王波， 金福江， 周麗春

(1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021；2. 華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院， 福建 廈門 361021)

在紡織印染中，由于光譜與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的非線性關(guān)系，難以得到具有泛用性的光譜建模方法，故無法建立光譜反射率與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的直接關(guān)系，從而發(fā)展出三刺激值配色法.現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)測(cè)配色系統(tǒng)大多是基于三刺激值配色法，其基礎(chǔ)是測(cè)量一定光源下的物體色的三刺激值，而三刺激值相等的兩個(gè)顏色可達(dá)到等色效果[1-3].在三刺激值配色法中，Kubelka-Munk理論建立了染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)與三刺激值之間的關(guān)系[4]，由三刺激值誤差進(jìn)行迭代調(diào)整，可得到低異譜性的匹配結(jié)果[5].然而，三刺激值無法完全表達(dá)某種顏色的全部特性，當(dāng)觀察條件發(fā)生變化時(shí)，等色可能會(huì)被破壞而產(chǎn)生色差.全光譜配色[6]需盡力匹配標(biāo)準(zhǔn)色的光譜曲線，使不同波長(zhǎng)下的反射率相同.因此，標(biāo)準(zhǔn)色的表達(dá)更加全面，匹配結(jié)果更加準(zhǔn)確，即使觀察環(huán)境發(fā)生變化，再配色與標(biāo)準(zhǔn)色依然相同[7].

顏色變化為非線性關(guān)系，具體表現(xiàn)為不同顏色的光譜特性不同.文獻(xiàn)[8-12]對(duì)光譜建模進(jìn)行研究，這些方法雖然能夠很好地描述光譜曲線的局部特征，但無法表達(dá)光譜曲線的整體特征，造成顏色匹配結(jié)果的異譜性.文獻(xiàn)[13-15]對(duì)光譜與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，但這些方法均只適用于某一類顏色的配色方案，局限性較大，沒有建立光譜與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的直接關(guān)系.基于此，本文提出一種染料拼色反射光譜的Bezier曲線建模方法[16-17].

1 單一染料染色的反射光譜Bezier曲線模型

定義1用波長(zhǎng)為λ的照明光源入射已染色后的干燥、平整、色澤均勻的織物，當(dāng)染色染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)(w)和照明光源波長(zhǎng)變化時(shí)，反射光譜率R=f(w,λ)是個(gè)曲面函數(shù)；當(dāng)染料的質(zhì)量分?jǐn)?shù)固定(w為常數(shù))，照明光源波長(zhǎng)變化時(shí)，反射光譜率R=f(λ)為一條反射光譜曲線.

例如，活性紅3BS的質(zhì)量分?jǐn)?shù)從0.01%增加到2.00%，由Datacolor測(cè)色系統(tǒng)可得染色后布匹的反射光譜曲線，如圖1所示.

定理1通過n階Bezier函數(shù)擬合反射光譜曲線，如圖2所示.圖2中：折線為Bezier曲線控制多邊形，其折點(diǎn)為Bezier曲線控制點(diǎn)；實(shí)線為Bezier曲線；虛線為反射光譜曲線.反射光譜的參數(shù)方程為

(1)

由式(1)可知：反射光譜的參數(shù)方程是由控制點(diǎn)決定，由反射光譜圖的數(shù)據(jù)點(diǎn)求出控制點(diǎn)是反射光譜建模的關(guān)鍵.

(a) 擬合曲線 (b) 調(diào)整控制點(diǎn) 圖1 染色后布匹的反射光譜曲線 圖2 Bezier函數(shù)擬合的反射光譜曲線 Fig.1 Reflectance spectrum curve of dyed cloth Fig.2 Reflectance spectrum curve fitted by Bezier function

(2)

采用積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方法[18-19]，為每一個(gè)光譜坐標(biāo)點(diǎn)指定一個(gè)參數(shù)t，以t0為起點(diǎn)，t0=0，tn為終點(diǎn)，tn=1，有

(3)

式(3)中：ti為坐標(biāo)點(diǎn)Pi(λi,Ri)對(duì)應(yīng)的參數(shù)；ΔPi-1為Pi-1與Pi之間的歐式距離；s為順序兩坐標(biāo)點(diǎn)的距離總和.

得到坐標(biāo)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)后，可求解出n個(gè)控制點(diǎn)(R0,λ0)，(R1,λ1)，…，(Rn,λn).

定理3單一染料染色的反射光譜Bezier曲線模型可用多項(xiàng)式表示.

用不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的染料染色，得到染色后織物的反射光譜Bezier曲線.對(duì)每條反射光譜曲線擬合的Bezier曲線控制點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，取10個(gè)控制點(diǎn)，分析Bezier曲線控制點(diǎn)與單一染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系(圖3)可知：?jiǎn)我蝗玖腺|(zhì)量分?jǐn)?shù)變化時(shí)，反射光譜Bezier曲線控制點(diǎn)縱坐標(biāo)隨質(zhì)量分?jǐn)?shù)呈對(duì)數(shù)形式增長(zhǎng)(圖3(a))，而控制點(diǎn)橫坐標(biāo)變化幅度相對(duì)較小(圖3(b))

(a) 控制點(diǎn)縱坐標(biāo) (b) 控制點(diǎn)橫坐標(biāo) 圖3 染色后布匹的反射光譜Bezier曲線控制點(diǎn)的變化曲線Fig.3 Change curve of Bezier curve control point of reflectance spectrum of dyed cloth

對(duì)染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)進(jìn)行線性化處理，則控制點(diǎn)與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系可以表示為

(4)

對(duì)于每一個(gè)控制點(diǎn)，由小樣實(shí)驗(yàn)可得染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)與控制點(diǎn)數(shù)據(jù)(w,P(j))，再通過最小二乘法計(jì)算出控制點(diǎn)關(guān)于染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的表達(dá)式的系數(shù)矩陣Aj.

單一染料染色時(shí)，質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.01%～2.00%的單一染料染色布匹，均可根據(jù)式(4)計(jì)算出染色后布匹的反射光譜Bezier曲線的控制點(diǎn).

令C(w)=[1,w,…,wm]T，則單一染料染色反射光譜Bezier曲線控制點(diǎn)與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系模型為

P(j)=AjC(w).

(5)

式(5)模型可確定質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.01%～2.00%的單一染料染色后布匹的反射光譜Bezier曲線.

2 染料拼色的反射光譜Bezier曲線模型

質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.1%的單一活性染料活性黃3BS、活性紅3RS、藏青G分別染色后的布匹反射光譜率，以及3種單一染料拼色染色后的布匹反射光譜曲線，如圖4所示.

通過單一染色反射光譜和拼色染色反射光譜之間的關(guān)系，分析拼色染色布匹反射光譜與混合染料各組分質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系.通過正交試驗(yàn)方法，得到拼色染色及其對(duì)應(yīng)的單一染料染色結(jié)果，控制點(diǎn)P0(λ1,R1)，P1(λ1,w1,R1,w1)，P2(λ1,w2,R1,w2)，P3(λ1,w3,R1,w3)分別由擬合拼色染色和對(duì)應(yīng)的單一染色后布匹的反射光譜曲線得到.拼色染色與單一染色控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)表，如表1所示.

定義2染料拼色.拼色是指用多種不同質(zhì)量分?jǐn)?shù)的單一染料混合均勻進(jìn)行染色. 因此， 拼色后織物的反射光譜模型為

R=f(w1,w2,…,wm,λ).

(6)

(a) 單一染色 (b) 拼色染色圖4 染色后布匹反射光譜曲線Fig.4 Reflectance spectrum curve of dyed cloth

表1 拼色染色與單一染色控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)表Tab.1 Corresponding table of control points for color matching and single dyeing

式(6)中：w1,w2,…,wm為m種不同染料的質(zhì)量分?jǐn)?shù).

定理4拼色的反射光譜曲線率R=f(λ)可由m種單一染料反射光譜曲線率Ri=fi(λ)，i=1,…,m得到.當(dāng)m種染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)和照明光源的波長(zhǎng)都變化時(shí)，m種染料拼色的反射光譜模型是一個(gè)m+1維超曲面； 當(dāng)m種染料的質(zhì)量分?jǐn)?shù)固定時(shí)，w1,w2,…,wm為常數(shù)，m種染料拼色的反射光譜率為R=f(λ).拼色反射光譜是由固定質(zhì)量分?jǐn)?shù)的單一染料染色混合得到，因此，拼色的反射光譜率R=f(λ)也可以由m種單一染料反射光譜率Ri=fi(λ)，i=1,…,m得到.

定理5當(dāng)m種染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)變化時(shí)，拼色染色后布匹的反射光譜模型可以表示為m個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為wi的單一染料染色光譜模型Ri(wi,λ)，i=1,…,m組合，即

R=f(w1,…,wm,λ)=f(R1(w1,λ),…,Rm(wm,λ)).

(7)

定理6拼色染色與單一染料染色后布匹的Bezier反射光譜曲線控制點(diǎn)之間的關(guān)系為

P0(w1,w2,w3)=f(P1(w1),P2(w2),P3(w3)).

(8)

式(8)中：P0為拼色染色Bezier反射光譜曲線控制點(diǎn).

這樣可將單一染色與拼色染色的反射光譜曲線關(guān)系轉(zhuǎn)化為控制點(diǎn)之間的關(guān)系.得到單一染色控制點(diǎn)與拼色染色控制點(diǎn)的模型后，用Bezier方法進(jìn)行疊加，可得拼色反射光譜Bezier曲線與染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系.

定理7對(duì)于采用相同Bernstein基函數(shù)的單一染料染色光譜Bezier曲線和m個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為wi的單一染料拼色反射光譜Bezier曲線有以下線性疊加關(guān)系，即

P0=r1P1+…+rmPm.

(9)

結(jié)合單一染料染色Bezier反射光譜曲線模型，拼色染色Bezier反射光譜曲線控制點(diǎn)P0與單一染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)w1～w3的關(guān)系可表示為

(10)

(11)

3 拼色染色反射光譜Bezier曲線的色差模型

國(guó)際照明委員會(huì)(CIE)標(biāo)準(zhǔn)色度系統(tǒng)下的三刺激值X，Y，Z的計(jì)算公式分別為

(12)

因此，由拼色染色反射光譜Bezier曲線可以得到任意波長(zhǎng)下的光譜R(λ)，由式(12)可計(jì)算出拼色染色的三刺激值X,Y,Z.

(13)

(14)

反射光譜Bezier曲線控制點(diǎn)已確定，根據(jù)定理1，可將式(14)轉(zhuǎn)換成關(guān)于參數(shù)t的Bernstein基函數(shù)的積分形式，從而精確計(jì)算出染色織物色澤的三刺激值.

亨特色差ΔEHunter表達(dá)式、亨特顏色空間明度指數(shù)L和色品坐標(biāo)a，b的計(jì)算公式分別為

ΔEHunter=[(ΔL)2+(Δa)2+(Δb)2]1/2,

(15)

(16)

取標(biāo)準(zhǔn)照明體D65和CIE 1964(10°)觀察者，在相同波長(zhǎng)下，將拼色染色后的實(shí)測(cè)反射光譜曲線和用單一染料Bezier曲線疊加的拼色Bezier曲線的三刺激值分別代入式(16).經(jīng)計(jì)算,可得明度指數(shù)L及色品坐標(biāo)a，b的差值ΔL，Δa，Δb;再由式(15)計(jì)算出拼色染色后的實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)的色差，從而驗(yàn)證多種染料拼色染色后布匹的反射光譜Bezier曲線的準(zhǔn)確性.

4 實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證

4.1 小樣實(shí)驗(yàn)

小樣實(shí)驗(yàn)1為單一染料染色；小樣實(shí)驗(yàn)2，3為拼色染料染色.小樣實(shí)驗(yàn)1～3中的浴比均為1∶10，布的質(zhì)量均為5 g.小樣實(shí)驗(yàn)1～3的染色配方，如表2，3所示.

表2 小樣實(shí)驗(yàn)1的染色配方Tab.2 Dyeing recipe of sample experiment 1

織物為雙面汗布；染料為3BS，3RS，G；實(shí)驗(yàn)采用CADSMG108/00型染液滴定機(jī)、HS-24型高溫染色小樣機(jī)、HH-S型恒溫水浴機(jī)、烘干機(jī)、DataColor800型測(cè)色配色儀.

用滴液滴定機(jī)加染料于染杯，放入布樣；將染杯置于60 ℃小樣機(jī)中45 min；于100 ℃恒溫水浴機(jī)皂洗5 min；取出樣布，進(jìn)行清洗、烘干；使用測(cè)色配色儀測(cè)量布匹的反射光譜.

單一染料染色后的反射光譜曲線(小樣實(shí)驗(yàn)1)，如圖5所示.圖5中：虛線為測(cè)得的實(shí)際反射光譜率;實(shí)線為預(yù)測(cè)的反射光譜率.

(a) 3BS (b) 3RS圖5 單一染料染色的反射光譜曲線(小樣實(shí)驗(yàn)1)Fig.5 Reflectance spectrum curve of single dye (sample experiment 1)

小樣實(shí)驗(yàn)2，3先進(jìn)行不同染料的單一染色，分別測(cè)得單一染色的反射光譜曲線，如圖6所示;然后，進(jìn)行拼色染色實(shí)驗(yàn)，測(cè)得拼色染色的反射光譜曲線，如圖7所示.圖6，7中：虛線為測(cè)得的實(shí)際反射光譜率；實(shí)線為預(yù)測(cè)的反射光譜率.

(a) 小樣實(shí)驗(yàn)2 (b) 小樣實(shí)驗(yàn)3圖6 單一染料染色的反射光譜曲線(小樣實(shí)驗(yàn)2，3)Fig.6 Reflectance spectrum curve of single dye (sample experiments 2, 3)

(a) 小樣實(shí)驗(yàn)2 (b) 小樣實(shí)驗(yàn)3圖7 拼色染色的反射光譜曲線(小樣實(shí)驗(yàn)2，3)Fig.7 Reflection spectrum curve of color matching (sample experiments 2, 3)

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

分析實(shí)際染色后布匹的反射光譜和預(yù)測(cè)得到的反射光譜，分別計(jì)算三刺激值、亨特色差(ΔEHunter)，均方根誤差(ΔERMS)及光譜匹配精度(GFC)，結(jié)果如表4，5所示.表4,5中：(Xr,Yr,Zr)為染色布匹的實(shí)際三刺激值;(Xp,Yp,Zp)為染色布匹的預(yù)測(cè)三刺激值；小樣實(shí)驗(yàn)1取單一染色中色差最大者.

表5 小樣實(shí)驗(yàn)光譜曲線對(duì)比Tab.5 Comparison of spectral curves of sample experiments

由表4，5可知：預(yù)測(cè)的反射光譜與實(shí)際染色的反射光譜的CIE色差均小于4，屬于工業(yè)染色可接受的范圍，證明文中方法的有效性；預(yù)測(cè)與實(shí)際的反射光譜的均方根誤差極??；預(yù)測(cè)與實(shí)際的反射光譜匹配精度高，證明文中方法的準(zhǔn)確性.

5 結(jié)束語

使用Bezier參數(shù)曲線表示反射光譜率，可以將染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)與曲線的關(guān)系轉(zhuǎn)化為染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)與點(diǎn)的關(guān)系，易于光譜重構(gòu)和匹配.同時(shí)，將反射光譜曲線先分段再擬合，使反射光譜曲線的數(shù)學(xué)表示更加準(zhǔn)確.通過分析染料質(zhì)量分?jǐn)?shù)和反射光譜的關(guān)系，建立由單一染料合成拼色染料的函數(shù)模型，可直接由染料配方的質(zhì)量分?jǐn)?shù)計(jì)算出染色后布匹的反射光譜率，并由該反射光譜率計(jì)算與目標(biāo)色之間的色差.由染色配方直接預(yù)測(cè)配色結(jié)果和色差，相較于三刺激值配色法的反復(fù)迭代和調(diào)整過程，文中方法具有快速性和簡(jiǎn)潔性，且使用反射光譜曲線考察目標(biāo)色與匹配色，更加準(zhǔn)確、真實(shí).