游利瑛 游文潔

馮振業(yè)博士長期從事香港數學教師培訓工作，現就職于香港教育大學數學與資訊科技學系。歷任香港數學教育學會副會長、會長，《數學教育》編委會主席，香港小學教材《新紀元小學數學》主編。他提出“數學化教學”的主張，在香港組建了小學數學教師專業(yè)社群，持續(xù)地進行教育教學發(fā)展工作，旨在通過教學設計，吸引教師重新學習數學。他與內地赴港交流教師進行了多次交流活動。

一、知識演進活動：不要將數學化與生活化截然分開

交流教師：您能談談關于教學數學化與生活化的問題嗎？

馮博士：“數學化教學”是一個改善小學數學教學的計劃，基于荷蘭數學教育泰斗弗賴登塔爾提出的“數學化”觀點。簡而言之，“數學化”就是數學認知的產生和演進過程。這過程讓數學觀念形成和改進，由門外漢的認識過渡到具有數學特質的認識，或是由簡陋的認識進化到精密的認識。數學教育對一般人的意義，主要在于掌握數學化過程，而非數學產物。

在香港課堂上見到的，多數是教師把數學產物介紹給學生，而不是與學生一起經歷一次數學知識形成或改進的過程。課本的材料，礙于各種限制，也不太重視把數學知識的演進過程說得一清二楚。

數學課堂要組織好學習活動，透過學習的活動，把數學變成精準的、有效的學習形態(tài)，這個過程就是數學化的過程。但是透過這個過程去建立數學知識，不等于說沒有生活元素，因為知識的形成不是憑空的。我們很多的數學知識都是從已有經驗總結而來。已有的經驗包括課堂的經驗，也包括課外的經驗。所以課堂上的教學有時可以從生活的角度去引入，有時可以從展開一個課堂的活動去理解。這個課堂的活動可以是教師提供的特定表達出來的一種經驗，雖然這個經驗也許與學生的生活經驗有出入。

我們在教數學的時候，有些情況是從學生的生活經驗出發(fā)，有些時候是立足于學生在課堂中的數學理解，這兩個都是必要的。我們要看的是從哪一個點切入比較有效。我們不可以刻意地把這個生活化與數學化分開來講。不過，如果數學教學過多地講生活化，就會有問題。因為數學當中有一部分內容在生活中不容易接觸，如分數，在生活中就很少見到。但不可以說生活中沒有的，我們就不學。

因此，學生要接觸的數學如果不方便從生活的角度去介入，就不可太勉強。學數學就是要將這個數學知識進行改良，這就是數學化的角度，什么時候是生活的情境，什么時候是純數學化的情境，這要看數學內容本身，也要看學生的知識背景。

二、教材探微活動：培養(yǎng)思考力比糾纏某些“對錯”更重要

交流教師：香港教材中“分母是100的分數是百分數”，這個定義是對還是錯？

馮博士：香港的教師用書不也說明了“表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫百分數”嗎？教材中“分母是100的分數是百分數”那是為了學生能順利理解。其實一個定義是對還是錯，各家有各家的理解，不同階段有不同階段的理解，培養(yǎng)學生的思考力比判定這樣的對錯更重要。有很多事情這樣講可以，那樣講也沒錯，你倒不如把它看成是一種約定。

舉一個例子，什么叫梯形？有兩種不同的定義，一個是“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”，另一個是“有一組對邊平行的四邊形是梯形”。兩個定義都在應用。如果是第一種定義，那么平行四邊形就不是梯形的一種，如果是第二種定義，那么平行四邊形就是梯形的一種特例。不要太在意對與錯，要多在意學生的理解是對與錯。香港的汽車方向盤在右，靠左道行駛，內地就正好相反，哪個對哪個錯呢，沒有。那些在內地和香港往返的司機，兩邊道都會開，也不會出問題的。

交流教師：對內地小學數學教材您怎么看？

馮博士：香港每個年級的學生都有四本數學書，上學期兩本，下學期兩本，還是16開的。內地教材編得太統(tǒng)，教材不太厚，頁數是有控制的，這樣就會有一些問題。因為有些知識內容不是簡單就可以交待清楚的，必須要有一定的篇幅去表達。而不能交待很清楚的內容，教師是不好理解知識全過程的。這個不是編者的問題，是政策的問題，是成本的問題。

教材簡單，可以說留給教師的空間大，也可以說這個教材不能很全面地去幫助教師。所以，我編的教材就是把全部的過程都表達出來，每一個單元一冊，叫單元冊。這是比較大膽的嘗試，一學年有十來冊。

三、課堂評判活動：好的數學課堂應有較多思考問題的元素

交流教師：怎樣才是一堂好的數學課？

馮博士：“數學化教學”我認為是最棒的。數學化教學做的人很多。我希望的數學課堂就是數學的思考方式、思維過程可以展現出來。自主探究、互相學習、合作交流這種課堂教學模式是比較理想的。我們不需要太抓緊什么內容，最重要的是學生有思考數學的方式與行為習慣，這些要在課堂體現出來。知識是學不完的，數學教育的目標不只是訓練、培養(yǎng)一些數學家，重要的是讓學生懂得怎樣去思考數學，怎樣去改良和創(chuàng)造數學。課堂里有沒有這種元素？有多少呢？如果課堂都是教師講，學生聽，教師說，學生做，那這樣的元素就不多了。這種元素是存在于學生與學生、學生與教師的互動中，存在于提出問題、探究問題和解決問題的過程中。這與學習什么內容關系不大，一至六年級的內容都可以，簡單的內容可以去思考、去討論，復雜的內容也可以共同切磋。同時，教學是伴隨感情同時存在的，教師要關注成績也要關注心靈。

在觀課時，如果心里老是惦記著要填評課表，這個課就不會很好，如果進入課堂后，慢慢忘記要填這個評課表，自己投入到課里了，跟學生一起想問題，這樣的課才會是好課。好的課堂是容易讓你投入到互動的過程，去進行相互切磋，去關注這種思考狀態(tài)，這就是研討數學的情境。在這種氛圍里，學生樂于探究學習，樂于思考問題，享受學習過程的快樂。如果教師用專家的身份進行教學，我認為不好。好的數學課，教師不當專家，學生可以挑戰(zhàn)學生，學生也可以挑戰(zhàn)教師，要讓學生亮出自己的觀點，然后大家覺得被說服了，明白了，這樣的課很有價值，有這樣元素的課是好的數學課。

四、解難教學活動：要在創(chuàng)新與實踐中培養(yǎng)孩子數學反應的觸覺

交流教師：在數學教學中如何進行探究與活動呢？

馮博士：數學科學有它本身的特點，教師在課堂教學中要充分、高效互動，要關注學生學習，要善于透過教學活動，去引導學生思考問題，培養(yǎng)數學反應的觸覺。舉幾個例子。

1. 關于時間“秒”的教學。時間是可以量度的，不過量度時間比較復雜。秒是時間單位，教學時可以從音樂老師那里借來節(jié)拍器，調到一分鐘拍打60下，學生既可以聽也可以看。我有一個設計是這樣做的，用沙漏來測量時間。讓孩子操作一個沙漏，沙掉到一個地方就做一個記號，這個時間大概是幾秒鐘，然后他們拿這個東西就可以量時間，沙漏就是量時間的工具。我們可以先放一個小影片，讓他們感覺一下影片時間有多長，然后用沙漏量一量，看看跟原先的感覺有多少差別。初時，學生對“一秒有多長”是不好感知的，但是通過這個活動，他就大概掌握一秒鐘時間的長短，而且誤差會比較小。

2. 關于“平均分”的教學。平均分物一課，教師要引導學生理解平均分的意義，懂得一粒一粒分物的方法，為日后學習通過乘法表計算除法提供經驗。教學時，教師講解了平均分物的要求后，可以進行這樣的活動，就是拿一個裝有很多“數?！钡拇?，讓學生將這些“數?！逼骄纸o4個同學。

學生有一粒一粒分的，也有先幾粒幾粒分，再將剩下的“數?！币涣Ｒ涣７帧＿@些做法都沒有錯，因為都做到了“平均分給4個同學”的要求。但是，如果將透明的袋子換成不透明的袋子給學生分物，那么更多的學生會進行“一次每人一?！钡姆址?，雖然速度慢些，但卻最能詮釋“平均分”的分物方式。

3. 關于分數應用題的教學。內地高年級的分數應用題教學，會講“標準量”“整體1”“單位1”，香港沒有。那是不是就不行呢，我看未必。“標準量”“整體1”“單位1”本身就非常的抽象。我的教材要求每個分數后面都帶上一個單位。如果沒有單位就要把它補出來。如“一個班的學生，戴眼鏡的占了2/3”。就是說“戴眼鏡的占了2/3班”“沒戴眼鏡的占了1/3班?！薄鞍唷本褪菃挝弧Ｈ绻麊枴耙粋€班里有多少人戴眼鏡”，當你告訴了一個班假定是36人時，可以求出戴眼鏡的是（36×2/3）=24人，“班”變成“人”，換了單位而已。又如“18枚郵票的1/3是多少枚？”我們就問，1/3的單位是什么？如果18枚是一堆，1/3的單位就是“堆”。1/3堆是多少枚？列式是：18×1/3。我們要讓學生知道分數是針對什么樣的量，他有這個意識后，解決問題就簡單了。

（作者單位：福建省福州教育研究院 香港福建中學 責任編輯：王振輝）