孟碧霞 溫后珍 房 光 李西方

（1.東北石油大學(xué)a.機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院；b.環(huán)渤海能源研究院；2.大慶油田裝備制造集團(tuán)力神泵業(yè)公司；3.寶石電氣設(shè)備有限責(zé)任公司）

單螺桿泵在石油工業(yè)中被廣泛用于采油，最常見的是單頭單螺桿泵。 由于多頭單螺桿泵具有泵效高、 單級(jí)承壓高且輸出壓力更平穩(wěn)等特點(diǎn)，多頭單螺桿泵也逐漸在生產(chǎn)中得到應(yīng)用，其中轉(zhuǎn)子定子頭數(shù)比為2∶3的雙頭單螺桿泵占大多數(shù)。由于雙頭單螺桿泵截面型線易出現(xiàn)打扣、過流面積小等現(xiàn)象，如果型線設(shè)計(jì)不理想，可能會(huì)出現(xiàn)排量低、扭矩大、磨損嚴(yán)重、輸出壓力快速下降及使用壽命短等現(xiàn)象，因此有必要對(duì)采油用雙頭單螺桿泵轉(zhuǎn)子與定子的嚙合運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，對(duì)型線的設(shè)計(jì)理論進(jìn)行研究，給出優(yōu)化設(shè)計(jì)多頭單螺桿泵的方法。 祖海英等研究了定子橡膠的疲勞模擬試驗(yàn)問題，但沒有給出解決橡膠疲勞問題的辦法［1］。 韓國有等研究了橡膠泊松比對(duì)螺桿泵舉升性能的影響［2］。 賀日東和談金祝研究了橡膠配方對(duì)螺桿泵定子性能的影響，但沒有研究螺桿泵結(jié)構(gòu)對(duì)舉升性能的影響［3］。文獻(xiàn)［4，5］給出了基于通用橡膠的單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，但油田用單螺桿泵丁腈橡膠的摩擦磨損機(jī)理有別于通用橡膠［6］。 宋玉杰給出了短幅內(nèi)擺線型單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)的通用標(biāo)準(zhǔn)，但沒有專門針對(duì)雙頭單螺桿泵進(jìn)行研究［7］，因此有必要針對(duì)油田用雙頭單螺桿泵進(jìn)行研究，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，編制雙頭單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)分析軟件。

1 雙頭單螺桿泵運(yùn)動(dòng)分析

為了實(shí)現(xiàn)雙頭單螺桿泵截面型線的優(yōu)化設(shè)計(jì)， 首先應(yīng)當(dāng)對(duì)雙頭單螺桿泵進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，給出轉(zhuǎn)子、定子的骨線和等距線的方程。 雙頭單螺桿泵的軸向剖面圖如圖1所示， 由兩頭的轉(zhuǎn)子和三頭的定子組成， 轉(zhuǎn)子在定子內(nèi)腔做行星運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子一邊繞其自身軸線做自轉(zhuǎn)，一邊繞定子的軸線做公轉(zhuǎn)，其截面如圖2所示。

圖1 雙頭單螺桿泵軸向剖面圖

圖2 雙頭單螺桿泵截面

如圖3所示， 短幅內(nèi)擺線型單螺桿泵是以短幅內(nèi)擺線作定子骨線，以定子骨線做內(nèi)包絡(luò)運(yùn)動(dòng)獲得的共軛曲線為轉(zhuǎn)子骨線。 獲得骨線后向外做等距線，將等距線以各自的軸線和螺旋線作為掃掠線，獲得螺旋曲面。

圖3 雙頭單螺桿泵設(shè)計(jì)關(guān)鍵要素

在復(fù)平面柱坐標(biāo)系中描述定子骨線，雙頭單螺桿泵定子骨線的方程為：

其中，R2為定子滾圓半徑，0≤θ≤2π；K為變幅系數(shù)。 當(dāng)R2=6.627875、K=0.8時(shí)定子骨線如圖4所示。

轉(zhuǎn)子骨線的方程為：

圖4 定子骨線及其等距線

轉(zhuǎn)子上的固定接觸點(diǎn)方程為：

其中：

當(dāng)R2=6.627875、K=0.8時(shí)轉(zhuǎn)子骨線如圖5所示。

圖5 轉(zhuǎn)子骨線及其等距線

雙頭單螺桿泵是以骨線向外做等距線作為轉(zhuǎn)子和定子的截面曲線。 定子的等距曲線包括兩部分，方程為：

其中，r0是等距半徑系數(shù)，為等距半徑與R2的比；R0（θ）為定子骨線，s=0，1；α為定子骨線上點(diǎn)的外向法線的幅角：

φτ的值根據(jù)計(jì)算結(jié)果在0～2π之間確定。

由于轉(zhuǎn)子骨線在固定接觸點(diǎn)位置不連續(xù)，轉(zhuǎn)子的等距曲線包括Ⅰ、Ⅱ兩部分，其方程為：

其中：

φ′τ的值根據(jù)計(jì)算結(jié)果在0～2π之間確定。Ⅰ部分為轉(zhuǎn)子骨線向外的等距線，由于轉(zhuǎn)子在尖點(diǎn)處對(duì)θ不連續(xù)，等距線會(huì)出現(xiàn)缺口，Ⅱ部分為以固定接觸點(diǎn)為圓心，以等距半徑為半徑做圓弧，將Ⅰ部分出現(xiàn)的缺口補(bǔ)齊。 因此α2的取值取決于Ⅰ部分出現(xiàn)的缺口。

轉(zhuǎn)子裝配到定子以后，以定子的中心點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖6所示，在新的坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)子骨線的方程、轉(zhuǎn)子等距線的方程分別變?yōu)椋?/p>

式中 E——轉(zhuǎn)子在定子中的偏心距，E=R2K；

φ——轉(zhuǎn)子在定子中做行星運(yùn)動(dòng)時(shí)的公轉(zhuǎn)角；

0.5φ——轉(zhuǎn)子在定子中做行星運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于定子坐標(biāo)系的自轉(zhuǎn)角。

圖6 轉(zhuǎn)子裝配到定子中的截面

基于方程（13），可以推導(dǎo)轉(zhuǎn)子固定接觸點(diǎn)、流動(dòng)接觸點(diǎn)在定子中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)滑動(dòng)速度，據(jù)此建立雙頭單螺桿泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。

2 雙頭單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

考慮到采油用單螺桿泵主要以丁腈橡膠作為定子材料， 其摩擦磨損特性不同于其他橡膠，丁腈橡膠的磨損有以下兩個(gè)規(guī)律［6］：

a. 隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大，丁腈橡膠的磨損率和摩擦系數(shù)會(huì)減小。

b. 接觸角越小，丁腈橡膠的磨損率越小。 單螺桿泵轉(zhuǎn)子與定子固定接觸點(diǎn)綜合曲率越大，定子磨損越快。

雙頭單螺桿泵的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮3個(gè)方面：排量、使用壽命和單級(jí)承壓。 結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際情況，選定過流面積AG、流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度Vmin、變幅系數(shù)K和固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率Ka，max為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。 優(yōu)化的效果是在保證等距曲線不打扣的前提下，過流面積AG大、流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度Vmin大、變幅系數(shù)K接近于1、固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率Ka，max小。 過流面積大則排量大，流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度Vmin大、變幅系數(shù)K 接近于1 和固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率Ka，max小則使用壽命長(zhǎng)、單級(jí)承壓大。

第1個(gè)優(yōu)化目標(biāo)過流面積的方程是：

第2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)為變幅系數(shù)K， 要求K盡量接近1。

第3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)為固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率，要求固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率盡量小，其方程為：

第4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)為流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度Vmin。 基于方程（13）推導(dǎo)結(jié)果如下：

其中，ω為轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度，且要滿足約束條件r0＞4K-2。

在雙頭單螺桿泵設(shè)計(jì)時(shí)， 通常轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω和定子外廓直徑Dk預(yù)先給定，變幅系數(shù)K、等距半徑系數(shù)r0作為自由變量。

雙頭單螺桿泵的優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題， 用加權(quán)線性組合法把4個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為總的目標(biāo)函數(shù)。 考慮到固定接觸點(diǎn)最大綜合曲率要盡量小，而過流面積、變幅系數(shù)、流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度都要求盡量大，所以總的目標(biāo)函數(shù)f為：

w1～w4分別是最大綜合曲率、變幅系數(shù)、流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度、過流面積的權(quán)。 可以根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)調(diào)節(jié)權(quán)的大小， 優(yōu)化目標(biāo)是求式（17）的最小值。 優(yōu)化變量為K、r0，約束條件為：

這是流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度大于0的條件。 此外還需滿足等距線不打扣的條件：

3 軟件開發(fā)

基于前文所述數(shù)學(xué)模型，采用Matlab gui編制了雙頭單螺桿泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，程序界面如圖7所示。 該軟件可以給定參數(shù)后直接計(jì)算得到設(shè)計(jì)結(jié)果，也可以進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖7 雙頭單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件界面

該軟件最大的特點(diǎn)是可以根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)的不同，調(diào)整最大綜合曲率、變幅系數(shù)、流動(dòng)接觸點(diǎn)最小相對(duì)滑動(dòng)速度、 過流面積的權(quán)這4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重，獲得最優(yōu)的螺桿泵結(jié)構(gòu)。 設(shè)計(jì)完成后可以進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，觀察轉(zhuǎn)子在定子中的運(yùn)動(dòng)情況，檢查定子等距線有無打扣的現(xiàn)象，在給定過盈量的條件下還可以觀察轉(zhuǎn)子在各角度與定子的接觸情況。 設(shè)計(jì)完成后可以輸出設(shè)計(jì)結(jié)果，包括設(shè)計(jì)概述、轉(zhuǎn)子及定子模芯在數(shù)控機(jī)床上加工所需的坐標(biāo)點(diǎn)等。

雙頭單螺桿泵優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件在大慶油田力神泵業(yè)有限公司獲得了應(yīng)用。 由于建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型時(shí)考慮了生產(chǎn)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，因此軟件優(yōu)化結(jié)果用于生產(chǎn)獲得了很好的效果，如對(duì)單級(jí)承壓要求高的某型產(chǎn)品， 經(jīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)后單級(jí)承壓提高了13%。

4 結(jié)論

4.1 給出了雙頭單螺桿泵截面型線的方程，據(jù)此可以計(jì)算出雙頭單螺桿泵的截面型線和計(jì)算轉(zhuǎn)子接觸點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度。

4.2 建立了雙頭單螺桿泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，考慮了丁腈橡膠的摩擦磨損特性，優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果更加符合油田用單螺桿泵的生產(chǎn)實(shí)際。

4.3 基于文中的數(shù)學(xué)模型編制了雙頭單螺桿泵型線的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)得到實(shí)際推廣應(yīng)用。 該軟件可依據(jù)實(shí)際需求調(diào)整4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重，獲得最優(yōu)的螺桿泵結(jié)構(gòu)。