甘亦苗， 侯成敏

（延邊大學(xué) 理學(xué)院，延吉133002）

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)與工程學(xué)中應(yīng)用廣泛，如物理、生物、化學(xué)和電子等［1-3］。帶有邊值問題的耦合系統(tǒng)在眾多的領(lǐng)域上取得了重大成就［4-6］，在處理正解的存在唯一性上方法多樣［6-7］。Hilfer型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是廣義的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，其包含Riemann-Liouville和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)兩種情形［1］，此類導(dǎo)數(shù)可以應(yīng)用于玻璃成型材料中介電馳豫的理論模型［9］。

本文研究高階的非線性耦合Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的正解的存在性：

式中：是Dα1，β0+，Dα2，β0+為Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，n，m為正整數(shù)n-1＜α1＜n，m-1＜α2＜m，0≤β≤1，p，q∈?，λ1，λ2∈?+，ai∈?（i=1，2，…p），bi∈?（i=1，2，…q）且，0＜ξ1＜…＜ξp＜1，0＜η1＜η2＜…＜1，fj（j=1，2）為連續(xù)函數(shù)。

許多文獻(xiàn)在研究方程的解時(shí)，設(shè)fj是非負(fù)的或者單調(diào)的（［5，7，10］），為了使文章更具有一般性，本文不做以上假設(shè)，并且利用換元法和Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理證明正解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)和相關(guān)引理

有唯一的解：

其中

證明完畢。

根據(jù)引理4，易知問題（1）和問題（2）的解為：

其中

2 主要成果

3 一個(gè)例子

這就意味著（H1）和（H2）成立。由定理1可得，問題（49）和（50）至少存在一個(gè)正解。