張源野， 譚宜家

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,350108,福建省福州市)

0 引 言

半環(huán)理論是代數(shù)理論研究的一個重要內(nèi)容，應(yīng)用很廣泛[1,2].半環(huán)上的導(dǎo)子是半環(huán)理論中的重要研究內(nèi)容之一[3-5].1993年，Coelho和Milies[6]證明了C-代數(shù)A上的上三角矩陣環(huán)的導(dǎo)子可以表示成一個內(nèi)導(dǎo)子和一個A上C- 導(dǎo)子誘導(dǎo)的導(dǎo)子之和.2006年，謝樂平和曹佑安研究了形式三角矩陣環(huán)上的導(dǎo)子,給出了形式三角矩陣環(huán)上導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)形式[7]；2013年，Lu等學(xué)者研究了形式三角矩陣環(huán)上的高階導(dǎo)子,給出了形式三角矩陣環(huán)上高階導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)形式[8].

三角矩陣環(huán)、形式三角矩陣環(huán)都是特殊的形式三角矩陣半環(huán).本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究形式三角矩陣半環(huán)的導(dǎo)子和高階導(dǎo)子,證明了三角矩陣半環(huán)Tri(R,M,S)的任一導(dǎo)子可由半環(huán)R,S的導(dǎo)子和(R,S)-雙半模M的一個擬同態(tài)來表示；半環(huán)Tri(R,M,S)的任一高階導(dǎo)子可由半環(huán)R,S的高階導(dǎo)子和(R,S)-雙半模M中滿足一定條件的一族可加映射來表示.

1 基本概念

定義1.1[1]一個半環(huán)是一個代數(shù)系統(tǒng)(R,+,·),其中(R,+)是一個帶有恒等元0的交換幺半群,(R,·)是一個帶有恒等元1R的幺半群,乘法對加法滿足左右分配律.同時,對于任意a∈R,0a=a0=0.0≠1R,元素0,1R分別稱為半環(huán)R的零元和單位元.

一個半環(huán)R稱為加法可消半環(huán)[1]，如果對于任意a,b,c∈R,由a+b=a+c可推出b=c.

設(shè)(R,+,0)是一個交換幺半群,a∈R.a稱為可反的,如果存在b∈R,使得a+b=0,此時b稱為a的一個反元.不難驗證,如果元素a有一個反元,那么這個反元是唯一的,a的反元記為-a.如果a,b∈R,且b是可反元,我們定義a-b=a+(-b).不難驗證,對于半環(huán)R中的任意元a,b,如果b是可反元，那么a(-b)=-ab，(-b)a=-ba.顯然，一個半環(huán)R是一個環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每一個元都是可反元.

半環(huán)是豐富的.例如,每一個帶有單位元的環(huán)是一個加法可消半環(huán)；每一個布爾代數(shù)、每一個有界分配格都是半環(huán)；又如，整數(shù)環(huán)Z(有理數(shù)域Q,實(shí)數(shù)域R)的正錐Z0(Q0，R0)是一個加法可消半環(huán)；再如Max-Plus 代數(shù) (R∪{-∞},max,+)[9]是一個半環(huán).

定義1.2[1]半環(huán)R上的一個左半模(簡稱左R-半模)是一個交換幺半群(M,+,0)，并且存在一個映射R×M→M，(r,m)→rm，滿足對于任意r,r′∈R,m,m′∈M，均有

(1)r(m+m′)=rm+rm′； (2)(r+r′)m=rm+r′m； (3)(rr′)m=r(r′m)；

(4)1Rm=m； (5)r0=0=0m.

類似地，可定義半環(huán)S的右S-半模.一個交換半群(M,+)如果既是左R-半模又是右S-半模，并且?a∈R,m∈M,b∈S，均有(am)b=a(mb)，則稱M為(R,S)-雙半模.

定義1.3[1]設(shè)R是一個半環(huán)，d：R→R是一個映射.d稱為R的一個可加映射,如果對于任意x,y∈R,均有d(x+y)=d(x)+d(y)；d稱為R的一個導(dǎo)子,如果d為R的一個可加映射，并且對于任意x,y∈R,均有d(xy)=d(x)y+xd(y).

注1.1 不難驗證,對于半環(huán)R的任意一個導(dǎo)子d,均有d(0)=0.

定義1.4 設(shè)R,S是兩個半環(huán)，M是(R,S)-雙半模.dR,dS分別是R,S的導(dǎo)子,f：M→M是一個映射.f稱為雙半模M的一個(dR,dS)-擬同態(tài),如果f是M的可加映射，并且對于任意r∈R,m∈M,s∈S,均有f(rm)=dR(r)m+rf(m),f(ms)=f(m)s+mdS(s).

定義1.5[10]設(shè)R,S是兩個半環(huán)，M是(R,S)-雙半模,則集合

在通常的矩陣加法和乘法下構(gòu)成一個半環(huán)，稱之為形式三角矩陣半環(huán).

2 導(dǎo) 子

(2.1)

證明充分性.通過直接計算可得d是半環(huán)Tri(R,M,S)的一個導(dǎo)子.

必要性.設(shè)d是Tri(R,M,S)的任一導(dǎo)子.對于任意x,y∈Tri(R,M,S),設(shè)

(2.2)

(2.3)

d11(0,m,s)=0.

(2.4)

d11(r,m,s)=d11(r,0,0)+d11(0,m,s)=d11(r,0,0).

(2.5)

式(2.5)說明d11(r,m,s)不依賴于m與s．類似可證d22(r,m,s)不依賴于r與m．

現(xiàn)將d11(r,m,s)和d22(r,m,s)分別記為dR(r)和dS(s)，于是得到兩個映射dR:R→R和dS:S→S．下證映射dR:R→R與dS:S→S分別是半環(huán)R與S的導(dǎo)子.

由式(2.2),得

dR(r+r′)=dR(r)+dR(r′),dS(s+s′)=dS(s)+dS(s′),

由式(2.3),得

dR(rr′)=dR(r)r′+rdR(r′),dS(ss′)=dS(s)s′+sdS(s′)．

所以dR與dS分別為半環(huán)R與S的導(dǎo)子.于是dR(0)=0,dS(0)=0(根據(jù)注1.1)．這樣式(2.3)變?yōu)?/p>

(2.6)

記m1=f12(1R,0,0),則m1是M的可反元,且f12(0,0,1S)=-m1.

f12(r,0,0)=rf12(1R,0,0)=rm1.

(2.7)

f12(0,0,s)=f12(0,0,1S)s=-m1s.

(2.8)

由式(2.2)，(2.7)，(2.8),得

f12(r,m,s)=f12(r,0,0)+f12(0,m,0)+f12(0,0,s)=rm1-m1s+f12(0,m,0).

記f12(0,m,0)=f(m)，那么得到映射f:M→M,并且f12(r,m,s)=rm1-m1s+f(m).所以

下證f:M→M是(R,S)-雙半模M的一個(dR,dS)-擬同態(tài).

f(m+m′)=f(m)+f(m′).

f(rm)=f12(0,rm,0)=dR(r)m+rf12(0,m,0)=dR(r)m+rf(m).

類似可證f(ms)=f(m)s+mdS(s).所以f是M的一個(dR,dS)-擬同態(tài).證畢.

3 高階導(dǎo)子

定義3.1[11]設(shè)R是一個半環(huán),D={dn|n∈}是R到自身的一族可加映射.D稱為R的一個高階導(dǎo)子,如果對于任意n∈與任意x,y∈R,均有

其中d0表示R的恒等映射IR,表示非負(fù)整數(shù)集.

引理3.1 設(shè)R是一個半環(huán),D={dn|n∈}是R的一個高階導(dǎo)子.那么

(1)對于任意n∈,dn(0)=0；

(2)如果R是加法可消的,那么對于任意正整數(shù)n,dn(1R)=0.

證明(1)當(dāng)n=0時,d0(0)=IR(0)=0,結(jié)論成立.假設(shè)對于小于n,(n≥1),時結(jié)論成立.那么對于n,由歸納假設(shè),知

(2) 當(dāng)n=1時,d1(1R)=d1(1R1R)=d1(1R)1R+1Rd1(1R)=d1(1R)+d1(1R).由于R是加法可消的,所以d1(1R)=0.

假設(shè)對于小于n,(n≥2),時結(jié)論成立.那么對于n,由歸納假設(shè),知

因為R是加法可消的,所以dn(1R)=0.

定理3.1 設(shè)R，S是兩個加法可消半環(huán)，M為(R,S)-雙半模,D={dn|n∈}是形式三角矩陣半環(huán)Tri(R,M,S)到自身的一族映射.那么D是Tri(R,M,S)的高階導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)存在R的高階導(dǎo)子}，S的高階導(dǎo)子},(R,S)-雙半模M的一族可加映射F={fn|n∈}以及M中的一族可反元M0={mn|n是正整數(shù)}，使得對于任意n∈,均有

(3.1)

證明充分性.通過直接計算可得D是半環(huán)Tri(R,M,S)的一個高階導(dǎo)子.

必要性.設(shè)D={dn|n∈}是Tri(R,M,S)的高階導(dǎo)子.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

為了證明必要性,我們先用歸納法證明.

對于任意n∈，不依賴于m與不依賴于r與m．

對于任意n∈，將記為將記為則得到映射和

于是,對于任意n∈，由式(3.7)，得

(3.8)

在式(3.8)中,令r=1R,r′=0,m=m′=0,s=0,s′=1S，由引理3.1(2)得

在式(3.8)中,令r′=1R,m′=0,s′=0，由引理3.1(1)得

(3.9)

類似地,在式(3.8)中,令r=0,m=0,s=1S，得

(3.10)

由式(3.4),(3.9),(3.10),得

(3.11)

下證fn:M→M是可加映射且滿足對于任意r∈R,m∈M,s∈S，均有

首先,在式(3.4)中,令r=r′=0,s=s′=0，得fn(m+m′)=fn(m)+fn(m′).