楊 濤, 溫鑫亮, 劉翻麗

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

水泥發(fā)生水化反應后,釋放出的熱量對混凝土的使用年限產(chǎn)生了很大的影響,并且這一問題越來越引起研究者的關注[1].混凝土的導熱系數(shù)較小,發(fā)生化學反應之后,內(nèi)部產(chǎn)生的熱量不能迅速擴散,導致其內(nèi)部和外部產(chǎn)生了較大的溫度差,在受限制的條件下極易出現(xiàn)裂紋,對混凝土結(jié)構的耐久性產(chǎn)生了非常大的影響.

近年來,實際工程對混凝土的強度、耐久性與體積穩(wěn)定性有較高的要求,使得大體積混凝土和低水膠比配制的混凝土的使用率逐年升高,但是混凝土導熱性能不佳,發(fā)生水化反應時,其內(nèi)部熱量不斷積聚，溫度不斷升高,導致混凝土結(jié)構中膠凝材料產(chǎn)生的水化熱也更多,因此出現(xiàn)了很多溫度裂縫.溫度裂縫的產(chǎn)生,使工程技術人員越來越關注早期混凝土的熱學和力學性質(zhì),以便能夠進一步預測混凝土結(jié)構的溫度場、應力場和溫度裂縫.大體積混凝土開裂的重要原因之一[2—3]是溫度應力,而混凝土的溫度控制的一個重要因素是絕熱溫升[4].此外，在確定混凝土結(jié)構早期溫度場的計算中,絕熱溫升是混凝土的重要物理指標[5—8].在此過程中,導熱系數(shù)是一個非常關鍵的因素.

研究發(fā)現(xiàn),對混凝土導熱系數(shù)影響最大的是骨料類型、孔隙率、干濕條件[9—13].而文獻[13]最早對混凝土熱學參數(shù)(包括導熱系數(shù))進行了研究,并且給出了一種計算混凝土導熱系數(shù)和比熱的方法.但是,這些方法基本上都是以經(jīng)驗作為依據(jù)的.本文研究一類在給定條件下確定反應擴散方程中擴散系數(shù)的反問題,其中未知系數(shù)通常稱為擴散系數(shù),用于描述傳熱過程中的導熱系數(shù).該問題出現(xiàn)在各種物理和工程環(huán)境中,如混凝土水化反應.從觀測資料中識別未知系數(shù)的反問題出現(xiàn)在許多領域,包括熱傳導、擴散、油藏模擬.目前,國內(nèi)外學者對混凝土中溫度場的計算和絕熱溫升試驗的研究成果比較多.例如文獻[14]根據(jù)工程實測溫度反演混凝土的絕熱溫升,并且提出一套精度較好又比較實用的計算公式.混凝土絕熱溫升表示為

類似地,文獻[15] 采用有限差分方法,建立了基于混凝土絕熱溫升試驗的早齡期混凝土溫度場計算模型,在一維傳熱條件下(設傳熱方向為x軸方向)混凝土板的熱傳導方程可表達為

混凝土內(nèi)部溫度分布問題就是對上述方程的求解問題.文獻[4,16]也對這類問題進行了研究,得到了相關的結(jié)果.文獻[17]給出了一種早齡期混凝土路面板非線性溫度場下溫度應力的計算方法,其中將路面板厚度方向的非線性溫度分成平均溫度、線性溫度和非線性溫度3個分項,分別計算每一分項溫度引起的應力,最終總應力為3部分應力的疊加.

以往的研究中,人們常常將混凝土的導熱系數(shù)定為常數(shù).由于現(xiàn)代混凝土的水泥用量、外加劑(如大劑量粉煤灰和磨碎的顆粒渣等)、骨料尺寸(尺寸和破碎指數(shù))和施工工藝(大流動性等)等與以前的混凝土有較大差異,這必然導致混凝土的熱力學性能不同于以往的混凝土.故先前的關于導熱系數(shù)為常數(shù)的假設具有很大的局限性.因此,有必要對基于現(xiàn)代技術的混凝土導熱系數(shù)進行研究.本文主要考慮如下問題.

問題P考慮二階非線性熱傳導方程的反演系數(shù)問題：

(1)

這里φ和f是2個給定光滑函數(shù),a(x)是一個未知的導熱系數(shù),a(x)≥a0>0.

給定附加條件:

(u|t=T=g(x),x∈[0,l],

其中g是一個已知的函數(shù),它滿足齊次Dirichlet邊界條件.我們需要據(jù)此同時確定未知函數(shù)對(u,a).

1 控制問題

在反問題P中,假設函數(shù)f∈C2[0,Φ],并且f滿足Lipschitz條件:?L>0,|f(u1)-f(u2)|≤L|u1-u2|,以及f(0)=0,|f′|,|f″|≤M.對于一般輸入數(shù)據(jù)g(x),反問題P可能沒有解,我們轉(zhuǎn)而考慮以下最優(yōu)控制問:

(2)

這里

(3)

(4)

α,β是2個給定的正常數(shù),H1通常是Sobolev空間(見文獻[1]),其范數(shù)定義為

u(x,t;a)是方程(1)對應于給定系數(shù)a(x)∈A的解,N是正則化參數(shù).

假設終端觀測數(shù)據(jù)g(x)滿足條件

g(x)∈L2(0,l).

(5)

因此,正問題是由已知的系數(shù)a(x)確定方程(1)的解u(x,t),這在Hadamard意義上是適定的,我們對u(x,t)有以下估計.

引理1令u(x,t)為方程(1)的解,a(x)∈Α是給定函數(shù),對于u(x,t)有以下估計

其中C為一個常數(shù).

證明由方程(1)可得

通過積分可得

因此,由Gronwall不等式可得

引理1證完.

由引理1的證明過程易知將常數(shù)統(tǒng)一為C.

由(5)式和引理1可知控制泛函(3)對任意a(x)∈A是有意義的.

定理1的證明是標準的,此處略.

2 必要條件

定理2若a是最優(yōu)控制問題(2)的解,則存在一個三元函數(shù)組(u,v;a)滿足下列系統(tǒng)

(6)

(7)

且

(8)

證明對于任意h∈A,0≤δ≤1,令aδ≡(1-δ)a+δh∈A,則

(9)

令uδ是方程(1)的解,其中a=aδ,則有

(10)

(11)

(12)

由(10)式可得

(13)

記Lξ=ξt-(aξx)x-ξf′(u),令v是下列問題的解：

(14)

其中算子L*是L的共軛算子.于是利用Green公式和分部積分易得

(15)

由(13)式和(15)式可得

定理2證完.

3 局部唯一性和穩(wěn)定性

假設觀察終端數(shù)據(jù)g(x)滿足條件

g(x)∈H1(0,l).

(16)

一般地,當最優(yōu)化問題中控制泛函非凸的時候,很難得到它的全局唯一解,這給數(shù)值模擬也增加了難度.如果T足夠小,那么可以證明控制問題(2)的解具有局部唯一性.如無特殊說明,以下C表示與參數(shù)T和N無關的不同常數(shù).

引理2由(7)式可得如下估計:

(17)

由(16)式可知{u,v}是對系統(tǒng)(6)～(7)進一步估計的解.

引理3對方程(6) 有下列估計:

(18)

引理4對方程(7)中有以下估計：

(19)

引理2至引理4的證明與引理1的證明類似,此處略,其中引理2至引理4中的C與引理1中所得過程類似.

令a1(x)是問題P1對應的g1(x)的極小值,a2(x)是問題P1對應的g2(x)的極小值,且{ui,vi}(i=1,2)分別是系統(tǒng)(6)～(7)的解,這里a=ai(i=1,2).

令u1-u2=U,v1-v2=V,a1-a2=A，并且U和V滿足

(20)

(21)

引理5對于有界連續(xù)函數(shù)g(x)∈C[0,l],有

引理5的證明是標準的.

引理6對方程(20),有以下估計:

(22)

證明

(f(u1)-f(u2)=

f′(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)=

f′(u2+θU)U, 0≤θ≤1.

(23)

由方程(20)可得

分部積分可得

由(23)式可得

因此,由Gronwall不等式和(4)式可得

引理6證完.

引理7對方程(7),由極值原理得到

引理7的證明是標準的.

引理8對方程(21),有以下估計:

(24)

證明對(21)式,有

通過積分獲得

因此,

使用估計(22)可得

由f滿足條件可知

|f′(u1)-f′(u2)|=

|f″(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)|≤

M|u1-u2|.

(25)

由(25)式得

根據(jù)(4)式且已知f是光滑函數(shù),可得

因此,由引理7和Cauchy不等式得

由Gronwall不等式可得

引理8證完.

定理3令a1(x),a2(x)是與g1(x),g2(x)分別對應的最優(yōu)控制問題P1的最小值,這里T?1,C是不依賴T和N的常數(shù),則有下列估計

證明在(8)式中,當a=a1時h=a2,當a=a2時h=a1,則有

(26)

(27)

這里{ui,vi}(i=1,2)是系統(tǒng)(6)～(7)的解,對應a=ai(i=1,2).由(26)～(27)式可得

(28)

由引理5可得

(29)

由(28)～(29)式及Cauchy不等式,可得

(30)

由(16)式、引理4和引理5,可得

(31)

由(30)～(31)式可得

(32)

選擇T?1,則

(33)

結(jié)合(32)～(33)式易得

(34)

定理3證完.

注1極值的唯一性是估計(34)的直接推論.應當指出,在不適定問題的數(shù)值模擬中,正則化參數(shù)N扮演著一個非常重要的角色.

注2需特別注意(32)式中的所有常數(shù)C均與T無關,這一點從引理6,引理8的證明過程中容易看出.因而,仍總是可以選擇T適當小,使得(33)式成立.要求T?1只是方便證明的需要,在實際問題中對T的限制可大大放寬.