15)式,(3.16)式和(3.18)式可得結(jié)論成立.

推論3.5 在(3.17)中令r→0,可以得到

推論3.6 在推論3.5中 對θ求導(dǎo)并令θ→0,有

注3.2 當(dāng)r→0時,推論3.4和推論3.6是一致的.