魏濤 沈文苗

（第七一五研究所，杭州，310023）

用聲基陣探測目標(biāo)時(shí)，傳統(tǒng)的方法采用常規(guī)波束形成（Conventional BeamForming，CBF），但是它的方位估計(jì)精度和分辨能力較差，特別是在低信噪比下，當(dāng)多個(gè)目標(biāo)方位互相靠近時(shí)，CBF 算法的分辨能力就顯得很有限。針對這一局限性，Capon于1969 年提出了具有良好的分辨能力的MVDR 波束形成器[1]，但是該算法對陣列失配敏感，在陣列校準(zhǔn)失配、快拍數(shù)少等情況下，性能嚴(yán)重下降。

現(xiàn)在已有許多方法來提高M(jìn)VDR 算法的穩(wěn)健性[2-7]，其中包括NCCB 和RCB[4]，它們都屬于對角加載法。NCCB 根據(jù)陣列失配程度利用加權(quán)范數(shù)約束來自適應(yīng)地求解加載量；RCB 利用陣列導(dǎo)向矢量的不確定集求解加載量。然而NCCB 和RCB 在運(yùn)算過程中計(jì)算量都較大，在實(shí)際工程中難以應(yīng)用。為了降低計(jì)算量，文獻(xiàn)[8]提出在RCB 框架下的Krylov子空間降維技術(shù)，以實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度且快速收斂的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器。文獻(xiàn)[9]提出通過劃分子陣的方式來進(jìn)行降維處理，以犧牲一定的分辨率來減小算法的復(fù)雜度，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

本文利用波束域降維方法，即將陣元域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成低維的波束域數(shù)據(jù)，再進(jìn)行后續(xù)處理；理論推導(dǎo)了BNCCB 和BRCB 算法，經(jīng)仿真分析結(jié)果驗(yàn)證了其運(yùn)算速度和算法穩(wěn)健性均得到提高。

1 算法描述

1.1 MVDR 算法

假設(shè)基陣是由M 個(gè)水聽器組成的均勻線列陣，陣元間距d 為半波長，且空間存在l 個(gè)遠(yuǎn)場無關(guān)的窄帶信號入射進(jìn)基陣，如圖1 所示。

假設(shè)信號入射的方位角為 θi（ i=1,2, … ,l），則相鄰陣元之間的時(shí)延表示為

式中，c 為水聲信號的傳播速度。

圖1 基陣結(jié)構(gòu)示意圖

對于陣元間距為半波長的均勻線陣，陣列的導(dǎo)向矢量為

則陣列流形矩陣表示為

窄帶遠(yuǎn)場信號的陣列接收數(shù)據(jù)模型為

式中， s （ t ）是信號向量， n （ t）是噪聲向量。

在實(shí)際中，陣列協(xié)方差矩陣?R 是未知的，可以由一段數(shù)據(jù)快拍樣本的空間相關(guān)矩陣來估計(jì)：

式中，L 是快拍數(shù)，（）H· 表示共軛轉(zhuǎn)置。

MVDR 波束形成器的設(shè)計(jì)原理是讓它對感興趣方位的信號無失真地輸出，而使波束輸出功率P =wHRw 最小。即

采用拉格朗日算子，可求得MVDR 波束形成器的權(quán)矢量為

則MVDR 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ ∈Θ）掃描的輸出功率為

1.2 BMVDR 算法

波束域方法將陣元空間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到波束空間，如圖2 所示，這一步是波束域方法的關(guān)鍵[10]。以半波長布陣方式，由M 個(gè)陣元組成的均勻線陣的離散空間傅里葉變換可表示為

式中，sinuθ=。

圖2 空間轉(zhuǎn)換示意圖

定義1M× 的離散空間傅里葉變換波束形成加權(quán)矢量為

并構(gòu)造M N× 的波束轉(zhuǎn)換矩陣T 為

為了保證波束轉(zhuǎn)換后不改變噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，使波束域輸出仍然滿足空間白噪聲背景，通常要求波束轉(zhuǎn)換矩陣滿足

不滿足上式時(shí)，可以通過To=T （THT）-1/2進(jìn)行正交化。此時(shí)波束域中輸入向量表示為

波束域中導(dǎo)向矢量表示為

而波束域輸入向量的協(xié)方差矩陣為

因此，BMVDR 的權(quán)矢量表示為

則BMVDR 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ∈Θ）掃描的輸出功率為

1.3 BNCCB 算法

對BMVDR 波束形成器增加加權(quán)向量范數(shù)，得到BNCCB。

式中，ξ 越小，波束形成器的穩(wěn)健性越高。但它不能無限小，還須滿足1/Mξ ≥ 。

因此，若范數(shù)約束是激活的，BNCCB 波束形成器為

利用上式約束條件，通過拉格朗日算子可以求得BNCCB 的權(quán)矢量為

可見，BNCCB 波束形成器屬于對角加載類方法。與常規(guī)對角加載法不同的是，BNCCB 波束形成器中的對角加載量是通過加權(quán)向量范數(shù)約束量確定的。

BNCCB 波束形成器對角加載量λ 可以通過求解如下方程得到

可以證明[11]，在激活條件約束下，上式存在唯一的正數(shù)解0λ ＞ 。而且式（21）左邊函數(shù)是單調(diào)降函數(shù)，因此可以用牛頓迭代法求解。接下來求λ的范圍。將BR 進(jìn)行特征值分解，得到

式中，BΓ 是由特征值組成的對角矩陣，且

令

且nz 表示z 的第n 個(gè)元素。式（21）可以寫成[6]

因此有

由此可以得到λ 的上界，考慮到0λ ≥ ，λ 的上下界范圍為

將求解出的λ 代入到式（20）中得到 wBNCCB。

BNCCB 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ∈Θ）掃描的輸出功率為

波束域數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

式中，BsR 、BiR 、BnR 分別是波束域信號、干擾與噪聲協(xié)方差矩陣。于是BNCCB 波束形成器的輸出SINR 表達(dá)式為

1.4 BRCB 算法

式中，ε 是用戶設(shè)定的導(dǎo)向矢量誤差范數(shù)上界。

對于任意給定的b，式（31）中的波束域穩(wěn)健波束形成問題可以轉(zhuǎn)化為

為了避免無用解0=b，假設(shè)

式（32）的解顯然發(fā)生在約束集的邊界，因此不等式約束可以寫成等式約束：

運(yùn)用Lagrange 乘子法，定義函數(shù)

式中，λ ≥ 0是實(shí)值Lagrange乘子。上式對 bH求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，得到

可得上式中b 的解為

由矩陣求逆理論，上式進(jìn)一步可寫成

通過特征分解，有

于是，式（38）可以表示為

代入下式中，得到估計(jì)的信號功率為

將式（40）代入下式中，得到RCB 波束形成器加權(quán)向量為

由上式可見，BRCB 方法是對角加載類算法，其對角加載量為1/λ。

將式（40）代入式（34）中的約束函數(shù)，可得

上式可以表示成

容易看出， g （ λ ）是關(guān)于λ 的單調(diào)遞減函數(shù)。由式（33）、（40）與（44）知 g（ 0）＞ ε。由式（44）知limλ→∞g（ λ）= 0＜ ε。因此，式（44）存在唯一解。分別用最大與最小特征值 γ1與 γN代替式中的γn，可以得到λ 的上下界范圍

將式（44）分母中的1 去掉，可以得到λ 的另一個(gè)上界

因此，λ 的上下界范圍為

將求解出的λ 代入到式（42）中得到wBRCB。則BRCB 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ ∈Θ）掃描的輸出功率為

同理，BRCB 波束形成器的輸出SINR 表達(dá)式與式（30）一致。

2 仿真分析

2.1 算例一

假設(shè)空間具有半波長布陣方式的標(biāo)準(zhǔn)線陣，陣元數(shù)為16，快拍數(shù)為500，兩個(gè)單頻信號分別從θ1=0°、θ2=8°入射進(jìn)來，SNR1=0 dB，SNR2=10 dB。仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 無誤差下的CBF 和MVDR 空間譜

結(jié)果分析：常規(guī)波束形成器的空間譜圖中，由于CBF 算法的空間分辨力有限，無法準(zhǔn)確分辨出兩個(gè)信號。而理想MVDR 空間譜中，MVDR 波束掃描得到的空間譜峰值更尖銳，正確顯示兩個(gè)信號。這說明MVDR 波束掃描具有比常規(guī)波束掃描更高的方位分辨能力。理想MVDR 空間譜效果很好，但在實(shí)際應(yīng)用中，由于陣列失配問題，MVDR 空間譜性能下降嚴(yán)重。

2.2 算例二

圖4 陣列流形誤差下的空間譜

結(jié)果分析：陣列流形向量誤差下，BMVDR 波束形成器空間掃描效果下降嚴(yán)重，已無法分辨出空間中的兩個(gè)信號。雖然BNCCB 算法能分辨出這兩個(gè)信號，但估計(jì)的信號功率比真實(shí)信號功率低。只有BRCB 算法的信號功率估計(jì)能力較好，幾乎能正確指示信號功率。這表明BRCB 在陣列流形向量誤差下具有比BMVDR 和BNCCB 更高的方位分辨力，對陣列流形誤差具有一定的穩(wěn)健性。

用MATLAB R2016b 中CPUTIME 函數(shù)分別計(jì)算了表1 中6 種算法的運(yùn)算時(shí)間。從表1 可以看出，在本例中，波束域算法計(jì)算量通常比陣元域算法小，證明了波束域方法能有效減小計(jì)算量。

表1 運(yùn)算時(shí)間比較

2.3 算例三

下面利用仿真分析具體比較BMVDR、BNCCB和BRCB三種算法在不同的陣列失配情況下的性能。

假設(shè)空間具有半波長布陣方式的標(biāo)準(zhǔn)線陣，陣元數(shù)為16，選擇9 個(gè)波束，波束扇覆蓋范圍為[-30°, 30°]。期望信號從θ0=0°處入射，SNR=0 dB，干擾信號從θ=-20°處入射且INR=20 dB。BNCCB 算法中Gwd=1 dB。BRCB 算法中2ε = 。各個(gè)仿真均采用蒙特卡洛仿真方法重復(fù)試驗(yàn)。圖5 為期望信號DOA 估計(jì)誤差而導(dǎo)致的陣列失配時(shí)輸出SINR 情況。圖中，橫坐標(biāo)表示期望信號DOA 估計(jì)值相對于主瓣寬度的誤差。

圖5 DOA 估計(jì)誤差下輸出SINR

從三個(gè)仿真結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

（1）BMVDR 在DOA 估計(jì)誤差下性能下降嚴(yán)重，BNCCB 和BRCB 在一定誤差范圍內(nèi)性能有所改善。當(dāng)DOA 估計(jì)誤差較小時(shí)，BRCB 對其的穩(wěn)健性較好；當(dāng)DOA 估計(jì)誤差較大時(shí)，BNCCB 的穩(wěn)健性更好。

（2）在陣元位置誤差逐漸增大的過程中，BRCB 的輸出SINR 比BNCCB、BMVDR 中下降得更緩慢。

（3）陣元域RCB 與MVDR 相比，只需要更少的快拍數(shù)就能得到較好的輸出SINR。通過波束域處理后，性能再次得到提升。且波束數(shù)為7 時(shí)的估計(jì)性能優(yōu)于波束數(shù)9。

圖6 陣元位置誤差下輸出SINR

圖7 有限快拍下輸出SINR

仿真結(jié)果表明在三種不同的陣列失配誤差情況下，BNCCB 在提高DOA 估計(jì)誤差穩(wěn)健性方面優(yōu)于BRCB 和BMVDR，而BRCB 在提高陣元位置誤差情況的穩(wěn)健性方面優(yōu)于另兩種算法，并以BRCB在小塊拍情況為例，說明此算法分別從波束域處理和穩(wěn)健處理兩個(gè)維度提升MVDR 算法性能。

3 結(jié)論

波束域預(yù)處理通過一組波束聚焦感興趣的區(qū)域，減小系統(tǒng)復(fù)雜度的同時(shí)提高其穩(wěn)健性。本文對BRCB 和BNCCB 算法進(jìn)行了理論分析及計(jì)算機(jī)仿真。仿真結(jié)果表明，在陣列失配誤差情況下，BRCB和BNCCB 較BMVDR 有更好的信號分辨力，且運(yùn)算量相較于未經(jīng)波束域處理前有所減小。最后利用仿真實(shí)驗(yàn)具體分析了三種算法在不同誤差情況下的穩(wěn)健性能。