黃 朝，孔建益，鮮小東，王郢瑞，于普良

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；3.武漢科技大學(xué)省部共建耐火材料與冶金國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

柔性鉸鏈具有體積小、無(wú)間隙、無(wú)摩擦、靈敏度高、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，已越來(lái)越多地應(yīng)用于各種超精密運(yùn)動(dòng)裝備中，如微納米驅(qū)動(dòng)平臺(tái)、高精度校準(zhǔn)裝置和壓電驅(qū)動(dòng)器的位移放大器[4-6]。柔性機(jī)構(gòu)的整體性能在一定程度上依賴于柔性鉸鏈的固有特性，因此，如何選擇和設(shè)計(jì)柔性鉸鏈具有重要的研究意義。

Paros等[7]研究了圓弧柔性鉸鏈，并推導(dǎo)出完整的柔度計(jì)算公式。Zettl等[8]建立了直圓柔性鉸鏈的有限元模型，完善了柔性鉸鏈的有限元分析方法。Smith等[9]推導(dǎo)出橢圓型柔性鉸鏈的柔度方程，拓展了柔性鉸鏈的研究領(lǐng)域。Chen等[10]通過(guò)改變橢圓最大偏心角設(shè)計(jì)出一種橢圓弧型柔性鉸鏈，基于卡氏第二定理推導(dǎo)了該類鉸鏈的柔度方程。Lobontiu等[11]引入兩種新型結(jié)構(gòu)，即拋物線型和雙曲線型柔性鉸鏈，并推導(dǎo)了相應(yīng)的解析方程，證明雙曲線型柔性鉸鏈比直圓型、橢圓型及拋物線型柔性鉸鏈具有更高的精度。Wang等[12]設(shè)計(jì)了一種非對(duì)稱的指數(shù)正弦型柔性鉸鏈，通過(guò)理論分析證明此類柔性鉸鏈相較于對(duì)稱型柔性鉸鏈有更高的運(yùn)動(dòng)精度。Li等[13]給出冪函數(shù)型柔性鉸鏈的柔度方程，對(duì)其運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行了分析，結(jié)果表明冪函數(shù)型柔性鉸鏈比正圓型和V型柔性鉸鏈具有更高的旋轉(zhuǎn)精度。

在柔性鉸鏈設(shè)計(jì)過(guò)程中，一般需要同時(shí)兼顧其結(jié)構(gòu)類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)。設(shè)計(jì)者往往首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇結(jié)構(gòu)類型，然后再根據(jù)鉸鏈的柔度方程來(lái)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)。由于每種柔性鉸鏈的柔度方程都是獨(dú)特的，所以在柔性鉸鏈選型和設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)者必須針對(duì)不同類型分別進(jìn)行計(jì)算，致使找到最適合的柔性鉸鏈來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)最佳性能的難度增加，因此有必要建立一個(gè)適用于多種類型柔性鉸鏈的廣義模型。

本文提出一種新型的廣義柔性鉸鏈模型——圓錐倒角V型柔性鉸鏈，具體包括拋物線倒角V型、橢圓倒角V型、雙曲線倒角V型、拋物線型、橢圓弧型、雙曲線型及直梁型柔性鉸鏈，并以極坐標(biāo)下的圓錐曲線廣義方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度廣義方程，運(yùn)用這些方程可以同時(shí)進(jìn)行切口類型選擇和參數(shù)設(shè)計(jì)，從而優(yōu)化柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)過(guò)程。

1 極坐標(biāo)下圓錐曲線的廣義方程

如圖1所示，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的切口輪廓由圓錐曲線及其切線構(gòu)成，其幾何參數(shù)包括切口長(zhǎng)度l、切口部分最小厚度t、寬度w以及切線部分與x軸之間的夾角φ。

圖1 圓錐倒角V型柔性鉸鏈簡(jiǎn)圖

圖2所示為圓錐曲線及其準(zhǔn)線和焦點(diǎn)OF，在極坐標(biāo)系中，以焦點(diǎn)OF為原點(diǎn)，圓錐曲線可表示為：

圖2 極坐標(biāo)系中的圓錐曲線

(1)

式中：p(p>0)表示焦點(diǎn)與準(zhǔn)線之間的距離；離心率e(e>0)可表示為：

(2)

當(dāng)e>1時(shí)，圓錐曲線表示的是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，圓錐曲線表示的是拋物線；當(dāng)0

如圖3所示，切口對(duì)應(yīng)到圓錐曲線的范圍設(shè)定為[-θn，θn]，其中θn=π/2，圓錐曲線部分范圍為[-θm，θm]，θm為圓錐曲線部分最大極角，切線部分可表示為：

圖3 圓錐倒角V型柔性鉸鏈的截面圖

(3)

其中，

(4)

切口長(zhǎng)度l的計(jì)算公式為：

(5)

圖4所示為具有不同切口曲線的圓錐倒角V型柔性鉸鏈之間的關(guān)系，對(duì)應(yīng)于不同范圍的e和φ，可得到不同類型的柔性鉸鏈。在圓錐倒角V型柔性鉸鏈廣義模型中，e>0、0≤φ≤φm、0≤θm≤θn，φm的計(jì)算公式為：

圖4 不同切口輪廓的圓錐倒角V型柔性鉸鏈之間的關(guān)系

(6)

當(dāng)φ=0時(shí)，模型代表直梁型柔性鉸鏈；當(dāng)0<φ<φm時(shí)，根據(jù)不同的e值，模型分別代表橢圓倒角V型、拋物線倒角V型和雙曲線倒角V型柔性鉸鏈；當(dāng)φ=φm時(shí)，根據(jù)不同的e值，模型分別代表橢圓弧型、拋物線型和雙曲線型柔性鉸鏈。

2 圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度方程

如圖3所示，將柔性鉸鏈切口部分垂直地劃分為無(wú)數(shù)塊長(zhǎng)方體，dθ(dθ→0)所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的高度可表示為：

(7)

其中，

(8)

(9)

x與θ的關(guān)系可表示為：

(10)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

(11)

2.1 柔度矩陣

當(dāng)柔性鉸鏈切口處最小厚度t遠(yuǎn)小于切口長(zhǎng)度l(t<0.2l)時(shí)，可將柔性鉸鏈視為一端固定且受彎矩、軸向載荷、剪切和扭轉(zhuǎn)作用的懸臂梁[14]，作用在鉸鏈上的載荷力(參見(jiàn)圖1)可定義為：

(12)

鉸鏈相應(yīng)的變形為：

(13)

由卡氏第二定理可得：

X=ChF

(14)

式中：Ch為柔度矩陣，可表示為

Ch=

(15)

鑒于柔度矩陣的對(duì)稱性，有αz/Fy=Δy/Mz、αy/Fz=Δz/My，柔度矩陣中的每一個(gè)柔度因子都可以由歐拉-伯努利梁理論推導(dǎo)而出。

2.2 關(guān)于z軸的角柔度

z軸是柔性鉸鏈的輸入軸，彎矩Mz對(duì)應(yīng)的關(guān)于z軸的角柔度可表示為：

在太原市平陽(yáng)路君怡小區(qū)B座鋼筋混凝土不等肢剪力墻結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)的位移超過(guò)了規(guī)范規(guī)定的限值，設(shè)計(jì)人員通過(guò)合理地調(diào)整墻肢截面或連梁的截面高度來(lái)提高整體的剛度，從而滿足了規(guī)范規(guī)定的位移限值。對(duì)于設(shè)計(jì)中跨高比較大的連梁，有良好的地震耗能。而在剪力墻結(jié)構(gòu)中，往往洞口上形成的連梁跨高比均比較小，對(duì)抗震等級(jí)為一、二級(jí)且連梁跨高比≯2、墻肢厚≮200 mm時(shí)，可設(shè)置斜向交叉鋼筋或菱形斜筋與交叉斜筋組合的配筋方案，其延性均比較高，且具有良好的耗能能力。當(dāng)連梁寬度在350 mm以上時(shí)，可采用交叉暗撐。對(duì)在工程中出現(xiàn)超筋的連梁，通過(guò)合理配筋保證梁強(qiáng)剪弱彎，可具備一定的延性耗能能力。

(16)

式中：E為材料的彈性模量；Iz(θ)為角θ處梁截面相對(duì)于中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I1的計(jì)算公式為

(17)

通過(guò)施加力Fy，產(chǎn)生的等效力矩為Fy[l/2-epsinθ/(1+ecosθ)]，因此力Fy對(duì)應(yīng)的角柔度為

(18)

2.3 關(guān)于y軸的角柔度

彎矩My對(duì)應(yīng)的關(guān)于y軸的角柔度為：

(19)

其中，

(20)

通過(guò)施加力Fz，產(chǎn)生的等效力矩為-Fz[l/2-epsinθ/(1+ecosθ)]，因此力Fz對(duì)應(yīng)的角柔度為

(21)

2.4 沿z軸方向的線柔度

由于柔度矩陣的對(duì)稱性，彎矩My對(duì)應(yīng)的關(guān)于z軸的線柔度為：

(22)

(23)

式中：G為材料的剪切模量；k為材料的剪切系數(shù)，對(duì)于截面為矩形的梁，k取6/5[15]。

彎曲部分計(jì)算公式為：

(24)

綜上，力Fz沿z軸的線柔度為：

(25)

其中，

(26)

2.5 沿y軸方向的線柔度

同理，由于柔度矩陣的對(duì)稱性，彎矩Mz對(duì)應(yīng)的沿y軸的線柔度為：

(27)

參照對(duì)Δz/Fz的推導(dǎo)，也可得出力Fy對(duì)應(yīng)的沿y軸的線柔度為：

(28)

其中，

(29)

2.6 沿x軸方向的線柔度

沿x軸方向的線柔度可表示為：

(30)

2.7 關(guān)于x軸的角柔度

由于柔性鉸鏈的每一個(gè)無(wú)窮小矩形條都可以看作是一個(gè)恒定的矩形截面梁，根據(jù)文獻(xiàn)[16]中給出的近似扭轉(zhuǎn)方程，關(guān)于x軸的角柔度可以表示為：

(31)

3 有限元分析驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的柔度方程的正確性，下面采用有限元分析方法來(lái)計(jì)算柔性鉸鏈的各個(gè)柔度因子。首先通過(guò)Solidworks軟件建立鉸鏈三維模型如圖5所示。用HyperMesh軟件劃分網(wǎng)格單元，選取Solid186單元類型，Solid186是一個(gè)高階三維20節(jié)點(diǎn)固體結(jié)構(gòu)單元，具有任意的空間各向異性。然后建立質(zhì)量點(diǎn)，設(shè)置為Mass21單元，創(chuàng)建MPC約束。最后在有限元分析軟件中進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于每一類柔性鉸鏈，均在其一端固定而在另一端施加單位載荷，計(jì)算得到的位移就是相應(yīng)的柔度因子。

圖5 有限元模型

表1列出了8組圓錐倒角V型柔性鉸鏈的幾何參數(shù)，柔性鉸鏈的寬度w均為10 mm，材質(zhì)為彈簧鋼，其楊氏模量E為207 GPa，剪切模量G為81 GPa。

表1 圓錐倒角V型柔性鉸鏈仿真模型的參數(shù)

表2列出了上述柔性鉸鏈模型的柔度因子的理論計(jì)算值(用C表示)和有限元分析結(jié)果(用F表示)，并給出了兩者之間的相對(duì)誤差(|F-C|/|C|)。鑒于柔度矩陣的對(duì)稱性，表2中只給出αz/Mz、αy/My、Δz/My、Δz/Fz、Δy/Mz、Δy/Fy、Δx/Fx和αx/Mx的值。由表2可見(jiàn)，這些柔度因子的理論計(jì)算值和有限元分析結(jié)果的誤差均在10%以內(nèi)，具有較好的一致性。

表2 柔度因子的理論計(jì)算值(用C表示)與有限元分析結(jié)果(用F表示)的比較

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選取3個(gè)柔度因子αz/Mz、Δy/Mz和Δy/Fy，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)所提出的柔度方程進(jìn)行驗(yàn)證。加工了4個(gè)柔性鉸鏈，其設(shè)計(jì)參數(shù)如表3所示。每個(gè)柔性鉸鏈均被加工成類似于“I”形，如圖6所示。鉸鏈材料選用彈簧鋼65Mn，采用慢走絲電火花線切割技術(shù)進(jìn)行加工。

表3 圓錐倒角V型柔性鉸鏈試樣參數(shù)

圖6 柔性鉸鏈試樣簡(jiǎn)圖

圖7所示為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，包括激光位移傳感器(型號(hào)為KEYENCE?LK-G155H，分辨率為0.5μm)、光學(xué)平板、支撐桿、變壓器、砝碼(從10 g到500 g)以及柔性鉸鏈試樣。兩根支撐桿固定在光學(xué)平板上，感測(cè)頭和柔性鉸鏈試樣分別由光軸連接件固定于支撐桿上，柔性鉸鏈試樣一端固定，另一端通過(guò)砝碼施加載荷。如圖7(a)所示，施加力Fx以產(chǎn)生力矩Mz=FxL，測(cè)量得到相應(yīng)的位移即可計(jì)算出柔度因子Δy/Mz，由于變形量足夠小，所以角位移αz≈tanαz，可計(jì)算出柔度因子αz/Mz[17]。如圖7(b)所示，可測(cè)量出在力Fy作用下的位移，計(jì)算出柔度因子Δy/Fy。表4中列出了理論計(jì)算值(用C表示)與實(shí)驗(yàn)值(用X表示)的對(duì)比，相對(duì)誤差(|X-C|/|C|)均在8%以內(nèi)。

表4 柔度因子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(用X表示)與理論計(jì)算值(用C表示)的比較

圖7 實(shí)驗(yàn)設(shè)備：(a)用于計(jì)算αz/Mz和Δy/Mz；(b)用于計(jì)算Δy/Fy

柔性鉸鏈的實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)自以下幾個(gè)潛在因素：(1)加工的不確定性，加工樣品與設(shè)計(jì)樣品之間存在一定誤差；(2)測(cè)量系統(tǒng)的不確定性，由于測(cè)量系統(tǒng)所造成的誤差；(3)所施加載荷的不確定性，施加載荷由砝碼質(zhì)量所決定，砝碼質(zhì)量真實(shí)值與其標(biāo)定值可能存在誤差。

5 性能分析與比較

由于柔性鉸鏈的平面運(yùn)動(dòng)(繞z軸的旋轉(zhuǎn)、沿x軸的平動(dòng)和沿y軸的平動(dòng))在實(shí)際工況中占主導(dǎo)地位，因此本文采用數(shù)值模擬分析方法，基于解析模型研究柔性鉸鏈尺寸參數(shù)對(duì)鉸鏈平面柔度的影響。

在圓錐倒角V型柔性鉸鏈的廣義模型中，e、p、t、w和φ為設(shè)計(jì)參數(shù)，柔性鉸鏈的切口曲線由e、p和φ共同確定，柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特征則由t和w共同確定。

為了研究切口曲線對(duì)鉸鏈柔度的影響：首先將t、w和φ分別設(shè)為0.5 mm、10 mm和π/6，將e和p的取值范圍分別設(shè)為0.1～1.9和3～13 mm，得到圖8所示的鉸鏈平面柔度與e、p之間的關(guān)系；然后將e、p、t和w分別設(shè)為0.6、5.33 mm、0.5 mm和10 mm，將φ的取值范圍設(shè)為0～5π/18，得到圖9所示的鉸鏈平面柔度與φ之間的關(guān)系。為了研究結(jié)構(gòu)特征對(duì)鉸鏈柔度的影響，將e、p和φ分別設(shè)為0.6、5.33 mm和π/6，將t和w的取值范圍分別設(shè)為0.1～1 mm和6～15 mm，得到圖10所示的鉸鏈平面柔度與t和w之間的關(guān)系。

由圖8可見(jiàn)，4個(gè)柔度因子均隨e和p的增大而非線性增加。其中，Δx/Fx和αz/Mz的增長(zhǎng)率隨著e和p的增大而逐漸降低，而Δy/Fy和Δy/Mz的增長(zhǎng)率隨著e和p的增大而逐漸提高。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

由圖9可見(jiàn)，4個(gè)柔度因子均隨φ的增加而非線性減少，而且柔度因子的變化率隨著φ的增大而逐漸降低，最終趨于穩(wěn)定。當(dāng)數(shù)值不再變化時(shí)，即得到傳統(tǒng)圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度值，這表明在設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t和w相同的情況下，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度大于傳統(tǒng)的圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

由圖10可見(jiàn)，4個(gè)柔度因子均隨t和w的增大而非線性減少，而且柔度因子的變化率隨著t和w的增加而逐漸降低，其中，對(duì)于Δy/Fy、Δy/Mz和αz/Mz的變化，t比w的影響程度更大。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

6 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種新型的廣義柔性鉸鏈，即圓錐倒角V型柔性鉸鏈，包含拋物線倒角V型、橢圓倒角V型、雙曲線倒角V型、拋物線型、橢圓弧型、雙曲線型及直梁型柔性鉸鏈。通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t、w和φ的設(shè)定，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)此類柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)的綜合設(shè)計(jì)。

然后推導(dǎo)了圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度方程，并進(jìn)行了有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究。理論計(jì)算值與有限元分析結(jié)果的誤差在10%以內(nèi)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差在8%以內(nèi)，證明了柔度方程的正確性和有效性。

最后基于柔度方程分析了設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t、w和φ對(duì)所設(shè)計(jì)的柔性鉸鏈平面柔度的影響規(guī)律。研究表明，柔度因子隨著設(shè)計(jì)參數(shù)e和p的增大而增大，隨著設(shè)計(jì)參數(shù)φ、t和w的增大而減??；在設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t和w相同的情況下，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度大于傳統(tǒng)的圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度。