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        全直線上四階方程的Laguerre-Laguerre復(fù)合譜逼近

        2021-04-15 01:20:10蔡耀雄莊清渠
        關(guān)鍵詞:代數(shù)方程四階對角

        蔡耀雄, 莊清渠

        (華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州362021)

        近三十年來,關(guān)于求解四階微分方程的譜方法的研究有很大進展.Shen[1]采用Legendre-Galerkin譜方法求解二階和四階微分方程;Kwan等[2]考慮可分離橢圓型問題的并行譜元計算;Shen等[3]采用Legendre Petrov-Galerkin逼近法數(shù)值求解四階方程;文獻[4-5]分別研究一維和二維四階方程的譜元計算;莊清渠等[6]研究四階常微分方程的Birkhoff配點法;文獻[7-8]分別研究兩類四階積分微分方程的譜逼近;Chen[9]研究四階Cahn-Hilliard方程的Legendre-Galerkin譜逼近.上述文獻研究的是有界區(qū)域上的四階方程,對于無界區(qū)域上的四階方程也有一些研究工作.葉小華[10]研究一維半直線區(qū)域四階方程的Legendre-Laguerre復(fù)合譜方法;Zhuang等[11]研究一維半無界區(qū)域四階方程的Legendre-Laguerre耦合譜元計算;李敏等[12]研究半無界條狀區(qū)域四階方程的Laguerre-Legendre混合譜逼近;李珊等[13]研究半直線區(qū)域上四階橢圓型方程的有理Legendre函數(shù)全對角化譜方法;Yu等[14]研究全直線區(qū)域上的對角化Legendre有理譜方法.本文用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法求解全直線上的四階方程,并與一類Hermite譜方法進行對比,主要考慮方程的數(shù)值計算.

        1 問題及復(fù)合逼近形式

        記I:=(-∞,∞),考慮如下的四階問題,即

        (1)

        d(u,v)=(f,v), ?v∈V,

        (2)

        式(2)中:d(u,v):=λ2(u,v)+λ1(ux,vx)+(uxx,vxx),?u,v∈V.

        對問題(2),用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法進行求解.首先,將(-∞,∞)剖分成I1=(-∞,0),I2=(0,∞)兩部分.然后,在兩個區(qū)間上分別采用Laguerre譜方法進行逼近.

        記uI1:=u|I1,uI2:=u|I2,N=(N1,N2) ,令PN(Ω) 為Ω上次數(shù)不超過N的全體多項式組成的空間,并記

        (3)

        (4)

        則問題(1)的Laguerre-Laguerre復(fù)合逼近形式如下:找uN∈VN,使得

        d(uN,vN)=(f,vN), ?vN∈VN.

        (5)

        2 計算實施

        Laguerre多項式Lm的基本性質(zhì)[15]如下,即

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        類似于文獻[11,16]求解高階方程的過程,Laguerre-Laguerre復(fù)合逼近問題(5)所對應(yīng)的線性系統(tǒng)可通過如下3個步驟進行求解.

        (12)

        (13)

        (14)

        3) 結(jié)合.由式(13),(14)可知,對任意的vN∈VN,有

        (15)

        因此,問題(5)的解為

        (16)

        問題(5)分解成了兩個相對獨立的子問題,子問題(12)和(13)分別由九對角問題和五對角問題組成,因而容易進行求解.

        (λ2C+λ1B+A)U2=F2.

        (17)

        由Laguerre函數(shù)的正交性可得

        由此可知,矩陣都是對稱的,且最多是五對角陣,因而式(17)可以有效地求解.子問題(13)在I1上的代數(shù)方程組與其在I2上的代數(shù)方程組類似.

        子問題(12)對應(yīng)的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣與子問題(13)相同.子問題(12)對應(yīng)的代數(shù)方程組的右端項可通過對φ1(x),φ2(x)進行求導(dǎo),有

        又因為

        從而在區(qū)間I1上,有

        以及

        而在區(qū)間I2上,有

        以及

        因此,可得子問題(12)對應(yīng)代數(shù)方程組的右端項.

        對于子問題(14),由于

        圖1 最大誤差隨的變化情況Fig.1 Maximum errors change with

        3 數(shù)值算例

        算例1在問題(1)中,固定λ1=λ2=1,取精確解為

        u(x)=sin(x)e-σx2.

        其次,當(dāng)σ=0.01和σ=0.02時,分別利用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法及Hermite譜方法進行計算,得到的最大誤差,如表1所示.由表1可知:當(dāng)σ比較小時,用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法進行逼近的誤差比用Hermite譜方法進行逼近的誤差要小得多.因此,Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法逼近更具優(yōu)越性.

        表1 兩種方法在u(x)=sin(x)e-σx2時的最大誤差Tab.1 Maximum errors by two ways for u(x)=sin(x)e-σx2

        表2 兩種方法在時的最大誤差Tab.2 Maximum errors by two ways for

        4 結(jié)束語

        將全直線區(qū)域剖分為兩部分,進而構(gòu)造了求解全直線上四階方程的Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法.數(shù)值結(jié)果表明,復(fù)合方法具有譜收斂性.同時,通過與純Hermite譜方法的比較可以看出,復(fù)合譜方法對求解具有衰減緩慢解析解的問題具有優(yōu)越性.

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