安徽省合肥市第四中學(xué)(230000) 鄭 良

江蘇省睢寧縣新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校(221200) 苗 勇

一、問題提出

眾所周知, 多數(shù)學(xué)生認(rèn)為解析幾何試題思路清晰可見,目標(biāo)卻遙不可及.究其原因是學(xué)生只注意到問題的常規(guī)與表象,沒有挖掘到題目的隱含信息,不能將關(guān)鍵信息合理轉(zhuǎn)化,不能因地制宜地采用不同策略與恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行表征,無法在條件與結(jié)論之間架起易于通達(dá)的橋梁.長(zhǎng)此以往,解析幾何是學(xué)生“心中永遠(yuǎn)的痛”,導(dǎo)致其未戰(zhàn)先怯、敬而遠(yuǎn)之.教學(xué)中,教師要強(qiáng)化學(xué)生的審題意識(shí)(審題是解題的第一步,關(guān)乎解題的成敗,學(xué)生要在仔細(xì)審題與快速做題中找到平衡點(diǎn)),提高學(xué)生審題能力.通過細(xì)化審題,通觀全局、聚焦局部、整體思維,在宏觀與微觀中轉(zhuǎn)換,在不同方案中思辨,合理部署解題路徑與謀劃可能的調(diào)整預(yù)案,切實(shí)避免各種不必要的繁瑣運(yùn)算.數(shù)學(xué)審題審什么? 怎么審? 羅增儒教授在文[1-2]中分別結(jié)合案例給出了審題的認(rèn)識(shí)、考試中的審題操作.余錦銀老師在文[3]中給出了數(shù)學(xué)審題策略的5 個(gè)方面,請(qǐng)有興趣的讀者參閱.本文以幾道解析幾何試題為載體,力爭(zhēng)展示研習(xí)試題結(jié)構(gòu)特征、條件轉(zhuǎn)譯方法、分析調(diào)整解題方略的過程,以期能對(duì)讀者分析、調(diào)整、化繁為簡(jiǎn)、逐步優(yōu)化的解題有所幫助.不足之處,敬請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

二、典例試題剖析

1 強(qiáng)化整體布局,選取合適變量

凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢.解析幾何試題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線,點(diǎn)和直線之間互相制約,互相依存.引入?yún)⒆兞?使諸多相關(guān)或不相關(guān)的量統(tǒng)一到這個(gè)參變量之下,達(dá)到減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)、簡(jiǎn)化題目條件、減少計(jì)算量的目的.但參變量的選擇多種多樣,既可以選擇點(diǎn)的坐標(biāo)為參變量建立目標(biāo)函數(shù),也可以直線的斜率為參變量建立目標(biāo)函數(shù),解題時(shí)要兼顧計(jì)算簡(jiǎn)便的需要,要對(duì)計(jì)算量有一定的預(yù)判,選擇合適的參變量.

例1已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求ΔAOB的面積S的取值范圍.

解由OA⊥OB,可設(shè)A(x0,y0),B(λy0,?λx0)(由對(duì)稱性可取λ ＞0,其幾何意義是λ=當(dāng)B點(diǎn)分別位于短軸和長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),λ取得最小值和最大值),則

在②兩邊同除以λ2后與①相加,得故由對(duì)勾函數(shù)f(λ) =λ+(λ ＞0)的單調(diào)性可知,f(λ)mⅰn=f(1) = 2,f(λ)max=所以ΔAOB的面積S的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)本題中出現(xiàn)直線OA與OB垂直,一般設(shè)其斜率分別為k,(當(dāng)其中一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在時(shí),單獨(dú)計(jì)算),將求解目標(biāo)S表示為k的函數(shù);也可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(斜率不存在時(shí),單獨(dú)計(jì)算),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及條件中的垂直關(guān)系,建立面積S的表達(dá)式.以上解答從兩向量垂直的角度,設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x0,y0),(λy0,?λx0),分別代入橢圓方程,整體代換,優(yōu)化了計(jì)算過程.在處理直線夾角與線段距離時(shí),若能根據(jù)條件合理選擇向量工具,往往能事半功倍.使用的前提是深入理解題意,聯(lián)系相關(guān)知識(shí),洞悉問題本質(zhì).

2 優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu),關(guān)注幾何性質(zhì)

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范,解決解析幾何問題應(yīng)有幾何視角與代數(shù)視角.幾何視角即從幾何的角度處理解析幾何問題,代數(shù)視角即從代數(shù)的角度處理解析幾何問題.彼此交融,相得益彰.令人遺憾的是,不少師生對(duì)解析幾何理解出現(xiàn)偏差,出現(xiàn)思維定式甚至將解析幾何異化為計(jì)算科學(xué).解析幾何最重要的特點(diǎn)是用代數(shù)方法來處理幾何問題,然后將代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果映射到幾何圖形.但平面解析幾何的源泉是幾何,圖形是直觀表現(xiàn)形式,是問題的起點(diǎn)和歸宿.處理相關(guān)問題時(shí)應(yīng)首選幾何視角, 挖出題中所蘊(yùn)含的軌跡或幾何性質(zhì),從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.代數(shù)方法僅僅是工具,是幾何視角的有力補(bǔ)充,如不同幾何圖形的代數(shù)表示可能是統(tǒng)一的.因此,在處理解析幾何問題時(shí)要重視代數(shù)運(yùn)算,但也絕不能忽視研究對(duì)象的幾何屬性,若能聚焦圖形的幾何性質(zhì),恰當(dāng)轉(zhuǎn)譯,可能會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

例2如圖1,圓O與離心率為的橢圓1(a ＞b ＞0)相切于點(diǎn)M(0,1).

(1)求橢圓T與圓O的方程;

(2) 過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1,l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合).若P為橢圓上任一點(diǎn),記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1,d2,求的最大值.

圖1

解(1)橢圓T的方程為圓O的方程為x2+y2=1.(過程略)

(2)設(shè)過點(diǎn)P(異于C,D,M)分別與l1,l2垂直的直線與l1,l2分別相交于E,F兩點(diǎn),則四邊形MEPF為矩形,所以=PM2(當(dāng)P與C,D,M重合時(shí)也成立),設(shè)P(x,y),則=PM2=x2+(y ?1)2=4?4y2+(y ?1)2=當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)取得最大值為

點(diǎn)評(píng)本題自然的想法是設(shè)直線l1,l2的斜率為運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,將d21+d22表示為變量k的函數(shù),再求其最大值.若注意到四邊形MEPF為矩形,以靜制動(dòng),將(兩個(gè)量均在變化)轉(zhuǎn)化為PM2(點(diǎn)M為定點(diǎn)),目標(biāo)函數(shù)的建立更直接,其最大值的求解更簡(jiǎn)單.點(diǎn)、線、三角形、圓等是平面幾何的基本研究對(duì)象,它們擁有很好的性質(zhì),如角平分線定理、線段的垂直平分線定理、相似三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理,圓的垂徑定理,直徑所對(duì)的圓周角為直角,同弧所對(duì)的圓周角相等等.處理平面解析幾何問題時(shí),要善于根據(jù)圖形的特征聯(lián)想到相關(guān)性質(zhì),直接利用性質(zhì)(結(jié)論)對(duì)問題化繁為簡(jiǎn),甚至開辟一片新天地.

例3已知橢圓= 1 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2, 連結(jié)橢圓上不同兩點(diǎn)A,B滿足AB//x軸, 過點(diǎn)A作AF2的垂線l1,過點(diǎn)B作BF2的垂線l2,且l1,l2的交點(diǎn)為C.

(1)求ΔABF2面積的最大值;

(2)求證: 過點(diǎn)A,B,C的圓D在x軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.

(1)解ΔABF2面積的最大值為√(過程略)

(2)證明由題意知∠F2AC= ∠F2BC= 90°, 故點(diǎn)A,F2,B,C共圓于以CF2為直徑的圓D,又A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,所以y軸是圓D的對(duì)稱軸,所以F2關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F1也在圓D上,故過點(diǎn)A,B,C的圓D在x軸上截得的弦為定弦F1F2,其長(zhǎng)為定值2.

點(diǎn)評(píng)本題第(1)小題可用均值不等式或橢圓的參數(shù)方程求ΔABF2面積的最大值;第(2)小題若以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)作為變量表示圓D的方程,再計(jì)算圓D在x軸上的截距,計(jì)算過程繁瑣,根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定可知A,B,C,F2共圓于圓D,結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可知所求的弦為F1F2.教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生“多一點(diǎn)想,少一點(diǎn)算”,通過解題反思培養(yǎng)學(xué)生追根溯源的習(xí)慣.通過知識(shí)的積累,解題經(jīng)驗(yàn)的豐富,提高審題能力,力爭(zhēng)解題時(shí)少走彎路.

3 關(guān)注元素地位,巧用“對(duì)等”關(guān)系

幾何圖形中的點(diǎn)與點(diǎn)、線與線等對(duì)象互換位置,并不影響問題的條件和結(jié)論,我們將幾何對(duì)象具有的這種關(guān)系稱為“對(duì)等”關(guān)系.具有“對(duì)等”關(guān)系的計(jì)算過程往往是重復(fù)的、可“復(fù)制”的,因此只需計(jì)算一次,替換即可得到另一個(gè)計(jì)算結(jié)果,減少了計(jì)算量.解題中要注意挖掘“對(duì)等”關(guān)系,優(yōu)化解題過程.

例4已知點(diǎn)A為橢圓= 1 的左頂點(diǎn),點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn).P為橢圓C上位于x軸上方的點(diǎn),直線PA交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作MF的垂線,交y軸于點(diǎn)N,直線AN交橢圓C于另一點(diǎn)Q,求ΔAPQ的面積的最大值.

解設(shè)AP,AQ的斜率分別為k1,k2, 則直線AP的方程為y=k1(x+4), 令x= 0, 得M(0,4k1), 同理可得N(0,4k2), 由MF⊥NF, 得k1k2=將y=k1(x+4)代入= 1, 得得xP=將點(diǎn)P坐標(biāo)中的k1換成k2(即),可得xQ=所以P,Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以SΔAPQ= 2SΔAOP=AO·|yP|≤ab=即ΔAPQ的面積的最大值為

點(diǎn)評(píng)命題者提供的解題思路是設(shè)直線AP的方程,依次求出M,P的坐標(biāo), 利用垂直關(guān)系求出N的坐標(biāo), 再求AN的方程,AN的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),最后得P,Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.解題思路完全被題目中點(diǎn)、線的生成的邏輯順序“牽”著走,邏輯清楚,思路自然,計(jì)算量大.如果注意到P,Q的“對(duì)等”地位,分別從P,Q出發(fā)作相同的運(yùn)算,就會(huì)有類同的結(jié)果,重復(fù)的工作只做一次,使解題過程得到簡(jiǎn)化.教學(xué)時(shí),可嘗試通過相關(guān)試題的比對(duì),讓學(xué)生明晰問題的邏輯關(guān)系,逐步提高與完善學(xué)生的推理論證能力,培養(yǎng)學(xué)生的理性精神,這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.

4 特殊尋求目標(biāo),一般跟進(jìn)證實(shí)

解析幾何中常會(huì)遇到定值(定點(diǎn)、定數(shù)值、定曲線等)問題, 由于涉及較多字母, 導(dǎo)致運(yùn)算過程較為復(fù)雜, 難以為繼,如果先根據(jù)圖形所處的特殊位置,猜出結(jié)果,這樣就使解題有了明確的目標(biāo)和方向,將部分字母的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算,可以簡(jiǎn)化解題過程.

例5過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn), 試問坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)N, 使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)N? 若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

解當(dāng)l分別垂直于兩坐標(biāo)軸時(shí), 易知圓的方程為x2+y2= 1 和兩圓方程聯(lián)立可求得其公共點(diǎn)為(0,1).下面只需考察當(dāng)直線l斜率存在且不為0 時(shí), 以AB為直徑的圓是否過點(diǎn)N(0,1).設(shè)l的方程為y=代入橢圓C方程整理得(9+18k2)x2?12kx ?16 = 0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=x1x2+(y1?1)(y2?1)=···=0(過程略),所以

綜上所述,坐標(biāo)平面上存在定點(diǎn)N(0,1),以AB為直徑的圓恒過N(0,1).

點(diǎn)評(píng)解答先從直線l的兩種(可能需要更多種)特殊的位置出發(fā),得到兩圓的公共點(diǎn)N(0,1),實(shí)現(xiàn)了化無限為有限,化抽象為具體的過程.動(dòng)圓過N(0,1)是動(dòng)圓過定點(diǎn)的必要條件,然后再驗(yàn)證其充分性,使解題有了方向和目標(biāo),起到了化繁為簡(jiǎn),減少運(yùn)算的功效.

5 嘗試聯(lián)想推理,實(shí)現(xiàn)無中生有

審題時(shí)不僅要全面梳理題目的顯性條件,還要挖掘題目的隱性條件.若能根據(jù)題設(shè)與結(jié)論不斷聯(lián)想與推理,創(chuàng)設(shè)相關(guān)條件優(yōu)化解答,不但解法給人耳目一新的感覺,更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解,實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維的提升.

例6已知橢圓C1:設(shè)點(diǎn)P為橢圓= 1 上一點(diǎn), 過點(diǎn)P作橢圓C1的兩條切線l1,l2,斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

證明設(shè)過P(x0,y0)與橢圓C1相切的直線l的斜率為k,故其方程為y ?y0=k(x ?x0),代入橢圓C1的方程消去y,得(4k2+1)x2+8k(y0?kx0)x+4[(y0?kx0)2?1]=0.因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切,所以關(guān)于x的一元二次方程的判別式為0,整理得(4)k2?2x0y0k+y02?1 = 0,當(dāng)4=0 時(shí),直線l的斜率為0 或不存在.所以k1,k2為關(guān)于k的一元二次方程(4)k2?2x0y0k+y02?1=0 的兩根,從而k1·k2=又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C2上,所以所以k1·k2=為定值.

點(diǎn)評(píng)本題為“圓錐曲線中的雙切線”問題,解答將k1,k2抽象為k,利用直線與橢圓相切的關(guān)系,根據(jù)求解目標(biāo)以k為主元整理出關(guān)于k的一元二次方程,利用兩切線的斜率是此方程的兩個(gè)根,從而使用韋達(dá)定理解決問題.將k1,k2抽象為k、以k為主元為解題目標(biāo)的需要,也是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的體現(xiàn).聯(lián)想是以舊促新,通過相對(duì)熟悉的情境回扣相關(guān)的知識(shí)、方法、思想,從而嘗試全方位的比對(duì)與遷移.無中生有則要明晰問題差異,揭示問題本質(zhì),體現(xiàn)出思維的創(chuàng)造性,實(shí)現(xiàn)內(nèi)容理解的融會(huì)貫通,它是學(xué)生高階思維的重要標(biāo)識(shí).教師要改變觀念,用新的眼光去審視熟悉的問題,從不同角度去深入研究,深化對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解.教學(xué)時(shí)教師要大膽放手,必要時(shí)給予引導(dǎo),使學(xué)生拾階而上,從膚淺到深入、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從常規(guī)到創(chuàng)新,相信學(xué)生會(huì)給出很多“看似意料之外、實(shí)乃情理之中”的方案,讓創(chuàng)新成為學(xué)生的不懈追求.

三、結(jié)束語

蘇步青先生說過:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題,邊做邊思索,先知其然,然后知其所以然.”教師在平時(shí)的教學(xué)中,在重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)、通性通法的掌握、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、基本策略的轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上,還要培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力,通過(理論與實(shí)踐)案例培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念與創(chuàng)新意識(shí),讓思維轉(zhuǎn)換在學(xué)生學(xué)習(xí)生活中散發(fā)光芒.