北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

1 試題

題目(2020年1月北京市石景山區(qū)高三期末考試)已知橢圓C:=1 過(guò)點(diǎn)P(2,1).

(1)求橢圓C的方程,并求其離心率;

(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上(點(diǎn)A不在直線l上),直線PA關(guān)于l的對(duì)稱直線PB與橢圓交于另一點(diǎn)B.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),判斷直線AB和直線OP的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),檢驗(yàn)了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.第(1)問(wèn)求得橢圓C的方程是= 1,離心率為下面重點(diǎn)談一談第(2)問(wèn)的解法以及試題的思考.

2 解法探究

解法1由已知可得kPA+kPB= 0, 設(shè)直線PA的方程為y ?1 =k(x ?2), 直線PB的方程為y ?1 =?k(x?2),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2+8k(1?2k)x+16k2?16k ?4 = 0,所以2x1=即x1=同理,x2=所以x2?x1=由y1=kx1?2k+1,y2=?kx2+2k+1,得y2?y1=?k(x1+x2)+4k=于是且點(diǎn)A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點(diǎn)評(píng)由于直線PA、PB的斜率互為相反數(shù),所以解法1 先從直線PA入手,聯(lián)立直線PA與橢圓C的方程,利用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)A的橫坐標(biāo),同理得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo),然后利用斜率公式將問(wèn)題解決,體現(xiàn)了方程、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

解法2設(shè)直線AB的方程為y=kx+m, 與=1 聯(lián)立,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

由已知可得kPA+kPB=0,而

將①代入,整理得(2k ?1)(2k+m ?1) = 0,所以k=或m= 1?2k.當(dāng)m= 1?2k時(shí), 直線AB的方程為y=k(x ?2)+1,此時(shí)直線AB過(guò)點(diǎn)P,這與已知不符,所以且點(diǎn)A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點(diǎn)評(píng)判斷直線AB和直線OP的位置關(guān)系,關(guān)鍵是要求出直線AB的斜率,因此解法2 從直線AB入手,聯(lián)立直線AB與橢圓C的方程進(jìn)行求解,體現(xiàn)了坐標(biāo)法的應(yīng)用.

解法3設(shè)由已知可得kPA+kPB=0,而

于是

點(diǎn)評(píng)解法3 借助橢圓的參數(shù)方程表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后借助三角公式化簡(jiǎn)求解,體現(xiàn)了創(chuàng)新性,培養(yǎng)了思維的發(fā)散性.

解法4設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在橢圓C上,所以

兩式相減,得x1+x2+ 2(y1+y2) = 0, 即=?2, 所以又kOP=且點(diǎn)A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點(diǎn)評(píng)由已知條件可得kPA+kPB= 0,而結(jié)論與直線AB的斜率有關(guān),因此解法4 設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),代入橢圓C的方程并作差,表示出直線AB,PA,PB的斜率求解,體現(xiàn)了方程的思想.

解法5設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由已知可得kPA+kPB== 0.又直線AB不過(guò)點(diǎn)P, 所以設(shè)直線AB的方程為m(x ?2)+n(y ?1) = 1(n /=否則直線AB過(guò)點(diǎn)(2,?1),與已知不符),將橢圓C的方程=1 化為(x ?2)2+4(y ?1)2+4(x?2)+8(y?1)=0,與直線AB的方程聯(lián)立,得(x ?2)2+4(y ?1)2+[4(x ?2)+8(y?1)][m(x?2)+n(y?1)]=0,即(4m+1)(x ?2)2+(8n+4)(y ?1)2+(8m+4n)(x?2)(y?1)=0.兩邊同時(shí)除以(x ?2)2,得此方程可以看成是關(guān)于的一元二次方程,是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 所以即于是kAB=且點(diǎn)A不在直線OP上,故直線AB和直線OP平行.

點(diǎn)評(píng)由已知可得kPA+kPB=因此解法5 通過(guò)構(gòu)造、齊次化得到了關(guān)于的一元二次方程求解,這種方法是解決從一點(diǎn)出發(fā)的兩條直線的斜率和或積為定值問(wèn)題的利器.

3 思考

將試題第(2)問(wèn)的幾何條件代數(shù)化,得到的等價(jià)形式為:已知點(diǎn)P(2,1)在橢圓C:= 1 上,過(guò)P引兩條斜率互為相反數(shù)的直線PA、PB, 與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,求證:OP//AB.

思考1將橢圓一般化,位于橢圓第一象限上點(diǎn)P的坐標(biāo)為何值時(shí),能由kPA+kPB=0?OP//AB?

經(jīng)過(guò)探究, 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí), 可 由kPA+kPB=0?OP//AB.于是有:

性質(zhì)1已知點(diǎn)P是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的第一象限上的一點(diǎn),過(guò)P引兩條斜率互為相反數(shù)的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為則OP//AB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

思考2點(diǎn)P的坐標(biāo)為是OP//AB的什么條件?

經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究,發(fā)現(xiàn)這是充要條件,于是有:

性質(zhì)2已知點(diǎn)P是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)的第一象限上的一點(diǎn),過(guò)P引兩條斜率互為相反數(shù)的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為的充要條件是OP//AB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

思考3若P是橢圓C上不同于左、右頂點(diǎn)的定點(diǎn),且kPA+kPB=0,則直線AB有何特點(diǎn)?

經(jīng)過(guò)探究,發(fā)現(xiàn)直線AB的斜率為定值.于是有:

性質(zhì)3 已知P(x0,y0)(y0/= 0)是橢圓C:1(a ＞b ＞0)上的定點(diǎn),過(guò)P引兩條斜率互為相反數(shù)的直線PA、PB,與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,則直線AB的斜率為定值且該定值等于點(diǎn)P處切線斜率的相反數(shù).

思考4若P是橢圓C上的定點(diǎn),且kPA+kPB是非零常數(shù),則直線AB有何特點(diǎn)?

經(jīng)過(guò)探究,有下面的結(jié)論.

性質(zhì)4已知P(x0,y0)是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上的定點(diǎn),過(guò)P引兩條直線PA、PB與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,若kPA+kPB=λ(λ為非零常數(shù)),則直線AB過(guò)定點(diǎn)

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得kPA+kPB==λ,b2x02+a2y02=a2b2.又直線AB不過(guò)點(diǎn)P,設(shè)直線AB的方程為m(x ?x0)+n(y ?y0) =1, 將橢圓C的方程= 1 化 為b2(x ?x0)2+a2(y ?y0)2+2x0b2(x ?x0)+2y0a2(y ?y0) = 0, 與直線AB的方程聯(lián)立,得b2(x ?x0)2+a2(y ?y0)2+[2x0b2(x ?x0) + 2y0a2(y ?y0)][m(x ?x0) +n(y ?y0)] = 0, 即(2mx0+1)b2(x ?x0)2+(2ny0+1)a2(y ?y0)2+2(my0a2+nx0b2)(x ?x0)(y ?y0) = 0.兩邊同時(shí)除以(x ?x0)2,得(2ny0+ 1)a2()2+ 2(my0a2+nx0b2)(2mx0+ 1)b2= 0, 此方程可以看成是關(guān)于的一元二次方程, 且是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以=λ,即與m(x?x0)+n(y?y0)=1 比較,得x=x0?,y=?y0?,故結(jié)論得證.

思考5若P是橢圓C上的定點(diǎn),且kPA·kPB是非零常數(shù),則直線AB有何特點(diǎn)?

經(jīng)過(guò)探究,有下面的結(jié)論.

性質(zhì)5已知P(x0,y0)是橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上的定點(diǎn),過(guò)P引兩條直線PA、PB與橢圓C分別交于另一點(diǎn)A、B,且kPA·kPB=μ(μ為常數(shù)).

(1) 若μ=則kAB=

(此時(shí)x0/= 0); (2) 若則直線AB過(guò)定點(diǎn)

性質(zhì)1,2,3,5 留給讀者自行完成.

4 變式

以上述性質(zhì)為背景的各類試題頻繁出現(xiàn),列舉幾例,供讀者練習(xí).

題目1(2019年高考北京卷文科第19 題) 已知橢圓=1 的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)O為原點(diǎn),直線l:y=kx+t(t /=±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M,直線AQ與x軸交于點(diǎn)N,若|OM|·|ON|= 2,求證: 直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

題目2(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽)已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率為過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn),記PA,PB的斜率為k1,k2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若k1+k2= 0,求實(shí)數(shù)k的值.

題目3(2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽)已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上任意一點(diǎn).已知的最大值為3,最小值為2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn)),且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A.求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

題目4(2018年4月北京市海淀區(qū)高三一模)已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)的離心率為且點(diǎn)T(2,1)在橢圓C上.設(shè)與OT平行的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),直線TP,TQ分別與x軸正半軸交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)判斷|OM|+|ON|的值是否為定值,并證明你的結(jié)論.

題目5(2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20 題) 已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0), 四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線P2A與直線P2B的斜率的和為?1,證明:l過(guò)定點(diǎn).

參考答案:

1.(1)+y2=1;(2)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0).

4.(1)=1;(2)|OM|+|ON|為定值4.