柴子賀

(中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100055)

1 概述

1.1 研究現(xiàn)狀

隨著我國(guó)鐵路事業(yè)的迅猛發(fā)展，鐵路隧道的建設(shè)長(zhǎng)度位居世界第一[1]。然而，相當(dāng)比例的隧道存在不同程度的缺陷[2]。隧道襯砌缺陷會(huì)導(dǎo)致隧道結(jié)構(gòu)承受偏壓荷載，造成應(yīng)力集中現(xiàn)象，使得缺陷處成為襯砌結(jié)構(gòu)破壞的重點(diǎn)[3]。

地質(zhì)雷達(dá)法是一種無損檢測(cè)方法，具有檢測(cè)精度高、效率快、成本低等優(yōu)勢(shì)，在隧道襯砌質(zhì)量無損檢測(cè)中廣泛應(yīng)用[4]。目前，常見的做法是對(duì)單個(gè)缺陷進(jìn)行描述，缺少對(duì)全部缺陷全面深入地分析，以及對(duì)缺陷分布內(nèi)在規(guī)律的研究。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法已廣泛應(yīng)用于土力學(xué)[5-6]、水文[7-8]、邊坡穩(wěn)定[9]等工程類技術(shù)研究中，跨學(xué)科方法對(duì)推動(dòng)相關(guān)研究起到了巨大作用。如李剛等結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)不同成因沉積土物理力學(xué)指標(biāo)的分布特征[5]；朱煥珍等采用正態(tài)信息擴(kuò)散法，推斷出大樣本巖土抗剪強(qiáng)度參數(shù)的概率密度函數(shù)[6]；王林等提出一種基于貝葉斯理論的土水特征曲線模型比選和參數(shù)識(shí)別方法[7]；王東等提出一種基于Lilliefors檢驗(yàn)的邊坡臨滑時(shí)刻的動(dòng)態(tài)識(shí)別方法[8]。此外，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在混凝土強(qiáng)度的分布特征研究方面也有所應(yīng)用[10-11]。因此，將數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于隧道襯砌質(zhì)量檢測(cè)，對(duì)探究缺陷內(nèi)在分布規(guī)律意義重大。

1.2 工程背景

某在建高速鐵路為雙線，設(shè)計(jì)行車速度為350 km/h，線間距為5.0 m，最小曲線半徑為7 000 m，困難為5 500 m，最大坡度為20‰。工程地處丘陵地帶，地形起伏較大，局部陡峭。出露地層有第四系全新統(tǒng)、白堊系、震旦系，主要巖性有泥質(zhì)粉砂巖、砂巖、含礫砂巖、變質(zhì)砂巖等。地表水主要為溪溝水，地下水主要為基巖裂隙水。

隧道斷面如圖1所示，采用二次復(fù)合襯砌形式，Ⅱ級(jí)圍巖段落襯砌為C30素混凝土，厚35 cm；Ⅲ級(jí)圍巖段落襯砌為C30素混凝土，厚40 cm；Ⅳ級(jí)圍巖段落襯砌為C35鋼筋混凝土，環(huán)向鋼筋為HRB400，間距20 cm，厚45 cm；Ⅴ級(jí)圍巖段落襯砌為C35鋼筋混凝土，環(huán)向鋼筋為HRB400，間距20 cm，厚50 cm。

圖1 隧道斷面示意(單位：cm)

2 襯砌缺陷類型及測(cè)線部位的分布規(guī)律

2.1 地質(zhì)雷達(dá)法檢測(cè)概況

利用地質(zhì)雷達(dá)法對(duì)某在建鐵路工程14座隧道進(jìn)行二次襯砌質(zhì)量無損檢測(cè)，沿二襯表面布置5條測(cè)線[12]，分別為拱頂1條、左右拱腰各1條及左右邊墻各1條，共發(fā)現(xiàn)285個(gè)缺陷。缺陷類型有空洞、欠厚空洞、欠厚、不密實(shí)共4種。以下主要研究襯砌缺陷的縱向長(zhǎng)度及徑向尺寸。其中，缺陷總長(zhǎng)度與該測(cè)線檢測(cè)長(zhǎng)度的比值為該測(cè)線的缺陷率。對(duì)于欠厚空洞、脫空、不密實(shí)缺陷，襯砌內(nèi)表面距初支表面的最大距離為其缺陷徑向尺寸；對(duì)于欠厚缺陷，襯砌最薄處與設(shè)計(jì)厚度的差值為其缺陷徑向尺寸。

2.2 不同測(cè)線缺陷樣本的分布規(guī)律

對(duì)地質(zhì)雷達(dá)法檢測(cè)發(fā)現(xiàn)的285個(gè)襯砌質(zhì)量缺陷進(jìn)行分析，研究不同測(cè)線部位的缺陷率、不同缺陷類型在各測(cè)線缺陷中所占比例及不同測(cè)線部位的缺陷徑向尺寸的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最大值等相關(guān)特征值的變化規(guī)律。

(1)不同測(cè)線部位的缺陷率

表1是地質(zhì)雷達(dá)法檢測(cè)某鐵路工程14座隧道不同測(cè)線襯砌缺陷率的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并根據(jù)表1數(shù)據(jù)繪制圖2。

表1 隧道襯砌缺陷分布情況

圖2 各測(cè)線部位缺陷率

由表1及圖2可知，從已知缺陷樣本來看，拱頂缺陷率最高，為2.06%；拱腰、邊墻缺陷率分別為0.04%、0.03%。

建議在后續(xù)的施工過程中，注意拱頂部位的施做，改進(jìn)工藝工法，減少拱頂部位的缺陷率。在綜合考慮質(zhì)量控制、工程成本等情況下，可適當(dāng)減少拱腰及邊墻部位的測(cè)線，適當(dāng)增加拱頂部位的測(cè)線，使檢測(cè)更具針對(duì)性。

(2)不同缺陷類型在各測(cè)線缺陷中所占比例

表2是不同缺陷類型在不同測(cè)線缺陷中所占的比例統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，根據(jù)表2數(shù)據(jù)繪制圖3。

表2 不同缺陷類型在各測(cè)線缺陷中所占比例

圖3 不同缺陷類型在各測(cè)線缺陷中所占比例

由表2及圖3可知，不同測(cè)線部位產(chǎn)生的主要缺陷類型不同。拱頂部位的缺陷中，欠厚空洞占比最高，為91.77%，欠厚占比最低，為0.90%；拱腰部位的缺陷中，欠厚空洞占比最高，為62.86%，空洞占比最低，為2.86%；邊墻部位的缺陷中，只發(fā)現(xiàn)欠厚缺陷，占比100%。

以拱頂、拱腰、邊墻為序，欠厚空洞占該測(cè)線缺陷的比例越來越低，最高為91.77%，最低為0%。欠厚所占比例越來越高，最低為0.89%，最高為100%。

建議在后續(xù)施工過程中，改進(jìn)工藝工法，拱頂部位應(yīng)著重注意避免欠厚空洞缺陷的產(chǎn)生；拱腰部位著重注意避免欠厚空洞及欠厚的產(chǎn)生；對(duì)邊墻部位，著重注意避免欠厚缺陷的產(chǎn)生。

(3)不同測(cè)線部位的缺陷徑向尺寸最大值、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差等特征值規(guī)律

表3為地質(zhì)雷達(dá)法檢測(cè)發(fā)現(xiàn)的該在建鐵路工程14座隧道共285個(gè)襯砌缺陷的徑向尺寸樣本觀測(cè)值，圖4為根據(jù)表3得出的各測(cè)線部位的缺陷徑向尺寸相關(guān)特征值。

表3 缺陷徑向尺寸285個(gè)樣本觀測(cè)值 cm

圖4 不同測(cè)線部位的缺陷徑向尺寸特征值

由表3及圖4可知，就缺陷徑向尺寸的最大值而論，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為39.0，35.0，18.0 cm；對(duì)于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為19.3，14.5，10.3 cm；對(duì)于缺陷徑向尺寸的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為9.6、10.4及6.7。

對(duì)于缺陷徑向尺寸的最大值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小，對(duì)于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小。對(duì)于缺陷徑向尺寸的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，拱腰部位最大，拱頂次之，邊墻最小，說明拱腰部位的缺陷徑向尺寸離散性最大，拱頂次之，邊墻最小。

3 襯砌缺陷徑向尺寸總體數(shù)理統(tǒng)計(jì)

3.1 襯砌缺陷徑向尺寸總體與樣本的設(shè)定

將該鐵路工程14座隧道襯全部砌缺陷的徑向尺寸視為總體X。已檢測(cè)出的285個(gè)缺陷，徑向尺寸X1，X2，…，X285為總體X的一個(gè)樣本x，其樣本容量n=285。

表3中所列即為285個(gè)襯砌徑向尺寸樣本x(下文簡(jiǎn)稱樣本x)的觀測(cè)值。每個(gè)缺陷為相同的條件下獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，且都是與襯砌缺陷徑向尺寸總體X(下文簡(jiǎn)稱總體X)具有相同分布的隨機(jī)變量。有

樣本均值

(1)

樣本方差

(2)

樣本標(biāo)準(zhǔn)差

(3)

樣本k階中心矩

(4)

3.2 總體X正態(tài)性檢驗(yàn)

正態(tài)分布是自然界最重要的分布，對(duì)于該在建鐵路工程14座隧道檢測(cè)發(fā)現(xiàn)的285個(gè)缺陷的徑向尺寸，需判斷其樣本x所代表的總體X是否符合正態(tài)分布，根據(jù)GB/T4882—2001《數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理和解釋正態(tài)性檢驗(yàn)》，采用偏度及峰度檢驗(yàn)法進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)[13-16]。

(1)總體X偏度及峰度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(5)

峰度β2是標(biāo)準(zhǔn)化的四階中心矩，有

(6)

總體X的偏度和峰度的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為

(7)

和

(8)

式中，B2，B3，B4分別為樣本值的2階，3階，4階中心矩。

由于缺陷的徑向尺寸為非負(fù)值，因此對(duì)總體X的正態(tài)檢驗(yàn)采用有方向檢驗(yàn)。

①給出檢驗(yàn)零假設(shè)和備擇假設(shè)

③給定顯著水平α=0.05，根據(jù)給定的α和樣本容量285，查表得p的分位數(shù)為0.24，其中，p=1-α。

(3)總體X的峰度b2有方向檢驗(yàn)

由于樣本觀測(cè)值是由地質(zhì)雷達(dá)儀器檢測(cè)發(fā)現(xiàn)的，認(rèn)為觀測(cè)值的離散程度受到影響，因此備擇假設(shè)為H1：b2>3。

①給出檢驗(yàn)零假設(shè)和備擇假設(shè)

H0：總體X為正態(tài)分布即b2=3；H1：b2>3。

②將表3所列樣本x的觀測(cè)值X1，X2，…，X285代入式(4)和式(8)計(jì)算得B4=17 111.78，B2=8 573.577，峰度b2=1.995 874。

③給定顯著水平α=0.05，根據(jù)給定的α和樣本容量285，查表得b2的p分位數(shù)為3.49，其中，p=1-α。

④如果統(tǒng)計(jì)量b2超過p分位數(shù)，則在顯著性水平α下拒絕零假設(shè)。

由于b2=1.995 874<3.49，在α=0.05顯著水平下不拒絕零假設(shè)，即樣本x所代表的總體X服從正態(tài)分布。

綜合偏度和峰度檢驗(yàn)結(jié)果，在建鐵路工程14座隧道共285個(gè)缺陷徑向尺寸樣本x所代表的總體X服從正態(tài)分布。

3.3 總體X參數(shù)估計(jì)

(1)總體X的均值μ區(qū)間估計(jì)

上文已證明總體X服從正態(tài)分布，令總體為X(μ，σ2)，其中，μ為總體均值，σ2為總體方差，均為未知。給定顯著性水平α=0.05，且已知樣本容量n=285。

在總體方差σ2未知的情況下，得總體均值μ的一個(gè)置信區(qū)間為

將表3所列樣本x的觀測(cè)值，代入公式，在給定顯著性水平α=0.05下，計(jì)算得總體X均值μ的一個(gè)置信區(qū)間為(17.99，20.24)。

其物理意義為在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌缺陷徑向尺寸的總體X的均值μ落在(17.99，20.24)區(qū)間的概率為95%。

(2)總體X的方差區(qū)間估計(jì)

由于總體X均值μ未知，σ2的無偏估計(jì)為S2，給定顯著性水平α=0.05的情況下，有((n-1)S2)/σ2～χ2(n-1)，且該式右端分布不依賴于任何未知參數(shù)。

即

(9)

得到總體方差σ2的一個(gè)置信水平為1-α的置信區(qū)間為

將表3所列樣本x觀測(cè)值，代入公式，在給定顯著性水平α=0.05下，計(jì)算得總體X方差σ2的一個(gè)置信區(qū)間為(76.63，110.71)。

其物理意義為在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌質(zhì)量缺陷徑向尺寸總體X的方差σ2落在(76.63，110.71)區(qū)間的概率為95%。

3.4 單因素方差分析

(1)單因素方差分析原理

單因素方差分析是檢驗(yàn)在一種因素影響下，兩個(gè)以上總體的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法[17]。表4中所列樣本x觀測(cè)值，分布在Ⅱ級(jí)、Ⅲ級(jí)、Ⅳ級(jí)和Ⅴ級(jí)圍巖段。

為分析圍巖等級(jí)情況對(duì)隧道襯砌缺陷徑向尺寸的影響，本節(jié)以拱頂測(cè)線檢測(cè)發(fā)現(xiàn)的缺陷為例，對(duì)Ⅱ-Ⅴ級(jí)圍巖因素對(duì)缺陷徑向尺寸的影響進(jìn)行分析。

表4 分圍巖級(jí)別缺陷徑向尺寸樣本值 cm

圍巖等級(jí)因素分別記為A1，A2，A3，A4，在每個(gè)水平Ai(i=1，2，3，4)下，考察指標(biāo)看成一個(gè)總體Xi(i=1，2，3，4)，且Xi～N(μi，σ2)，水平Ai(i=1，2，3，4)下，進(jìn)行ni次獨(dú)立試驗(yàn)，樣本記為Xij，i=1，2，3，4，j=1，2，…，ni，Xij～N(μi，σ2)且相互獨(dú)立[17]。

(2)圍巖等級(jí)因素方差分析步驟

①建立假設(shè)檢驗(yàn)

零假設(shè)為H0:μ1=μ2=μ3=μ4，備擇假設(shè)為H1:μ1，μ2，μ3，μ4不全相等。

因此，數(shù)學(xué)模型為

(10)

②構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

引入總偏差和

(11)

故構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

③假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域

本文給定顯著性水平α=0.05，在給定的α顯著性下，檢驗(yàn)假設(shè)問題的拒絕域?yàn)?/p>

F=(SA/(r-1))/(SE/(n-r))≥

Fα(r-1，n-r)

(12)

④計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

a.Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ級(jí)圍巖段落拱頂缺陷徑向尺寸總體均值差異性檢驗(yàn)

對(duì)Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ級(jí)不同圍巖段落發(fā)現(xiàn)的拱頂缺陷徑向尺寸總體X1，X2，X3的各自樣本觀測(cè)值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見表5、表6。

表5 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖方差綜合

表6 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖方差分析

由表5、表6可知，在給定顯著性α=0.05水平下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=0.987 651

b.Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及Ⅴ級(jí)圍巖段落拱頂缺陷徑向尺寸總體均值差異性檢驗(yàn)

對(duì)Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及Ⅴ級(jí)不同圍巖段落拱頂部位發(fā)現(xiàn)的襯砌缺陷徑向尺寸總體的樣本觀測(cè)值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見表7、表8。

表7 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級(jí)圍巖方差綜合

表8 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級(jí)圍巖方差分析

可知在給定顯著性α=0.05水平下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值F=8.882 052>F0.05(3，270)=2.638 036，所以拒絕零假設(shè)，認(rèn)為Ⅱ級(jí)、Ⅲ級(jí)、Ⅳ級(jí)和Ⅴ級(jí)不同圍巖段落發(fā)現(xiàn)的拱頂部位襯砌質(zhì)量缺陷徑向尺寸總體的均值有顯著差異。

綜上可知，在拱頂部位，在給定顯著性水平α=0.05下，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的總體均值無顯著差異，V級(jí)圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸總體的均值與Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落有顯著差異，且大于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落。

4 結(jié)論

(1)地質(zhì)雷達(dá)法檢測(cè)的缺陷樣本，拱頂缺陷率為2.06%，拱腰缺陷率為0.04%，邊墻缺陷率為0.03%。

(2)在拱頂、拱腰、邊墻部位的缺陷樣本中，欠厚空洞缺陷所占比例越來越低，最高為91.77%，最低為0。欠厚缺陷所占比例越來越高，最低為0.89%，最高為100%。

(3)對(duì)于缺陷徑向尺寸的最大值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小；對(duì)于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減?。粚?duì)于缺陷徑向尺寸的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，拱腰部位最大，拱頂次之，邊墻最小。

(4)文中列出的在建鐵路工程14座隧道共285個(gè)缺陷的徑向大小樣本觀測(cè)值所代表的總體符合正態(tài)分布。

(5)在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌質(zhì)量缺陷徑向大小總體均值μ的一個(gè)置信區(qū)間為(17.99，20.24)，總體方差σ2的一個(gè)置信區(qū)間為(76.63，110.71)；

(6)在給定顯著性水平α=0.05下，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的均值無顯著差異，Ⅴ級(jí)圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的均值與Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落有顯著差異，且大于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖段落。