談鳳婕

（華東建筑設(shè)計研究院有限公司，上海 200011）

0 引言

在空間曲面殼體結(jié)構(gòu)的設(shè)計中，合理的曲面可以提高結(jié)構(gòu)空間傳力性能。對于復(fù)雜的曲面結(jié)構(gòu)，普通的方程不能簡單有效地表達曲面，可能需要多段曲線方程來擬合曲面殼體結(jié)構(gòu)，同時增加優(yōu)化變量的數(shù)量，增加優(yōu)化的計算量，降低優(yōu)化效率。利用 Nurbs 曲面，可以通過調(diào)整曲面上的控制點來改變曲面形狀，不僅可以靈活擬合曲面，而且可以控制優(yōu)化變量，提高優(yōu)化效率。

國內(nèi)外學者在利用 Nurbs 進行建模分析的方面展開了多項研究。文獻［1］利用 Nurbs 對球艏構(gòu)型進行拓撲優(yōu)化；文獻［2］利用 Nurbs 對葉輪進行建模分析；文獻［3］利用 Nurbs 對汽車殼體進行模擬建模；文獻［4］基于 Nurbs提出 TOP-IGA-MMV 方法。

在結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化中，當設(shè)計變量的個數(shù)變多時，往往需要更多的迭代步驟以找到全局最優(yōu)解，然而在結(jié)構(gòu)分析中，當結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，單元劃分數(shù)量大時，有限元分析本身就非常耗費時間，再加上優(yōu)化分析的迭代數(shù)量，使得優(yōu)化過程計算效率十分低下。為了解決計算效率的問題，引入 Kriging metamodel 來近似模擬真實模型，從而簡化計算過程。

國內(nèi)外有大量對近似模型的研究和應(yīng)用。文獻［5-6］證明了 Kriging metamodel 可以提供一個很好的近似模型來模擬真實模型；文獻［7］對比了多種近似模型應(yīng)用于考慮不確定因素時的優(yōu)化問題，發(fā)現(xiàn) Kriging metamodel的精度最好。

本文利用 Nu r b s 對殼體建模，生成網(wǎng)格，利用 Ansys 進行有限元分析，通過調(diào)整控制點的位置改變殼體形狀，利用遺傳算法找尋控制點最優(yōu)位置，以殼體的應(yīng)變能最小作為目標函數(shù)，引入近似模型簡化優(yōu)化分析過程，尋找最優(yōu)化的殼體曲面形狀。

1 Nurbs 曲面

Nurbs 是 B-spline 通過等參轉(zhuǎn)換得到。B-spline 的基本方程有很多構(gòu)成方法，目前最常用的是由 Piegl 和Tiller 提出的 Cox-de Boor recursion 方程，假設(shè)｛ui｝（i=0，2，3，…，m）是一系列非減結(jié)點（ui≤ui+1）中的第 i 個結(jié)點，則在半開區(qū)間［ui，ui+1）上的 p 階基本方程如式（1）所示。

式中：n，m，p 滿足 m=n+p+1。

然而 B-spline 不能靈活有效地表達一個圓，因此通過等參轉(zhuǎn)換，得到 Nurbs（見圖 1），則 p 階Nurbs 曲線表達式如式（3）所示。

式中：wi是和控制點Pi相關(guān)的權(quán)系數(shù)。將曲線擴展到曲面，得到 Nurbs 曲面的表達式如式（4）所示。

圖1 Nurbs 曲線

2 殼體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化實例

當需要建立一個比較復(fù)雜的幾何形狀時，通過分析方程去建立該幾何形狀，會導致曲線分段過多，分析方程太復(fù)雜，計算不方便等問題，然而通過移動控制點來得到想要的幾何形狀是一種比較靈活有效的方式。

本文案例為一個蝴蝶形空間大跨殼體結(jié)構(gòu)，x 向跨度 280 m，y 向跨度 115 m，底部支撐由剪力墻和搖擺柱組成。本文只探討結(jié)構(gòu)形狀的優(yōu)化，只從結(jié)構(gòu)形狀建模的角度出發(fā)。選取殼上 12 個控制點建立結(jié)構(gòu)的幾何形狀，如圖 2 所示。

2.1 優(yōu)化方程

本文的目的是通過移動建模時使用的 12 個控制點，來調(diào)整殼體各個位置的矢高，從而產(chǎn)生拱效應(yīng)，減小結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的應(yīng)變能。因此選取 12 個控制點的豎向坐標作為設(shè)計變量，控制點的豎向坐標變化范圍為［2，20］，最小總應(yīng)變能為優(yōu)化目標，則其相應(yīng)的優(yōu)化方程如式（5）所示。

圖2 初始模型

式中：x 是設(shè)計變量；f（x）是目標方程；lb 是設(shè)計變量取值上邊界；ub 是設(shè)計變量取值下邊界。

2.2 優(yōu)化方法

本文使用的優(yōu)化算法是遺傳算法［8］，遺傳算法是一種全局優(yōu)化方法，其在指定的搜索區(qū)域內(nèi)，通過模仿遺傳學特性，將設(shè)計變量編碼后看作“染色體”，例如利用二進制編碼，將染色體組合交叉和變異逐代演化出更好的近似解，從而得到全局最優(yōu)解。遺傳算法流程圖如圖 3 所示。

圖3 遺傳算法流程圖

利用遺傳算法對上述殼體進行優(yōu)化，優(yōu)化后得到的結(jié)構(gòu)形狀如圖 4 所示，得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能分布如圖 5 所示。

3 利用近似模型進行優(yōu)化

圖4 優(yōu)化模型

圖5 應(yīng)變能分布（單位：kJ）

在結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化中，當設(shè)計變量的個數(shù)變多時，往往需要更多的迭代步驟以找到全局最優(yōu)解，然而在結(jié)構(gòu)分析中，當結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，單元劃分數(shù)量大時，有限元分析本身就非常耗費時間，再加上優(yōu)化分析的迭代數(shù)量，使得優(yōu)化過程計算效率十分低下，因此，需要引入新的方法來提高計算效率。考慮利用近似模型，建立設(shè)計變量和優(yōu)化目標之間的關(guān)系，可以減小優(yōu)化分析時對結(jié)構(gòu)進行有限元分析的次數(shù)，從而提高優(yōu)化效率，減少計算時間。

Kriging 是一種依據(jù)協(xié)方差函數(shù)［9］，根據(jù)已知數(shù)據(jù)建立一個空間模型來進行預(yù)測的回歸算法。在特定的隨機過程中，Kriging 可以給出最佳的線性無偏估計。假設(shè)建模對象遵循高斯隨機過程，則得到相應(yīng)的 Kriging metamodel 如式（6）所示。

式中： βTf（x）是這個高斯隨機過程的平均值，βTf（x）=β1f1+β2f2+…+βPfP）；Z［x，R（x，x′；θ）］是一個均值為零的高斯隨機過程；σ2是該高斯隨機過程的方差；R（x，x′；θ）是觀測點與預(yù)測點之間的相關(guān)函數(shù)；θ是模擬空間的相關(guān)長度。

Kriging metamodel 的計算原理為通過已知的設(shè)計點 X={x1，x2，x3，…，xN}T和相應(yīng)的輸出值 y={y1，y2，y3，…，yN}T來預(yù)測在點 x 處的Y＾=μk（x），根據(jù)式（6）可知，設(shè)計點和預(yù)測點服從高斯聯(lián)合分布，如式（7）所示。

式中：Fij=fj（xi）（j=1，2，…，P；i=1，2，…，N）；R 為已知值與預(yù)測值之間的相關(guān)函數(shù)（見圖 6）；θ 為相關(guān)長度。常用的相關(guān)函數(shù)有線性相關(guān)函數(shù)、指數(shù)相關(guān)函數(shù)、高斯相關(guān)函數(shù)、Markov 相關(guān)函數(shù)。

圖6 相關(guān)函數(shù)（其中 θ=1，τ=x-x′=1）

利用 Kriging metamodel 建立模型的設(shè)計變量和目標方程的近似模型，其中相關(guān)函數(shù)為指數(shù)相關(guān)函數(shù)。隨機生成 50 個樣本，得到真實模型和近似模型間的對比，如圖 7 所示。

圖7 真實模型和近似模型之間的對比

利用近似模型來對設(shè)計變量進行優(yōu)化，得到優(yōu)化模型如圖 8 所示，近似模型優(yōu)化結(jié)果和真實模型優(yōu)化結(jié)果對比如表 1 所示。

圖8 優(yōu)化模型

圖9 應(yīng)變能分布（單位：kJ）

表1 真實模型優(yōu)化結(jié)果和近似模型優(yōu)化結(jié)果對比

由表 1 可以看出，由近似模型計算通過有限元法所得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為 4.386×103kJ，由有限元法計算的通過真實模型得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為 4.066×103kJ，由近似模型計算通過近似模型得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為 3.956×103kJ，由有限元法計算通過近似模型得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為 4.386×103kJ。近似模型能夠預(yù)判設(shè)計變量和優(yōu)化目標間的關(guān)系，由近似模型得到的優(yōu)化結(jié)果接近真實模型的優(yōu)化結(jié)果，然而由于近似模型存在誤差，使得由近似模型得到優(yōu)化結(jié)果并不是真實的最優(yōu)結(jié)果。

4 結(jié)論

本文利用 Nurbs 曲面建模，將控制點坐標作為設(shè)計變量，通過調(diào)整控制點坐標，利用遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)形狀，避免了通過分析方程去建立幾何形狀時遇到的曲線分段過多、分析方程太復(fù)雜、計算不方便等問題。

近似模型的應(yīng)用可以大幅地減少計算時間，簡化分析過程，提高優(yōu)化效率。近似模型和真實模型的計算結(jié)果對比，近似模型能夠很好地預(yù)測設(shè)計變量和優(yōu)化目標的關(guān)系。但是，近似模型和真實值之間仍然存在比較明顯的誤差，這會導致所得到結(jié)果接近最優(yōu)解，但不是最優(yōu)解。

整體來看，近似模型在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用是一種非常有前景的方法，但是仍需要通過引入一些措施，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、貝葉斯定理等，來提高近似模型的精確度，減小誤差，使得近似模型可以更好地模擬真實結(jié)構(gòu)模型。Q