梁春葉 王橋明 孫遠(yuǎn)通 葉曉艷 曾寶瑩

摘 要：微分方程在實際應(yīng)用中十分廣泛，涉及領(lǐng)域眾多，但對于微分方程的數(shù)值解的計算仍然有很大挑戰(zhàn)。本文著重對微分方程數(shù)值解求解的常用的一類基礎(chǔ)方法——歐拉法進行在MAILAB的應(yīng)用下的一個簡單介紹。

關(guān)鍵詞：數(shù)值解;歐拉法;MATLAB

1 概述

微分方程在實際的應(yīng)用中非常廣泛，目前存在很多微分方程滿足解的存在定理的條件[1]，但方程的解不能表達(dá)成為初等函數(shù)的形式，對于這類微分方程的解的討論除了穩(wěn)定性、定性方法之外，最常用是對其進行數(shù)值求解，利用數(shù)值解來研究微分方程的意義與用途。通過數(shù)值解的圖形軌跡曲線的探究對微分方程具有重大意義。本文著重簡單介紹微分方程數(shù)值解在MAILAB的基本應(yīng)用。

2 數(shù)值解相關(guān)理論

2.1 數(shù)值解的定義

微分方程數(shù)值解是求初值解的問題

2.3 改進的歐拉方法

若微分方程的解取積分形式：

通過觀察運行結(jié)果可知，在0，6區(qū)間內(nèi)，當(dāng)h=0.1時，歐拉算法所得數(shù)值解與精確解所相差的平均值為13.4206;在6，10區(qū)間內(nèi)，相同步長時，相差的平均值為851.22603。因此歐拉算法在部分區(qū)間可以近似的達(dá)到精確解，但在部分區(qū)間的求解與實解相差過大。

3 總結(jié)

通過以上兩個例子可以直觀歐拉算法的便捷，該算法能在有限的條件之下算出微分方程的數(shù)值解并且使其與精確解相差無幾。但歐拉算法的精確程度很大一部分取決于區(qū)間的大小和計算步長的長短，當(dāng)區(qū)間長度過大時，前部分區(qū)間的近似效果較好，后部分的區(qū)間計算結(jié)果偏差較大，因此選擇計算區(qū)間需要進行一定的取舍。

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[4]謝舒，陳俊吉，陸海華.常微分方程初值問題的數(shù)值解法中三種算法的比較[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2019（10）：6-8.