李建軍,呂雅婷

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 阜新123000)

1.緒論及主要結(jié)論

本文研究了以下帶非局部源項(xiàng)的p-Laplace方程解的整體存在與爆破

其中?是RN中具有光滑邊界??的有界區(qū)域,n是邊界??上的外法向量,u0(x)是非負(fù)函數(shù),,當(dāng)s >0 時(shí),h′(s)>0,f,g ∈C1(R+),且f,g >0.t?為(1.1)的解的爆破時(shí)間,即解存在的最大時(shí)間.

非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的研究涉及化學(xué)反應(yīng)、傳熱、爆破動力學(xué)、電流變液等多個(gè)領(lǐng)域.在過去的幾十年里,許多學(xué)者對非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程(組)解的整體存在和爆破問題做了大量的研究[1–3],其中有很多作者對函數(shù)h(u)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)的問題進(jìn)行了研究.早在1991年,Imai和Kiyoshi[4]研究了以下擬線性退化方程

的初邊值問題的爆破問題以及接近爆破時(shí)間方程解的漸近行為,其中邊值條件Bu(x,t)包含Dirichlet、Neumann、Robin三種邊值條件.作者對輔助函數(shù)進(jìn)行假設(shè)使其滿足相關(guān)條件,利用Friedman-McLeod方法來證明方程的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

在文[5]中,作者借用輔助函數(shù)的方法,研究了在Robin邊界條件下帶梯度項(xiàng)的非線性拋物方程解的整體存在和爆破問題,最終得到了整體解存在的充分條件和上界估計(jì),爆破時(shí)間的上界估計(jì)和爆破速率的上界估計(jì).文[6]的作者研究了以下帶有p-Laplace方程解的整體存在和爆破問題,通過構(gòu)造一些輔助函數(shù),并且利用極值原理和微分不等式技術(shù),證出了方程在有限時(shí)間內(nèi)爆破的條件和解整體存在的條件,同時(shí)還給出爆破的上界估計(jì).

在此基礎(chǔ)上,文[7]研究了以下帶有Dirichlet邊界條件的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程,通過構(gòu)造輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)中的相關(guān)參數(shù)假設(shè),利用微分不等式技巧不僅給出了方程解整體存在的條件和解在有限時(shí)間內(nèi)爆炸的結(jié)論,而且還計(jì)算了爆破時(shí)間的上下界估計(jì).

文[8] 研究了在非局部邊界條件下的p-Laplace方程的爆破問題,在微分不等式技術(shù)的幫助下,利用Soblev不等式,證明了在一定的條件下爆破解的存在.并且還得到了爆破時(shí)間的上界和下界估計(jì).趙陽洋和崔澤建[9]研究了當(dāng)問題(1.1)中的參數(shù)p=2時(shí),方程解的整體存在性和爆破性,并給出了爆破時(shí)間的上下界估計(jì).

受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文對問題(1.1)解的整體存在性和爆破性進(jìn)行研究.通過構(gòu)造不同的輔助函數(shù),利用Young不等式、Sobolev不等式等微分不等式來證明解整體存在和爆破.

2.解的整體存在性

在本節(jié)中主要的研究內(nèi)容為問題(1.1)解的整體存在性.為了證明方程解的整體存在性,需要建立如下輔助函數(shù)：

先給出本節(jié)的主要結(jié)論:

定理2.1設(shè)u是方程(1.1)的非負(fù)古典解,并且滿足

證將函數(shù)Φ(t)對時(shí)間t求導(dǎo),得到

由定理2.1中的相關(guān)條件,將問題(1.1)的第一個(gè)式子代入(2.1)中,則有

由散度定理[10],可知式(2.2)的右端第一項(xiàng)有：

接下來利用微分不等式技巧對式(2.3)右端的兩項(xiàng)進(jìn)行分析.將(2.3)右邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)利用Young不等式

其中

且M1>0,取

使得M2>0.

由H?lder不等式,有

對上式進(jìn)行變換,可得

將式(2.9)帶入式(2.8),可得

由定理2.1中的假設(shè)條件對輔助函數(shù)進(jìn)行估計(jì)

對式(2.12)兩端求積分,可得

即

結(jié)合式(2.10)、(2.11)、(2.13),計(jì)算可得

接下來,我們利用反證法來證明定理2.1的成立.假設(shè)以上的結(jié)論是錯(cuò)的,即一定存在時(shí)間t?使得函數(shù)在函數(shù)Φ(t)的意義下爆破,即

令t →t??,可以得到所以,一定存在一個(gè)時(shí)間t1

對上式兩邊取極限,即令時(shí)間t →t??,我們可以得到以下不等式

這與結(jié)論產(chǎn)生矛盾,所以定理2.1成立.

3.解爆破時(shí)間的上界估計(jì)

本節(jié)的主要內(nèi)容是方程(1.1)的解在有限時(shí)刻爆破的充分條件以及解爆破時(shí)間的上界估計(jì).為了得到結(jié)果,第2節(jié)給出的輔助函數(shù)已經(jīng)不能繼續(xù)使用,需要重新構(gòu)造如下的輔助函數(shù)：

先給出本節(jié)的主要結(jié)論:

定理3.1設(shè)u是方程(1.1)的非負(fù)古典解,并且滿足

且初始值Ψ(0),Φ1(0)>0,則方程(1.1)的解u在函數(shù)Φ1(t)的意義下在有限時(shí)間爆破,當(dāng)p >2,時(shí),Φ1(t)→∞;當(dāng)0

接下來證明方程(1.1)的解u在函數(shù)Φ1(t)的意義下爆破.

證對輔助函數(shù)Φ1(t)關(guān)于時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo),則可以得到下式

根據(jù)定理3.1中的相關(guān)條件,將式(1.1)的第一個(gè)式子帶入式(3.1)中,則上式為

再對輔助函數(shù)Ψ(t)關(guān)于時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo),則有

利用分部積分對輔助函數(shù)H(u)進(jìn)行分析,可得

結(jié)合式(3.3)和式(3.4)以及H?lder不等式可得不等式

也就是說

將不等式(3.6),從0到t進(jìn)行積分,有

將式(3.2)帶入上式,可得

1)當(dāng)p>2時(shí),將(3.7),從0到t進(jìn)行積分,得到

2)當(dāng)0

4.解爆破時(shí)間的下界估計(jì)

本節(jié)的主要內(nèi)容為問題(1.1)的解爆破時(shí)間的下界估計(jì).為了得到本節(jié)的研究內(nèi)容建立如下的輔助函數(shù)：

在證明結(jié)論之前,先給出本節(jié)的主要結(jié)論:

定理4.1假設(shè)u是方程(1.1)的非負(fù)古典解,且在t?處爆破,函數(shù)滿足

其中,r1,r2,r3,r4由(4.17)-(4.20)給出.

為了得到方程(1.1)的解爆破時(shí)間的下界估計(jì),我們利用下面兩個(gè)不等式：

由文[11]中推論9.14,可以得到當(dāng)N >2時(shí),則有下列Sobolev不等式

證將函數(shù)Φ2(t)對時(shí)間t求導(dǎo),得到

根據(jù)定理4.1中給出的假設(shè)條件,上式為

將式(4.6)帶入式(4.4)中,則有

下面重復(fù)過程(2.3)、(2.5)、(2.6),可得如下不等式

其中C是Sobolev指數(shù),且依賴于N和?的值.由Young不等式計(jì)算(4.10)等式右邊第二項(xiàng)可得

其中ε3待定.利用Young不等式對(4.10)右端第一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)

其中ε4待定,在后面會給出具體的數(shù)值.結(jié)合式(4.7)-(4.13),得到

接下來將函數(shù)積分項(xiàng)轉(zhuǎn)化成輔助函數(shù)Φ2(t)的指數(shù)形式.由定理4.1中的條件計(jì)算可得

即

將ε1,ε2,ε3,以及式(4.15)代入(4.14)中,可得

其中

如果方程(1.1)的解在函數(shù)Φ2(t)意義下有限時(shí)間爆破,即,對式(3.37)關(guān)于時(shí)間t在[0,t?]上進(jìn)行積分,整理后可得

5.應(yīng)用

本節(jié)通過幾個(gè)例子來說明定理2.1-4.1的結(jié)果.

例5.1設(shè)u(x,t)是下列方程的非負(fù)古典解：

其中? ?R3,且?是一個(gè)單位球,h(u)=,f(u)=u3,p=4.通過對例5.1的分析,可知定理2.1中的假設(shè)條件方程(5.1)滿足,取β=3,則函數(shù)Φ(t)為

由定理2.1可知,例5.1中方程的解在函數(shù)Φ(t)的意義下整體存在.

例5.2設(shè)u(x,t)是下列方程的非負(fù)古典解：

其中? ?R3,?是一個(gè)半徑為0.5的球.

分析式(5.2),有

下面計(jì)算各個(gè)輔助函數(shù)：

通過以上的計(jì)算,很顯然,定理3.1中的假設(shè)條件滿足,所以

所以,由定理3.1可知方程(5.2)的解的爆破時(shí)間上界為:

例5.3設(shè)u(x,t)是下列方程的非負(fù)古典解：

其中? ?R3,且?是一個(gè)單位球,|??|= 4π,h(u)=u+ln(u+1),ρ(?u|4)= e|?u|4,g(u)= eu2,b(x)f(u)=

由定理4.1,可知a2= e,b2= 0.5,p2= 3,q2= 2,c2= 1,m= 1,h2= 1,β1= 4,d0= 1,ρ0= 1通過查詢文[12],可以得到Sobolev指數(shù)C= 7.5931.很容易可以計(jì)算得到上述參數(shù)滿足定理4.2的條件,則

由定理4.1,可以得到若解發(fā)生爆破時(shí)方程的解爆破時(shí)間的下界為

6.總結(jié)

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù),以及微分不等式得出問題(1.1)解整體存在和爆破解的充分條件,以及方程解的爆破時(shí)間上界和下界的估計(jì),并通過三個(gè)具體的例子進(jìn)行說明.