毛衛(wèi)紅 張正娣 張?zhí)K珍

(江蘇大學數(shù)學科學學院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

引言

多時間尺度問題[1-2]作為非線性科學的重要組成部分廣泛存在于物理學、化學、生物學等領域中.例如在生物細胞的遺傳中,由較快的新陳代謝過程與相對較慢的遺傳變化過程的結(jié)合導致的快慢耦合[3];在催化反應中,不同量級反應速率之間的催化與自催化過程[4];在神經(jīng)動力學中,靜息態(tài)和激發(fā)態(tài)交替出現(xiàn)的簇放電模式[5]等.相比于單一時間尺度的系統(tǒng),多時間尺度耦合系統(tǒng)會表現(xiàn)出更為特殊的動力學行為,例如周期振蕩中通常表現(xiàn)出的大幅振蕩和微幅振蕩的復合振蕩[6-7].大幅振蕩和微幅振蕩可以分別看作快慢系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)(spiking state)和沉寂態(tài)(quiescent state).這種連接快慢兩個過程的行為也稱為簇發(fā)(bursting)[8-10],通常是由分岔產(chǎn)生的[11-12],可以得到“點點”型簇發(fā)振蕩、“點環(huán)”型簇發(fā)振蕩等.這類具有特殊結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)往往表現(xiàn)為復雜的動力學行為,例如混沌簇發(fā)振蕩[13],吸引著國內(nèi)外學者的關注,尤其是在Izhikevich 等[14-16]引入Rinzel 的快慢分析理論后,對于含多時間尺度的非線性動力系統(tǒng),許多學者從數(shù)值仿真、理論分析、數(shù)值實驗等方面進行了深入的探索[17-20].

非光滑動力系統(tǒng)具有廣泛的工程背景,涉及到科學和工程技術的各個領域.不同于光滑系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象,非光滑系統(tǒng)不僅可以產(chǎn)生光滑系統(tǒng)中的各種常規(guī)分岔,而且還可能發(fā)生一些光滑系統(tǒng)所不具備的特有分岔,統(tǒng)稱為非光滑分岔[21].例如,非光滑滑動分岔、擦邊分岔、角點碰撞分岔等[22-25],導致系統(tǒng)產(chǎn)生復雜的振蕩行為,對系統(tǒng)的動力學行為產(chǎn)生重要的影響,從而提供了更多通向混沌的路徑,并且其研究方法與光滑系統(tǒng)也不盡相同[26-27],是非光滑動力學研究的熱點和難點.

目前,對含多時間尺度非線性動力學行為的研究主要針對只含有一個慢變過程的快慢兩尺度系統(tǒng)[28-29],對于含有兩個或兩個以上慢變過程的、含3 個及以上時間尺度的非光滑系統(tǒng),關于其沉寂態(tài)與激發(fā)態(tài)相互轉(zhuǎn)遷而導致簇發(fā)振蕩的非光滑分岔模式的研究相對較少,而根據(jù)實際問題建立的動力系統(tǒng)通常含有不止兩尺度.

本文工作如下:基于典型的非光滑蔡氏電路,通過選取適當?shù)膮?shù)值,建立了一個含三時間尺度的四維分段線性電路系統(tǒng)模型.通過重新劃分系統(tǒng)的快慢子系統(tǒng),將三時間尺度耦合問題轉(zhuǎn)化為兩時間尺度耦合問題.分析了快子系統(tǒng)的動力學行為,給出了不同參數(shù)下系統(tǒng)存在的兩種典型的簇發(fā)振蕩行為.結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖,利用快慢分析法研究了系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象以及三尺度之間的相互作用機制,探究了非常規(guī)分岔在多時間尺度效應下對系統(tǒng)簇發(fā)振蕩行為的影響機理.

1 數(shù)學模型

蔡氏電路作為一種簡單的非線性電子電路,其制作的容易程度使它成為當前眾多混沌電路中最具代表性的一種,成為許多研究的對象,并廣泛被人們在文獻中引用[30-31].基于廣義蔡氏電路模型,本文建立了一個電路系統(tǒng)(圖1),其中包含兩個電感L1和L2,兩個電容C1和C2以及一個分段線性的非線性電阻RG,同時并聯(lián)一個周期變化的電流源iG,其相應的動力學模型可以表示為

圖1 電路原理圖Fig.1 Schematic circuit diagram

其中,非線性電阻的伏安特性為G(VC2)=P2VC2+0.5(P1?P2)(|VC2+E0|?|VC2?E0|),周期變化的電流源特性為iG=IGsin(ωt).引入變換t=R2C1τ,x=R2iL1,y=R2iL2,u=VC1,v=VC2,則式(1)可表示為如下無量綱形式

固定參數(shù)量級為α ≡O(10?4),? ≡O(10?2).由于系統(tǒng)的固有頻率?N(可由在α=0 且A=0 時系統(tǒng)(2)的平衡點特征值的虛部近似估計)的量級一般為1,因此,此時系統(tǒng)中存在明顯的3 個尺度,即T1≡O(1),T2≡O(10?2),T3≡O(10?4).如果將外激勵項Asin(?τ)視為參數(shù)w,則系統(tǒng)(2)分別對應著3 個子系統(tǒng),表示為

將中間尺度變量所對應的子系統(tǒng)(4)與快尺度變量對應的子系統(tǒng)(3)合并為一個非自治系統(tǒng),表示為

于是將原來的三時間尺度耦合系統(tǒng)(2)重新劃分為快子系統(tǒng)(6)與慢子系統(tǒng)(5),從而可以將三時間尺度耦合問題(3)～(5)轉(zhuǎn)化為兩時間尺度耦合問題(5)與(6)來分析討論.

2 快子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由非線性電阻RG的分段線性的特性,快子系統(tǒng)(6)中存在兩個非光滑分界面,其中,H±(v)=v?(±1),從而其狀態(tài)空間被Σ±1劃分為3 個不同的光滑區(qū)域,表示為

分別對應3 個非自治的光滑子系統(tǒng)

其向量場依次記為F1,F2,F3.快慢耦合系統(tǒng)(2)的慢子流形,即系統(tǒng)(6)的平衡態(tài),這里稱之為名義平衡軌道(nominal equilibrium orbits),記為NEO,其解析形式可設為

其中,Y0,U0,V0,Ai,θi(i=1,2,3)是常數(shù),可以通過把(10)分別代入系統(tǒng)(7)～(9)中得到.例如,對區(qū)域D3中的名義平衡軌道NEO?有

從名義平衡軌道的解析形式(10)可以發(fā)現(xiàn),外激勵的作用是對無激勵情形下對應的線性自治系統(tǒng)的平衡點位置的擾動,因此,名義平衡軌道可以看作是由一系列周期為2π/? 的極限環(huán)組成的平衡態(tài).由于名義平衡軌道在非光滑分界面所劃分的子區(qū)域內(nèi)滿足處處等價,所以對名義平衡軌道的穩(wěn)定性的討論可以轉(zhuǎn)化為對名義平衡軌道上一個點的穩(wěn)定性的討論.根據(jù)系統(tǒng)的對稱性,D1與D3中的名義平衡軌道NEO+,NEO?具有相同的特性,統(tǒng)一記作NEO±,與之相應的特征方程為

其中,n1=δb+γ,n2=γ ?δγ+γδb,n3=γδb.由Routh-Hurwitz 判別準則知,當參數(shù)滿足條件n1>0,n3>0,n1n2?n3>0 時,NEO±是漸近穩(wěn)定的.隨著參數(shù)的變化,NEO±可能存在以下兩條失穩(wěn)路徑:

(1)FB±:=n3=0(n1>0,n2>0),此時,特征方程(11)有零單根出現(xiàn),系統(tǒng)可能產(chǎn)生fold 分岔;

(2)HB±:=n1n2?n3=0(n1>0,n2>0,n3>0),此時,特征方程(11)有共軛純虛根出現(xiàn),系統(tǒng)可能產(chǎn)生Hopf 分岔.

類似可以討論區(qū)域D2中NEO0的穩(wěn)定性.

固定部分參數(shù)如下:α=0.000 1,β=1.2,a=?3.0,b=0.6,A=0.5,?=0.01.圖2 給出了快子系統(tǒng)(6)在(γ,δ)參數(shù)平面上的γ >0,δ >0 且慢變量x=0 時的雙參分岔情況.圖中曲線HB反映了名義平衡軌道NEO±的一對復特征值通過穿越純虛根失穩(wěn)的臨界情形.取γ=0.6,表1 給出了參數(shù)δ 分別取1.02,1.1456 和1.1584 時非光滑分界面兩側(cè)的快子系統(tǒng)的名義平衡軌道NEO±所對應的特征值.

圖2 快子系統(tǒng)(6)在(γ,δ)平面上的雙參分岔圖Fig.2 Two-parameter bifurcation diagram of fast subsystem(6)on(γ,δ)plane

表1 快子系統(tǒng)的名義平衡軌道對應的特征值Table 1 Eigenvalues of the NEOs of the fast subsystems

結(jié)合表1 知,圖2 中分岔曲線HB將參數(shù)平面分為兩部分:當參數(shù)在曲線HB下方的區(qū)域I 中取值時,特征方程(11)的所有的根具有負實部,意味著名義平衡軌道NEO±為穩(wěn)定的,即快子系統(tǒng)(6)在區(qū)域D1,3中存在兩個穩(wěn)定的極限環(huán);當參數(shù)從區(qū)域I 穿越曲線HB進入?yún)^(qū)域II 后,名義平衡軌道NEO±失穩(wěn),意味著快子系統(tǒng)(6)的原來的兩個穩(wěn)定極限環(huán)將轉(zhuǎn)變?yōu)閷膬蓚€概周期運動,如圖3 所示.

圖3 (a)區(qū)域D3中的概周期解;(b)龐加萊截面圖Fig.3 (a)Quasi-periodic solution in D3;(b)Poincare section

隨著慢變量x的連續(xù)變化,無論是區(qū)域I 中的名義平衡軌道NEO±所對應的穩(wěn)定極限環(huán),還是區(qū)域II 中出現(xiàn)的概周期運動,都可能會接觸到非光滑分界面Σ±并出現(xiàn)非光滑分岔,進而影響三時間尺度耦合系統(tǒng)(2)的動力學演化機制.接下來,將通過具體的數(shù)值,進一步探討分析非光滑分岔對簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu)以及轉(zhuǎn)遷機制的影響.

3 簇發(fā)振蕩的動力學演化過程及機制分析

3.1 簇發(fā)振蕩

圖4 和圖5 分別給出了當參數(shù)δ=1.02,δ=1.158 4 時系統(tǒng)(2)的簇發(fā)振蕩的相圖及其對應的時間歷程圖.

圖4 δ=1.02 時的周期簇發(fā)振蕩Fig.4 Periodic bursting oscillation for δ=1.02

圖5 δ=1.158 4 時的混沌簇發(fā)振蕩Fig.5 Chaotic bursting oscillation for δ=1.158 4

圖5 δ=1.158 4 時的混沌簇發(fā)振蕩(續(xù))Fig.5 Chaotic bursting oscillation for δ=1.158 4(continued)

當參數(shù)δ=1.02 時,從(y,v)平面中的相圖4(a)中可知,整個周期運動關于原點對稱,運動方向如圖中紅色箭頭所示.根據(jù)時間歷程圖4(b)可計算得其頻率近似為0.000 270 9.接下來詳細闡述此時的三時間尺度下周期簇發(fā)振蕩的吸引子結(jié)構(gòu).

不失一般性,設系統(tǒng)軌線從非光滑分界面Σ+1上的點A1出發(fā).隨著時間的變化,軌線進入光滑區(qū)域D2中.之后,迅速向非光滑分界面Σ?1運動并且在點A2穿過Σ?1而進入光滑區(qū)域D3中.此后,軌線在區(qū)域D3中首先呈現(xiàn)明顯的密集的螺旋形振蕩行為.根據(jù)時間歷程圖可以發(fā)現(xiàn),軌線的振幅是逐漸減小的.經(jīng)計算,軌線的振蕩頻率近似為0.562 5.隨著時間繼續(xù)延長,軌線逐漸由密集的振蕩形式轉(zhuǎn)為舒緩的振蕩形式,且振幅基本保持不變,對應的近似振蕩頻率為0.01,直到軌線抵達非光滑分界面Σ?1上的點A3.之后,軌線在的運動過程中,將重復軌線在中的相似運動過程,并最終返回出發(fā)點A1,完成一個周期的運動.從上述結(jié)果發(fā)現(xiàn),周期簇發(fā)振蕩的近似頻率0.000 270 9 與最慢的時間尺度T3≡O(10?4)基本吻合;從非光滑分界面跳入?yún)^(qū)域D1,3并逐漸收斂時的近似振蕩頻率0.562 5 與最快時間尺度T1≡O(1)基本一致;軌線的振幅穩(wěn)定后的近似振蕩頻率0.01 與外激勵頻率所對應的時間尺度T2≡O(10?2),即與中間時間尺度相吻合.可見,此時的簇發(fā)振蕩明顯地具有3 個不同量級的振蕩頻率,體現(xiàn)了系統(tǒng)的三時間尺度效應.

而當參數(shù)δ=1.158 4 時,快子系統(tǒng)的名義平衡軌道NEO±由于所對應的特征值穿越純虛根而失穩(wěn).此時,系統(tǒng)(2)表現(xiàn)為明顯的混沌行為(見圖5),且其軌線在來回穿越非光滑分界面的過程中,連接了光滑區(qū)域D1與D3中的概周期運動,可以稱作概周期?概周期型混沌簇發(fā)振蕩.

3.2 簇發(fā)振蕩的機制分析

主要探究δ=1.02 時的演化機制.考慮到系統(tǒng)的對稱性,僅探究過程.

利用轉(zhuǎn)換相圖 (TPP)與慢子流形的疊加圖(圖6(a)),在(x,v)平面內(nèi)利用快慢分析法,結(jié)合非光滑分界面處的分岔分析,進一步來探討圖4 中具有的三時間尺度特性的周期簇發(fā)振蕩的振蕩機理,也即系統(tǒng)在呈現(xiàn)三時間尺度的簇發(fā)振蕩時,軌線在不同時間尺度之間的轉(zhuǎn)遷機制.

圖6 (a)δ=1.02 時轉(zhuǎn)換相圖與慢子流形的疊加圖;(b)局部放大圖Fig.6 (a)Overlay of TPP and the manifold of the fast subsystem for δ=1.02;(b)enlarged figure

事實上,在中間尺度系統(tǒng)(4)的激勵作用下,快子系統(tǒng)的具有解析形式(10)的名義平衡軌道NEO?表現(xiàn)為區(qū)域D3中的穩(wěn)定極限環(huán)LC1.隨著慢變量x在時間尺度T3≡O(10?4)上的連續(xù)變化,LC1將在空間中形成環(huán)面結(jié)構(gòu)形式的慢子流形.快子系統(tǒng)(6)的極限環(huán)LCi(i=1,2)在v軸方向的極值分別記為,如圖6 中的藍色線條所示.

如上,軌線仍從Σ+1上的點A1出發(fā),由于光滑區(qū)域D2中名義平衡軌道的不穩(wěn)定性,軌線迅速向非光滑分界面∑?1運動并在點A2穿過Σ?1而進入光滑區(qū)域D3,在收斂到具有不變環(huán)面結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定慢子流形的過程中出現(xiàn)大幅振蕩,形成激發(fā)態(tài),記作SS1,其振蕩頻率與慢子流形對應的平衡點的虛部基本吻合,體現(xiàn)了系統(tǒng)的最快時間尺度T1≡O(1).隨著時間的增大,軌線的振幅逐漸減小.當系統(tǒng)軌線收斂到穩(wěn)定慢子流形上后,將沿著慢子流形呈現(xiàn)振幅保持不變的環(huán)面運動(對應的兩條藍色曲線之間的距離保持不變),形成沉寂態(tài),記作QS1,其振蕩頻率與外激勵保持一致,體現(xiàn)了中間時間尺度T2≡O(10?2).由于軌線在從激發(fā)態(tài)SS1轉(zhuǎn)遷到慢子流形上的沉寂態(tài)QS1的轉(zhuǎn)遷過程中并沒有分岔出現(xiàn),所以只是軌線收斂的暫態(tài)過程的體現(xiàn).

然而,從D3中的沉寂態(tài)QS1向D1中的激發(fā)態(tài)SS2的轉(zhuǎn)遷是系統(tǒng)軌線通過依次穿越非光滑分界面上的點A3與A4的形式完成的.但是,通過快子系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定極限環(huán)LC1可以發(fā)現(xiàn)(見圖6(b)),LC1在慢變量跨過x=?2.5(對應圖6(b)中的垂直方向的虛線)后消失了.即隨著慢變量的減小,雖然慢子流形的穩(wěn)定極限環(huán)LC1消失了,但是軌線并沒有立刻向激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)遷,而是繼續(xù)保持了一段時間的沉寂態(tài),直到軌線穿越非光滑分界上的點A3后才向激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)遷.因此,慢子流形所對應的非光滑分岔將對此處的轉(zhuǎn)遷機理起到至關重要的作用.

下面對快子系統(tǒng)在非光滑分界面上的非光滑動力學演化進行分析.

由于非光滑分界面Σ?1兩側(cè)的向量場的連續(xù)性,在非光滑分界面Σ?1上存在一條分割曲線,滿足

圖7 (a)非光滑分界面Σ?1上的動力學分析;(b)x=?2.5 時與Σ?1相切的NEO?;(c) x=?3 時與Σ?1橫截相交的NEO?;(d)x=?2.6 時的時間歷程圖Fig.7 (a)Dynamic analysis on non-smooth interface Σ?1;(b)NEO?tangent to Σ?1for x=?2.5;(c)NEO?intersecting with Σ?1for x=?3;(d)time history for x=?2.6

圖7 (a)非光滑分界面Σ?1上的動力學分析;(b)x=?2.5 時與Σ?1相切的NEO?;(c) x=?3 時與Σ?1橫截相交的NEO?;(d)x=?2.6 時的時間歷程圖(續(xù))Fig.7 (a)Dynamic analysis on non-smooth interface Σ?1;(b)NEO?tangent to Σ?1for x=?2.5;(c)NEO?intersecting with Σ?1for x=?3;(d)time history for x=?2.6(continued)

另外,由名義平衡軌道NEO?的解析表達式可知,?V0/?x=?5/3 <0,即隨著慢變量x的減小,NEO?將向非光滑分界面Σ?1移動.經(jīng)計算,慢變量x=?2.5 時,NEO?與非光滑分界面Σ?1相切于直線上的點TP,如圖7(b)所示,意味著對應的極限環(huán)LC1此時也與分界面Σ?1相切于點TP,且保持存在.隨著慢變量x的減小,名義平衡軌道NEO?將跨越分界面Σ?1,圖7(c)給出了對應x=?3 時的名義平衡軌道NEO?.此時,NEO?被非光滑分界面Σ?1分割為兩部分:一部分位于光滑區(qū)域D3內(nèi),為真實存在的部分,對應圖7(c)中的黑色實線部分,記為NEOR?;另一部分位于光滑區(qū)域D2內(nèi),不滿足非光滑限制條件,對應圖7(c)中的紅色實線部分,記為.而此時,與名義平衡軌道NEO?相應的存在于快子系統(tǒng)(6)的極限環(huán)LC1卻在光滑區(qū)域D3內(nèi)到達非光滑分界面Σ?1后進入了圖7(a)中的左側(cè)區(qū)域,受到該分界面的非光滑動力學特性的影響,軌線將直接按照圖中箭頭所示的方向橫截穿過Σ?1與Σ+1向光滑區(qū)域D1內(nèi)的穩(wěn)定極限環(huán)LC2轉(zhuǎn)遷,如圖7(d)所示,意味著極限環(huán)LC1消失.

鑒于極限環(huán)LC1隨著慢變量x的變化所展現(xiàn)的由光滑區(qū)域D3內(nèi)的穩(wěn)定極限環(huán),經(jīng)過與非光滑分界面Σ?1相切的臨界情形,再到與Σ?1橫截相交后消失的動力學演化過程,這里稱其為環(huán)的破壞性擦邊分岔,記為CGB.

回到系統(tǒng)(2)的軌線在非光滑分界面Σ?1上的點A3處由沉寂態(tài)QS1到激發(fā)態(tài)SS2的轉(zhuǎn)遷機制.如圖6(b),當慢變量越過x=?2.5 時,雖然極限環(huán)LC1(NEO?)由于破壞性的擦邊分岔而消失,但是在區(qū)間x∈(?2.5,?3.5)上,名義平衡軌道NEO?在光滑區(qū)域D3中仍然存在著部分,也即慢子流形在區(qū)間x∈(?2.5,?3.5)上仍然存在,并且仍然落在直線的左邊(圖7(c)).因此,沉寂態(tài)QS1在慢變量x越過x=?2.5 后會繼續(xù)存在,直到軌線到達非光滑分界面Σ?1上的點A3.此時,受到極限環(huán)LC1(NEO?)的破壞性的擦邊分岔CGB 的影響,軌線直接穿過非光滑分界面Σ?1而進入光滑區(qū)域D2,意味著沉寂態(tài)QS1的結(jié)束.

這樣,在A1A2A3過程中,系統(tǒng)呈現(xiàn)三時間尺度的簇發(fā)振蕩時,軌線在不同時間尺度之間的轉(zhuǎn)遷機制得到了完整的解釋.根據(jù)文獻[11]中提供的對簇發(fā)振蕩的命名和分類的方法,也即以導致沉寂態(tài)與激發(fā)態(tài)之間轉(zhuǎn)遷的分岔對簇發(fā)振蕩進行命名和分類,同時考慮到此時對應的周期簇發(fā)振蕩中體現(xiàn)出的三時間尺度效應,圖4 中的周期簇發(fā)振蕩可稱為對稱式CGB/CGB型三時間尺度周期簇發(fā)振蕩.

當δ=1.158 4 時,由于對應的快子系統(tǒng)的概周期運動同樣會在跨越慢變量的臨界值后失穩(wěn),在非光滑分界面Σ±1上經(jīng)歷破壞性的擦邊分岔,導致概周期運動破裂,表現(xiàn)了典型的由概周期運動破裂到混沌行為的動力學演化過程,形成了此處的概周期?概周期型混沌簇發(fā)振蕩.

4 結(jié)論

基于典型的蔡氏電路,文章建立了一個含有三時間尺度的四維分段線性系統(tǒng).以此系統(tǒng)為例,將中間尺度變量視為對快尺度變量的擾動,并由此將中間尺度變量與快尺度變量看作一個整體,從而將三時間尺度耦合問題轉(zhuǎn)化為兩時間尺度耦合問題去分析.在此方法的基礎上,利用快慢分析法,討論了系統(tǒng)在兩組不同數(shù)值情形下的簇發(fā)振蕩行為并給出了相應的分岔機制.發(fā)現(xiàn),當名義平衡軌道為穩(wěn)定的時候,系統(tǒng)軌線能夠落于慢子流形上并能夠隨著慢子流形穿越非光滑分界面,呈現(xiàn)周期簇發(fā)振蕩的同時體現(xiàn)出三時間尺度的特性;而當名義平衡軌道通過穿越純虛根的路徑失穩(wěn)后,軌線不能夠落于慢子流形,而是表現(xiàn)為混沌運動.經(jīng)過分析,非光滑分界面處的非常規(guī)分岔,即破壞性的擦邊分岔是導致簇發(fā)振蕩的主要誘因,為全新的通向簇發(fā)振蕩的演化路徑.需要指出的是,對于時間尺度具有量級差的多時間尺度耦合動力系統(tǒng)而言,不同時間尺度之間差異到何種程度才能夠出現(xiàn)簇發(fā)現(xiàn)象,這一點需要在后續(xù)工作中重點關注.另外,慢時間尺度在一定范圍內(nèi)變化時,是否會導致不同的簇發(fā)振蕩的出現(xiàn)或者其它的復雜動力學現(xiàn)象的產(chǎn)生,這一點也需要在后續(xù)工作中關注.