朱 慶

(江蘇省黃埭中學 215143)

教學的效益與問題設計的質(zhì)量有很大的關(guān)系，教師應精選例題，充分挖掘例題的價值，教師應教會學生怎樣審題，怎樣對問題信息進行解構(gòu)、重組、轉(zhuǎn)化，進而尋找問題解決的突破口.同題異構(gòu)是筆者在平時的教學活動中經(jīng)常注意使用的方法，這樣的教學可以從多角度、多層次啟發(fā)學生的思維，促進知識的融會貫通，取得良好的教學效果.

數(shù)學中的問題主要分為三類：(1)“證明型”問題，這類問題要求證明某個問題成立；(2)“求值型”問題，這類問題要求找出滿足某些條件的一個或所有的值；(3)“探究型”問題，這類問題要求證明一個命題或給出一個反例.

對于不同類型的數(shù)學問題，其解題策略不盡相同.下面筆者以一道解析幾何題的不同設問為例，來談談如何選擇較為合適的解題策略.

(1)求此橢圓的方程

(2)求證：對于所有滿足條件的P、Q，線段PQ的垂直平分線過定點.

(2)分析這是一個“證明型”問題.此類問題中，從給定的信息入手，其目的是根據(jù)事先給出的信息推導出某個命題或計算出某個表達式的值.由于這類問題有清晰的目標，難度一般不大.

本例中，已知信息包括一個已知橢圓，一條已知直線，及橢圓上兩個相關(guān)的未知點P、Q，這兩個點的相關(guān)關(guān)系是它們的中點在已知直線上.目標是證明線段PQ的垂直平分線過一個定點.基本想法是選擇恰當?shù)膮?shù)把上述要點有效地表達出來，再進行整理運算.本題涉及兩個不定點P、Q，及線段PQ的垂直平分線，除了設P、Q兩點坐標外，不妨再增設中點T，結(jié)合點差法進而寫出含參的線段PQ的垂直平分線的直線方程求解.

解設P(x1,y1),Q(x2,y2)，T(1,t).

反思1 此題的問法更傾向于幾何特征.幾何問題代數(shù)化是解析幾何的核心，運用代數(shù)方程的方法解決幾何問題，在分析問題、解決問題的過程中要突出幾何要素，注重幾何要素的代數(shù)化，要在幾何要素的引導下進行代數(shù)的恒等變形，要讓幾何圖形幫助我們思考問題，確定恒等變形的方向.

反思2 線段的垂直平分線問題往往和線段中點及直線斜率有關(guān)，故用點差法將方程組變形，轉(zhuǎn)化成共點的直線系方程問題，從而找出該定點.

如果教師對本題(2)的結(jié)論嘗試以其他形式給出，問題又會怎樣？

分析這是一個“求值型”問題.此類問題中，從已知條件出發(fā)，列出方程或方程組，利用消元法(單個元素或整體消元)，從而求出目標值.而本題中的P、Q兩點都是不定點，導致RP、RQ的值也不是定值，給學生運算帶來困惑，在運算的技巧上增加了難度.不過本題的解題策略還是清晰的，可設點P、Q坐標，從而列方程(組)，結(jié)合兩點間距離公式，消元、化簡、計算即可.

解設P(x1,y1),Q(x2,y2)

因為線段PQ的中點T在直線l：x=1上，

其變式RP=RQ，即R為線段PQ的垂直平分線上的一點，則R點的幾何特征更為明顯.

反思4 如果將滿足條件的P、Q的某個位置記為一對，這樣的點對有多少對？是有限對還是無窮多對？

像這樣的多次追問，會使學生更積極地思考，參與討論，進而對本題的幾何特征有更深，更全面的了解，培養(yǎng)學生幾何與代數(shù)互化的能力.

分析這是一個“探究型”問題.此類問題通常較難，因為我們必須先判斷討論的對象是否存在，再提供證明或舉出反例.如果直接設M點坐標，用兩點間距離公式表示去求解，所列式子較繁，運算量大，不一定能找到答案，基本上是半途而廢.

解法1 將原式轉(zhuǎn)化為MP=MQ，考察幾何意義，發(fā)現(xiàn)M即為線段PQ的垂直平分線上的點，問題轉(zhuǎn)化為原題(2).此題本質(zhì)上是原命題的逆命題.

解法2 設M(m,n),P(x1,y1),Q(x2,y2),T(1,t).

由MP2=MQ2,得(x1-m)2+(y1-m)2=(x2-m)2+(y2-n)2,

即[(x1-m)2-(x2-m)2]+[(y2-n)2-(y1-n)2]=0.

解法2是整理出m,n,t的關(guān)系式，利用關(guān)于t的恒成立問題得到解答.

反思6 由圖形的對稱性(PQ在第一象限和第四象限的圖象關(guān)于x軸對稱)可知，若存在定點M，則點M必在x軸上.故可設M(m,0),從而簡化運算求解過程.

分析這類“探究型”問題增加了一個參數(shù)λ，而λ的值代表了線段NP、NQ的長度的比值.顯然λ的值與N點的位置有關(guān)，如果順著題意通過設點，列方程組求解的話，式子相當繁，含太多字母運算，找不到整理的頭緒，屬于難題.

②當λ>0,λ≠1時，不存在定點N.

下面對情況②用反證法加以證明：

假設存在N，設N(m,n),

得(2-m)2=λ2(m2+3).

所以λ2=1，即λ=1(λ>0)，與λ>0,λ≠1矛盾.

所以當λ>0,λ≠1時，不存在定點N.

反思7 在解析幾何問題中，由于點、直線等幾何量的運動引起與之相應的某個(些)量的變化，然后探究這個(些)相關(guān)量的有關(guān)定點、定值問題，我們應教會學生運動變化的觀點，并用這種運動變化的方法去探究幾何性質(zhì)，在“形”上有一個大概的體會，從而在解題過程中給我們以啟發(fā)，最后再利用代數(shù)關(guān)系式定量計算，嚴密推導，得到解答.

反思8：對于不成立或不存在問題，通?？梢耘e反例或用反證法加以證明.

參考文獻：

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