譚琳琳,郭真華

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安710127;2.西北大學(xué)非線性研究中心,陜西 西安710069)

1.引言

本文主要研究一類含有多剛體的粘性系數(shù)依賴于密度的流固耦合系統(tǒng)強(qiáng)解的存在性問題.剛體在運(yùn)動(dòng)中或者受力作用后,形狀大小以及內(nèi)部各點(diǎn)相對(duì)位置不變.關(guān)于單個(gè)剛體――流體耦合系統(tǒng)的研究已經(jīng)有許多豐富的結(jié)果.當(dāng)粘性不可壓縮流體內(nèi)僅含有單個(gè)剛體時(shí),早在上個(gè)世紀(jì)七八十年代,Judakov[1]便證明了該流固耦合系統(tǒng)全局弱解的存在性.此外,WANG和XIN[2]還對(duì)R2上的不可壓縮流體與單個(gè)不規(guī)則剛體的耦合系統(tǒng)進(jìn)行了研究,得到了二維條件下的W1,p強(qiáng)解的局部存在性.當(dāng)理想流體與剛體耦合時(shí),似乎獲得的結(jié)果要少得多.

由于流體和剛體所使用的數(shù)學(xué)描述框架不同,人們一般使用歐拉坐標(biāo)描述流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),用拉格朗日坐標(biāo)來描述剛體運(yùn)動(dòng),因此在單剛體――流體耦合系統(tǒng)研究中,研究者常運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法來克服這一難點(diǎn),但這一方法在面對(duì)多剛體――流體耦合時(shí),失去了其有效作用,因此需要尋找其他的解決問題的方法,但本質(zhì)上解決此類問題的關(guān)鍵步驟是固定流體所占據(jù)的區(qū)域.

關(guān)于多個(gè)剛體與流體耦合系統(tǒng)的問題的研究還很少,這是由于剛體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間而變化的,使得剛體與流體區(qū)域的復(fù)雜邊界難以處理.當(dāng)流體含有粘性時(shí),Desjardins[3]建立了對(duì)于此類多剛體――流體耦合系統(tǒng)的經(jīng)典模型.其思想是把剛體近似為粘性足夠大的流體,假設(shè)流體與剛體接觸界面摩擦足夠大,即接觸界面任意一點(diǎn)的剛體速度與流體速度是一致的,獲得了粘性系數(shù)為常數(shù),初始密度不包含真空時(shí)三維情形下不可壓縮流體與多個(gè)剛體耦合系統(tǒng)的局部強(qiáng)解的存在唯一性,這種處理多剛體流體耦合系統(tǒng)內(nèi)的流固邊界的方法,為后來研究流固耦合問題所廣泛使用.

對(duì)于系統(tǒng)初始密度包含真空的情形,由于退化和強(qiáng)非線性,要提高解的正則性就遇到了一系列的挑戰(zhàn).GUO,YANG和YAO[4]在研究氣――液兩相流模型的柯西問題時(shí),得到了當(dāng)初始數(shù)據(jù)的能量足夠小時(shí),全局強(qiáng)解的存在性,且結(jié)果是允許初始真空的.這給予本文研究工作的一個(gè)重要啟示,即可以參考非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程的有關(guān)研究.

關(guān)于非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程相關(guān)進(jìn)展,初始密度包含真空的情形已經(jīng)有大量的研究成果[5?9].特別地,韓國(guó)數(shù)學(xué)家Choe和Kim引進(jìn)了相容性條件[10?11],來證明非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程經(jīng)典解或強(qiáng)解的局部適定性.而后Craig,HUANG和WANG等學(xué)者在不同的相容性條件下將結(jié)果推廣到全局范圍.[12?13]另一方面,由于尚未查找到有關(guān)粘性系數(shù)依賴于密度的該系統(tǒng)的相關(guān)研究結(jié)果.研究者考慮是否可以在流固耦合問題中討論粘性系數(shù)依賴于密度的情形.而有關(guān)粘性系數(shù)依賴于密度的明確提法始于文[14].當(dāng)從Boltzmann方程組通過Chapman-Enskog二階展開導(dǎo)出Navier-Stokes方程組時(shí)[15?16],可以發(fā)現(xiàn)其粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)都依賴于溫度,在等熵的情況下,由Boyle和Gay-Lussac定律可知溫度依賴于密度,于是粘性系數(shù)依賴于溫度轉(zhuǎn)化為粘性系數(shù)依賴于密度.[17]

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),研究者將針對(duì)粘性系數(shù)依賴于密度的不可壓縮流體與多個(gè)剛體耦合系統(tǒng)方程的初始密度包含真空情形下局部強(qiáng)解的適定性問題進(jìn)行探索.該問題的具體數(shù)學(xué)模型解釋如下：

在耦合系統(tǒng)內(nèi),流體的運(yùn)動(dòng)可以由下列帶外力項(xiàng)的粘性依賴于密度的不可壓縮Navier-Stokes方程組描述,

這里(ρα,v,p)分別代表流體密度,速度和壓力,μ(ρα)表示依賴于密度的流體粘性系數(shù),流體區(qū)域是?的一個(gè)開子域,即?F(t)??,QT={(t,x)/t ∈(0,T),x ∈?F(t)}為本文所討論問題的時(shí)空空間,其中應(yīng)變張量Dv=12(?v+?Tv),f ∈L2((0,T)×?)表示一個(gè)固定外力（比如重力）,?i(t)為t時(shí)刻第i個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)的區(qū)域(如下圖所示).

圖1 流固耦合系統(tǒng)示意圖

其次,流固耦合系統(tǒng)內(nèi)的剛體運(yùn)動(dòng)遵循牛頓第二定律

以及轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji遵循

剛體滿足初值條件

及Dirichlet邊界條件

在流體固體交界處假設(shè)無滑動(dòng),即有

這里?Ti表示第i個(gè)剛體對(duì)流體的反作用力,用Cauchy應(yīng)力張量Σi可表示為Ti=Σi·ni.

首先,可通過虛擬區(qū)域法將剛體考慮為粘性足夠大的流體來進(jìn)行變量替換

事實(shí)上由質(zhì)量守恒知ρ滿足下列線性輸運(yùn)方程[18]

綜上,可得整個(gè)流固耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,即本文主要研究對(duì)象

及初邊值條件

這里(?F(0),?1(0),...,?s(0))是?的開子域.

下面假設(shè)

2.主要結(jié)果

對(duì)于μ為常數(shù)的情形,Desjardins[3]得到了二,三維情形下弱解的存在性.本文主要研究的是粘性系數(shù)依賴于密度時(shí)的系統(tǒng)解的存在性問題,結(jié)果如下

定理2.1假設(shè)初值(ρ0,u0,f)滿足divu0=0,ρi,0D(u0)=0,1is.若滿足

1)對(duì)某個(gè)q ∈(n,+∞)有

2)存在(ρ0,g)∈H1(?)×L2(?)使得

則存在一個(gè)小時(shí)刻T?∈(0,T)及(1.14)-(1.19)的唯一一個(gè)強(qiáng)解(ρ,u,p),使得

3.定理的證明

本節(jié)假設(shè)μ∈C2[0,∞),根據(jù)文[10]有下列Stokes方程的經(jīng)典結(jié)果.

引理3.1[10]假設(shè)ρ ∈W2,q(?),0ρ ≤C,令(u,p)∈H10(?)×L2(?)是下面邊值問題的唯一弱解

則對(duì)N=N(n,q)>0,有

1)若F ∈L2(?),則(u,p)∈H2(?)×H1(?),且

2)若F ∈Lr(?),r ∈(n,q),則(u,p)∈W2,r(?)×W1,r(?)且

3)若F ∈H1(?),則(u,p)∈H3(?)×H2(?),且

下面處理線性化系統(tǒng)

這里divv=0.

這是一個(gè)線性輸運(yùn)方程和非穩(wěn)態(tài)Stokes方程的非強(qiáng)耦合而成的方程組,其存在性和正則性容易得到,下面來證明非負(fù)情況下強(qiáng)解的存在性和正則性結(jié)果.

引理3.2假設(shè)(ρ0,u0,f)滿足定理2.1的假設(shè)條件,且有ρ0∈W2,q(?),vt ∈L2(0,T;H10(?)),divv=0于?,v ∈L∞(0,T;H10(?)∩H2(?))∩L2(0,T;W2,r(?))(n

證步1 解空間的構(gòu)造.

給(3.3)左右兩端同時(shí)乘以rρr?1可以得到

在(0,t)×?上分部積分

化簡(jiǎn)

即

繼續(xù)在?上分部積分

由于v ∈L∞(0,T;H10(?)∩H2(?)),可得

借助Gronwall不等式

及Sobolev不等式

可估計(jì)不等式右端項(xiàng)得到

正如文[11-19]所證明的,ρ遵循如下正則性估計(jì)

接下來使用Garlerkin方法證明強(qiáng)解的存在性.

步2 解的存在性.

首先介紹下列函數(shù)空間

這里?m為X內(nèi)Stokes算子A=?P?的第m個(gè)特征函數(shù),P是一個(gè)散度為零的投影算子.且∑∞1(?,?m)L2?m=?于H2(?),記(?,?m)L2=∫??mdx.

首先假設(shè)ρδ=ρ+δ,0<δ <1,令(uδ0,pδ0)∈H10(?)×L2(?)解下列邊值問題

構(gòu)造逼近解um ∈C1([0,T];Xm)滿足：?ω ∈Xm有下列方程成立,

這里μδ=μ(ρδ),可以將ω=?k(k=1,...,m)代入(3.8)得到具有正則系數(shù)的線性常微分方程組.因此,依照線性常微分方程理論[18]容易得到唯一Garlerkin解um的存在性.

步3 一致估計(jì).

由(1.1)及∥ρ(t)∥Lr=∥ρ0∥Lr,(1≤r ≤∞),可知

則易知

即

給(3.3)左右兩端同時(shí)乘以μ′(ρδ)可得代入上式可得

對(duì)(3.12)式在(0,t)積分,而∥μδ∥L∞C,∥ρδ∥L∞C,于是

借助Cauchy不等式可推出

結(jié)合以上兩個(gè)式子,可得

由(3.5)知∥?ρ∥2L∞C,結(jié)合Gronwall不等式可得

接下來對(duì)(3.12)關(guān)于t求微分,運(yùn)用線性輸運(yùn)方程(3.3)可以得到

記divumt=0并運(yùn)用(3.3)有

逐項(xiàng)估計(jì),可知

綜上可得

只需估計(jì)最后一項(xiàng),固定τ ∈(0,T),在(τ,T)?(0,T)積分,

由Gronwall不等式可推出

接下來取ω=umt=umt(τ)代入(3.8)可以估計(jì)最后一項(xiàng),推出

由不可壓縮條件divumt=0,得到

化簡(jiǎn)得到

因此對(duì)(3.17)取τ →0,可以得到如下結(jié)論

而當(dāng)t=0時(shí),

代入(?)式右端可得

定義

則不等式可寫為

由ρδδ及于H2(?)可推出

步4 緊性證明.

步3證明結(jié)果表明,存在一個(gè)序列mk使得于L∞(0,T?;L2(?))且umk ?uδt于L2(0,T?;H1(?)).對(duì)(3.19)取極限并運(yùn)用弱?收斂的下半連續(xù)性可知

即存在一序列0<δk <1,當(dāng)δk →0時(shí)有uδk ??ut于L2(0,T?;H1),且uδkt ?ut于L2(0,T?;H1(?)).又由知

等價(jià)于

于是有下列結(jié)論

由(3.2)知

綜合步1-4的證明過程,最終得到了引理3.2的結(jié)論.

下面證明逼近解滿足一些一致估計(jì)且收斂到原非線性問題(1.14)-(1.18)的一個(gè)局部強(qiáng)解.

為了得到此逼近解的一致估計(jì),首先引入一個(gè)函數(shù)ΦK(t),K1,

下面將逐項(xiàng)估計(jì)ΦK,運(yùn)用Gronwall不等式可最終獲得ΦK的局部有界性.

簡(jiǎn)記μk=μ(ρk)且2Dk(u)=?uk+?Tuk.可以觀察到δρkC,C?1μkC,|?μk|C|?ρk|,|?2μk|(|?ρk|2+|?2ρk|),依賴于∥?u2/?ρ2∥C.

對(duì)于ΦK的第一項(xiàng),可以由以下引理得到.

引理3.3存在常數(shù)N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

證在(3.2)兩端同時(shí)乘以u(píng)kt并在?分部積分,由H?lder不等式有

記(uk,pk)∈H10(?)×L2(?)解下列Stokes方程

由H?lder不等式,Sobolev不等式知

由(3.23),(3.24)借助Young不等式,可得存在常數(shù)N1=N1(n,q)>0,使得

常數(shù)Ni,2i5使得

且

代入到(3.22)可得

對(duì)(3.26)關(guān)于t積分,可證得該引理.

引理3.4存在常數(shù)N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

其中C0=C(ρ0,u0,p0).

證對(duì)幾乎處處的t ∈(0,T),ω ∈H10,δ(?)={? ∈H10(?)|div?=0},有

由引理3.2所證明的(ρ,u)的正則性,可得(3.28)右側(cè)被A(t)|ω|H10控制,非負(fù)函數(shù)A(t)∈L2(0,T).因此可借助文[19]中引理1.1的結(jié)果,得到對(duì)所有的,(ρut)t ∈L2(0,T;H?1σ(?))，這里(?)是(?)的對(duì)偶空間,于是有

即

結(jié)合(3.3)并逐項(xiàng)估計(jì)(參見文[10])可得,

對(duì)(3.29)右側(cè)逐項(xiàng)估計(jì)知

其中估計(jì)第二項(xiàng)時(shí),利用引理3.1知,存在N7=N7(n,q),使得

取τ ∈(0,T)并對(duì)(3.30)在(τ,t)?(0,T)積分可得

這里

且

應(yīng)用Gronwall不等式知

接下來對(duì)AK(τ)的估計(jì)步驟類似于(3.18),此處簡(jiǎn)寫主要步驟,在(3.3)兩端同乘ukt,并借助引理3.1,引理3.2知

因此,在(3.33)中令τ →0可得

即證得該引理.

接下來估計(jì)ΦK第二項(xiàng)∥?ρk∥Lq.

引理3.5存在常數(shù)N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

證由引理3.2 知,對(duì)任意n

由ΦK定義知,ΦK1,則,于是由Cauchy不等式知，

引理3.5得證.

現(xiàn)在將(3.27)與(3.35)結(jié)合可得對(duì)常數(shù)N=N(n,q)>0,有

因此可以定義

于是有

由積分不等式及文[9]中關(guān)于ΦK估計(jì),易證存在一個(gè)依賴于C0及參數(shù)C的時(shí)間T?∈(0,T),使得

則得到了ΦK的局部有界性.固定K為足夠大的整數(shù),對(duì)任意k1,綜合上述引理3.3-3.5易得下列一致上界

接下來證明整個(gè)序列(ρk,uk)強(qiáng)收斂到原非線性方程(1.14)-(1.18)的一個(gè)解.定義σk+1=則有

兩式相減,運(yùn)用方程(3.3)及不可壓縮條件divuj=0可得

兩側(cè)同時(shí)乘以ωk+1,在?上積分有

關(guān)于時(shí)間t微分有

運(yùn)用H?lder,Sobolev和Cauchy不等式,記可以推出

對(duì)上式在?積分,并運(yùn)用(3.6)及ρkδ可知

而由yk+1(0)=0,及Bk(s)∈L1(0,T?),知

當(dāng)k=1時(shí),上式顯然成立,設(shè)k=n時(shí)仍然成立,則對(duì)于k=n+1時(shí),有

即有

結(jié)合(3.38)知

同理

于是可以得到序列(ρk,uk)收斂到L∞(0,T?;L2(?))內(nèi)的一個(gè)極限(ρ,u),對(duì)(3.37)關(guān)于t積分可得在L2(0,T?;H10(?))內(nèi)uk →u.

4.總結(jié)

從以上收斂過程,可以得到(ρ,u)為(1.14)-(1.16)的一個(gè)弱解(詳見文[20]).利用文[20]中散度自由向量場(chǎng)的經(jīng)典結(jié)論可得(3.36)滿足如下的一致估計(jì)

即

至此完成了在初始密度非負(fù)ρ0δ >0,μ∈C2假設(shè)下的強(qiáng)解的存在性證明.[21]

下面證明一般情形下的存在性.令(ρ0,u0)滿足定理2.1的假設(shè)條件,則對(duì)于任意δ ∈(0,1),取ρδ0∈W2,q(?)及μδ ∈C2[0,∞),能使得當(dāng)δ →0時(shí),有

記(uδ0,pδ0)∈{H10(?)×L2(?)}是下列方程的一個(gè)解

則相應(yīng)的解(ρ0,u0,p0)滿足(4.1),C0=C(ρ0,u0,p0)=∥g∥2L2.而由于∥μδ ?μ∥C1→0,所以C不依賴于δ.取在弱意義下收斂到(ρ,u,p)的序列(ρδ0,uδ0,pδ0),顯然為滿足正則性估計(jì)(4.1)的原非線性問題的一個(gè)強(qiáng)解.由Lions[21]易得該解唯一性的證明,連續(xù)性的證明類似于文[10],這里從簡(jiǎn).

主要利用(3.36)與質(zhì)量守恒方程得到ρt的存在區(qū)間,結(jié)合緊性結(jié)論得到ρ的右連續(xù).固定t0∈[0,T?],知

此外,對(duì)(3.25)在[τ,t)上積分可以得到,對(duì)N=N(n,q)>0,有

由(3.24)可知

由(3.31)知

對(duì)(3.32)式運(yùn)用積分形式的Gronwall不等式知

由(3.5)知

運(yùn)用微分形式的Gronwall不等式,結(jié)合以上估計(jì)可以得到如下的爆破準(zhǔn)則

即t →T?時(shí),有J(t)→∞.所以我們要求T?足夠小.至此,我們證明了定理2.1的全部結(jié)論.