呂衛(wèi)平，黃 婧，馬 奕

(龍巖學院 福建龍巖 364000)

小波分析是一門具有巨大應用潛力的新學科，它含有豐富的數(shù)學內容及廣泛適用的特性，吸引了國內外眾多學術研究者的關注。小波分析在圖像處理、信號消噪、地震勘探等領域已經(jīng)得到了廣泛的應用，并由此產(chǎn)生了很多有用的科學成果。程正興、王劍平等[1-2]利用小波分析對圖像進行壓縮、去噪等操作，效果較好。詹玲超等[3]討論了基于小波變換的多模態(tài)醫(yī)學圖像的融合方法，在保證圖像質量的同時還可增強圖像的空間細節(jié)表現(xiàn)能力。王一丁等[4]提出將連續(xù)小波變換算法用于雷達信號處理，該方法保持高距離分辨率的同時可有效降低回波信號的副瓣電平。馮占林等[5]利用數(shù)據(jù)小波系數(shù)分布特點及結合零樹量化編碼對地震數(shù)據(jù)進行壓縮，壓縮后可以滿足限失真提高壓縮比的工程要求。陳峰等[6]利用小波變換技術對信號噪聲進行抑制和去除非平穩(wěn)信號的噪聲，發(fā)現(xiàn)小波變換去除噪聲的效果優(yōu)于傳統(tǒng)的Fourior變換方法。將經(jīng)濟金融領域通過觀測得到的現(xiàn)象用數(shù)據(jù)記錄下來，然后將這些數(shù)據(jù)按時間先后次序排列，稱之為經(jīng)濟時間序列。從定義可以看出經(jīng)濟時間序列就是經(jīng)濟金融現(xiàn)象所發(fā)出的信號，它與平時所說的信號無多大差異，通常處理信號的方法對它也同樣適用。從目前已有的資料看，小波分析方法在經(jīng)濟金融時間序列方面的應用雖有涉及[7-10]，但與小波分析在其他領域的廣泛應用相比還相差甚遠，乏善可陳，還有很大的研究空間。

在經(jīng)濟金融領域，信息是持續(xù)影響市場發(fā)展過程的，但經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)的采集卻是基于離散化基礎上的，這必定會導致不同程度的信息缺失。高頻時間序列比低頻序列包含更多的市場信息，并具有長期趨勢。高頻即意味著高頻率的采集，必然會導致干擾信號即噪聲增多，這些噪聲將反過來影響數(shù)據(jù)的進一步分析和處理，故需要對其進行去噪處理。傳統(tǒng)處理信號噪聲的方法是Fourier變換濾波法，它的缺點是只能在整個時間域上去處理，而不能給出信號在具體節(jié)點上的變化情況，這會導致信號在時間域上的任何一個小突變，從而可能影響到信號的整個分析結果，且它要求實際信號與干擾信號即噪聲的頻譜要相互分開，但高頻時間序列具有典型的非穩(wěn)定、非線性和長記憶性，不滿足平衡性條件，這對于高頻信號而言是較難做到的。

改進后的窗口Fourier變換濾波法，雖能隨參數(shù)變化而任意移動，但時頻窗口大小卻是固定的(如圖1所示)，不能隨著高低頻信號不同的要求而靈活變動。

不同于Fourier變換及窗口Fourier變換濾波法，小波變換的多分辨分析特性使它在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，窗口大小雖然固定但其形狀可變，用戶可以根據(jù)高頻和低頻局部信號分析所需而靈活變動窗口的時頻局部化分析方法(如圖2所示)。基于小波變換的上述特性，文章將利用小波變換方法對經(jīng)濟金融高頻時間序列這類波動性大、奇異點密集的信號進行小波去噪處理。

圖1 窗口Fourier變換工作原理

圖2 小波變換工作原理

1 預備知識

函數(shù)f(x)稱為平方可積函數(shù)[11]，即f(x)∈L2(R)，若滿足：

定義1[11]令Vj，j∈Z為L2(R)中的一個函數(shù)子空間序列，且

Vj=Wj+1⊕Vj+1=Wj+1⊕Wj+2⊕Vj+2=Wj+1⊕Wj+2⊕Wj+3⊕…，j∈Z，

若滿足下列條件：

(1)單調性：…?Vj+1?Vj?Vj-1?…，?j∈Z；

(3)正交性：Vj=Vj+1⊕Wj+1；

(4)伸縮性：f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj-1，?j∈Z；

(5)平移不變性：f(t)∈Vj?f(t-b)∈Vj，?b∈Z；

(6)若存在函數(shù)φ(t)∈V0使得{φ(t-b)}b∈Z構成V0的一個Riesz基，即存在常數(shù)A，B滿足0

(1)

定理1 設有限能量信號ψ(t)∈L2(R)，定義ψ(t)的Fourier變換如下：

(2)

(3)

則稱式(3)為小波函數(shù)的容許性條件。

定理3 對f(x)∈L2(R)，若ψ(t)滿足式(3)，則有如下的重構公式[11]：

(4)

其中a>0，b∈R。

2 多分辨分析小波消噪

小波消噪的目標是抑制干擾信號，還原真實信號?；诙喾直娣治龅男〔ㄏ雽嵸|上就是對含噪信號進行濾波的問題，但它又不同于傳統(tǒng)的低通濾波器，經(jīng)小波消噪后的信號能保留初始信號的主要特征，從這點上來說，小波消噪就是低通濾波和特征提取的結合，它的工作流程如圖3所示。

圖3 小波消噪工作流程圖

2.1 多分辨分析小波變換分解

設含噪信號s(t)∈L2(R)，將L2(R)用其子空間Vj和Wj表示為如下的嵌套空間：

Vj=Vj+1⊕Wj+1=…⊕Wj+2⊕Wj+1，j∈Z，

圖4 小波消噪分解圖

從上可知，基于多分辨分析的小波消噪方法中，對于小波基函數(shù)、小波分解層數(shù)、閾值的選取和量化方法將直接影響小波消噪的效果。

2.2 小波基函數(shù)與分解層數(shù)的確定

表1 常用小波基函數(shù)性能比較

與Fourier變換不同，小波變換中的基函數(shù)有多種選擇，只要滿足公式(3)的函數(shù)都可以作為小波變換的一個基函數(shù)。根據(jù)文獻[10]中關于常用小波基函數(shù)主要性能的闡述，對常用小波基函數(shù)性能作如下總結。

考慮到高頻經(jīng)濟金融信號的不平穩(wěn)、數(shù)據(jù)起伏大、奇異點密集等特點，對信號消噪的要求更高，此時應側重選擇具有正交性、消失矩及對稱性等性能的小波基函數(shù)比較合適。利用具有正交性的小波基函數(shù)對含噪信號進行分解，分解后的數(shù)據(jù)具有較強的相關性，可以使噪聲分布在整個小波域中，而信號的主要特征則集中于某些有限的系數(shù)中；具有消失矩和對稱性的小波基函數(shù)能夠更好地應對高頻信號的突變型且通過小波變換后的信號不容易失真、偏差較小。通過對比常用各類小波基函數(shù)的性能(見表1)，本文選取同時具有近似對稱性、正交性、消失矩的symN小波作為基函數(shù)來處理高頻經(jīng)濟金融信號。

在小波消噪過程中，小波分解的層數(shù)越多，信噪特征差異表現(xiàn)越明顯，去噪效果就越好，但這也意味著重構時計算量變大，且失真度即誤差也相應變大，所以分解層數(shù)并不是越高越好。對于經(jīng)濟金融高頻時間序列信號，其數(shù)據(jù)本身波動性較大，為了更好地分離實際信號和噪聲，經(jīng)過多次試驗比對之后，本文將分解層數(shù)確定為5層。

2.3 小波消噪中閾值及量化方法的選取

閾值μ主要通過DONOBO提出的通用閾值公式[12]：

(5)

得到，其中σ表示隨機干擾信號標準差，N表示分解層數(shù)。

(6)

(7)

3 多分辨分析小波消噪在高頻經(jīng)濟金融時間序列中的應用實例

以上海證券交易所綜合股價收益率指數(shù)Rt為例，用基于多分辨分析的小波消噪對其進行去噪處理。數(shù)據(jù)采用2019年10月1日至2019年11月30日共43個交易日的上證綜合指數(shù)，隔五分鐘抽取一次，則每個交易日48個數(shù)據(jù)，43 d共2064個高頻數(shù)據(jù)。收益率Rt為：

Date 圖5 上證綜合指數(shù)收益率Rt序列走勢圖

其中Pt表示t時刻的收盤價。得到含噪聲的收益率序列信號如圖5所示。

由圖5可以看出，Rt波動性較大，想要精確地提取出收益率序列信號變化趨勢的主要特征成分，需要對收益率時間序列信號Rt進行消噪處理。由于收益率序列信號較不平穩(wěn)、數(shù)據(jù)起伏大等因素，并結合各類小波基函數(shù)的性能特征，本文采用sym4小波對含噪信號Rt作5層小波分解，得到分解后的各層逼近系數(shù)和細節(jié)系數(shù)如圖6所示。

Date (a)

從圖6可以看出，Rt經(jīng)過分解后，細節(jié)信號隨著分解層數(shù)的增多越來越平穩(wěn)，信號的周期性也逐漸顯現(xiàn)出來，特別是到第五層時，細節(jié)信號已經(jīng)具有非常明顯的周期性，這說明基于多分辨分析的小波分解能很好地將高頻信號的噪聲分離出來。

小波分解到第五層時收益率序列Rt的逼近信號如圖7所示。

Date

Date

由圖8可知，經(jīng)過處理后的上證綜合指數(shù)收益率序列Rt小幅波動基本上被消除，而原始信號的主要特征卻得以較好地留存下來，消噪后的信號趨于平穩(wěn)，消噪效果理想，為后續(xù)對上證綜合指數(shù)收益率序列Rt走勢的準確預測提供了可能和保障。

4 小結

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們對于所收集數(shù)據(jù)的精確度要求不斷地提高，高頻數(shù)據(jù)的采集是趨勢所向。得益于科學與計算技術的發(fā)展，以分秒為頻率采集經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)成為了可能。但凡事都有兩面性，采集頻率越高也就意味著噪聲越大，這些噪聲將反過來影響數(shù)據(jù)的進一步分析和處理，且高頻時間序列信號具有典型的非穩(wěn)定、非線性和突變性，不滿足平衡性條件，作為信號存在較多的奇異點。因此，在應用經(jīng)濟金融高頻序列信號之前，需要對噪聲進行處理。由于Fourier變換濾波法的局限性，文章提出利用基于多分辨分析的小波消噪法對高頻經(jīng)濟金融時間序列信號進行去噪處理，并以高頻上證綜合指數(shù)收益率序列Rt為例對其進行小波消噪，消噪效果理想，為后續(xù)的進一步研究提供保障和支持。