張世義， 顧小川， 唐爽， 李軍

(1. 重慶交通大學 機電與車輛工程學院， 重慶 400074；2. 重慶交通大學 軌道交通車輛系統(tǒng)集成與控制重慶市重點實驗室， 重慶 400074)

隨著交通事故發(fā)生率的不斷提高[1]，旨在改善交通行車環(huán)境、安全與效率的智能交通系統(tǒng)(ITS)正被日益推崇[2].智能交通系統(tǒng)集成各領域的先進技術，將人-車-路緊密配合，可以實現全局交通情況的優(yōu)化與管理，對當今交通系統(tǒng)存在的污染、擁堵、事故頻發(fā)、能源消耗過度等問題均能起到較好的緩解及改善作用.

路徑跟蹤通過轉向輪主動轉向控制準確地跟蹤規(guī)劃層的目標路徑，并保持行車的平穩(wěn)性和乘坐的舒適性[3].目前，應用較為廣泛的路徑跟蹤算法主要采用對車輛的橫向和縱向進行控制的方法，如比例-積分-微分(PID)控制算法[4]、純追蹤算法[5]、滑膜控制算法[6]、自適應控制算法[7]和模型預測控制(MPC)算法[8]等.模型預測控制算法通過預測模型、系統(tǒng)當前狀態(tài)量和未來控制量進行在線滾動優(yōu)化，再對預測輸出進行矯正，從而進一步修正模型[9].由于可以處理系統(tǒng)多目標及多約束優(yōu)化問題，MPC算法在國內得到廣泛的運用.嚴國軍等[10]提出自適應MPC控制器自動調節(jié)預測時域，減少運算時間,保證跟蹤控制的實時性，但其運動學模型無法滿足高速和大側向加速度的工況.白國星等[11]基于非線性模型預測算法，采用三次多項式分別擬合速度、預測時域與穩(wěn)態(tài)轉向角的函數，但其運動學模型只考慮中低速的仿真效果.張嚴等[12]在三自由度動力學模型基礎上，采用遺傳算法對模型預測控制器的預測時域、控制時域進行優(yōu)化，但犧牲了部分乘坐舒適性.基于此，本文提出一種變預測時域自適應路徑跟蹤控制方法.

1 車輛動力學模型的建立

1.1 車輛三自由度動力學模型

動力學模型和運動學模型是自動駕駛車輛建模時最常用的兩種模型.運動學模型不涉及車輛自身質量、受力等因素，適用于中低車速及道路曲率、側向加速度較小的工況；動力學模型研究車輛運行中的受力情況，通過牛頓第二運動定律建立模型方程，在高速或道路曲率較大時的效果更佳.為了提高車輛高速行駛時跟蹤控制的可靠性，將車輛動力學模型作為路徑跟蹤研究的基礎.

將車輛的三自由度模型表示為微分方程的形式，有

(1)

為了簡化模型，采用小角度假設[14]，即

cosθ≈1， sinθ≈θ， tanθ≈θ.

(2)

式(2)中：θ表示輪胎的側偏角和偏轉角等角度.

當側偏角較小時，前、后輪的側向力與縱向力可用近似線性函數描述，前、后輪的側向力分別為

(3)

式(3)中：Cc，f，Cc，r分別為前、后輪的側偏剛度.

前、后輪的縱向力分別為

Fl，f=Cl，fSf，Fl，r=Cl，rSr.

(4)

式(4)中：Cl，f，Cl，r分別為前、后輪的縱向剛度；Sf，Sr分別為前、后輪的滑移率.

通過車身坐標系和大地慣性坐標系之間的轉換關系，對大地慣性坐標系下車輛的運動情況進行表述，有

(5)

聯合整理式(1)～(5)，簡化后可得基于線性輪胎模型和小角度假設的車輛非線性連續(xù)三自由度動力學模型，即

(6)

1.2 線性化系統(tǒng)

將系統(tǒng)任意參考時刻描述為狀態(tài)空間表達式的形式,即

(7)

由于非線性系統(tǒng)不能用于線性時變模型預測控制，因此，在某參考時刻一階泰勒展開，并結合式(7)可得誤差狀態(tài)方程.即

(8)

2 模型預測路徑跟蹤控制器

基于車輛動力學模型和模型預測控制算法，設計模型預測路徑跟蹤控制器.

2.1 預測方程

對誤差狀態(tài)方程(8)進行離散化，有

ξ(k+1)=Akξ(k)+Bku(k).

(9)

式(9)中：Ak=I+TAt，I為單位矩陣，T為采樣周期；Bk=TBt；k為k時刻.

(10)

將基于MPC控制器的預測時域和控制時域分別定義為Np和Nc，Np>Nc.系統(tǒng)未來預測時域內的預測方程可以用矩陣形式表示，即

Y(k+1|k)=Ψkξ(k)+ΘΔU(k).

(11)

2.2 約束條件

2.2.1 輪胎側偏角 由前、后輪側偏角與系統(tǒng)各狀態(tài)量的關系可知，當側偏角不超過5°時，在任一時刻t，前輪側偏角αf，t和后輪側偏角αr，t的計算公式為

(12)

因此，選擇前輪側偏角的約束為-2.5°<αf，t<2.5°.

2.2.2 車輛附著條件 當車輛縱向勻速行駛時，橫向加速度ay與地面附著系數μ呈線性關系，即ay≤μg.為避免約束條件限定范圍過窄而求解失敗，將附著條件約束設置為軟約束條件，即

ay,min-ε≤ay≤ay,max+ε.

(13)

式(13)中：ε為松弛因子；ay,min，ay,max分別為橫向加速度的最小值與最大值.

2.2.3 質心側偏角β為質心側偏角，在良好路面中，-12°<β<12°；在冰雪路面中，-2°<β<2°.

2.3 目標函數

基于MPC路徑跟蹤策略的目的是保證預測輸出變量與參考值之間的誤差盡可能小，從而準確地跟隨預定的軌跡，保持跟蹤穩(wěn)定性.

為了求出狀態(tài)方程(10)的最優(yōu)解，得到控制輸入增量，將其作為設計相應目標函數的狀態(tài)量進行下一步求解.此外，因預測模型具有復雜性，且包含較多的動力學約束，故加入松弛因子[15]，目標函數的最終形式為

(14)

式(14)中：Q，R為權重矩陣；ρ為松弛因子的權重系數；ηref為輸出量參考值.

基于以上推導過程，為便于求解，路徑跟蹤問題可轉為二次規(guī)劃求解問題，即

(15)

式(15)中：Umax，Umin分別為控制量的最大和最小值；ΔUmax，ΔUmin分別為控制增量的最大和最小值；yh，ys分別為硬約束輸出和軟約束輸出.

2.4 反饋校正

在每一個控制周期里對式(15)完成求解計算后，得到控制時域內的控制輸入增量序列為

(16)

根據模型預測基本原理，將該控制序列的首個元素值作為實際控制輸入增量，再作用到系統(tǒng)中，有

(17)

系統(tǒng)不斷循環(huán)向前重新預測下一時域的輸出，通過優(yōu)化得到新的控制序列，直至最終搜索完成.

3 變時域模型預測路徑跟蹤控制

3.1 車速與預測時域對跟蹤效果的影響

預測時域對模型預測控制器的性能影響較大，預測時域類似于駕駛員模型中預瞄未來一段時刻的距離，在不同車速的工況下，不同的預瞄距離會產生不同的控制效果.根據以往的研究經驗，當車輛低速運行時，減小預瞄距離會產生相對較好的控制效果，增大預瞄距離則會降低跟蹤精度與車輛穩(wěn)定性；反之，當車輛高速運行時，增大預瞄距離能夠提高控制效果，且不會產生因預瞄距離過小導致的跟蹤精度不良、轉向抖動等問題，從而提高車輛的穩(wěn)定性.搭建Carsim/Matlab/Simulink聯合仿真平臺，在跟蹤雙移線工況下，分析不同車速和預測時域的跟蹤效果，車速(v)分別選取36，72，90，108，126 km·h-1，預測時域Np分別選取8，15，20，25，30；附著系數設置為0.8.

當車速為36 km·h-1時，不同預測時域的仿真結果對比,如圖2所示.由于車速較低，故選取前4組預測時域數據進行對比較為合理.由圖2可知：跟蹤過程較為平穩(wěn)，軌跡的跟蹤偏差均較小，橫擺角速度的變化也在合理范圍內；當Np=8時，軌跡的跟蹤偏差及橫擺角速度最優(yōu)；當Np=25時，橫向位移偏差最大.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖2 不同預測時域的仿真結果對比(v=36 km·h-1)Fig.2 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=36 km·h-1)

當車速為72 km·h-1時，選取前4組預測時域數據進行分析，不同預測時域的仿真結果對比，如圖3所示.由圖3可知：當Np=8時，車輛在80～100 m處再次發(fā)生側滑，且橫擺角速度過大，車輛的行駛穩(wěn)定性受到很大影響，故中高車速時應該適當地增大預瞄距離，給予足夠的空間響應期望軌跡；當Np=15時，跟蹤偏差適中，橫擺角速度的變化平滑自然，且在合理范圍內.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖3 不同預測時域的仿真結果對比(v=72 km·h-1)Fig.3 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=72 km·h-1)

當車速為90 km·h-1(中高車速)時，不同預測時域的仿真結果對比，如圖4所示.由于車速為72 km·h-1時，較小的預測時域會使車輛穩(wěn)定性大幅降低(圖3(b))，因此，在中高車速下，選取后4組預測時域進行分析較為合理.由圖4(a)可知：當Np=15時，在縱向位移100 m處，橫向位移偏差達到1 m，此時,橫擺角速度震蕩過大，表明車輛路徑跟蹤的穩(wěn)定性較差;當Np=20時，跟蹤偏差較小，橫擺角速度波動平滑自然，較為合理.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖4 不同預測時域的仿真結果對比(v=90 km·h-1)Fig.4 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=90 km·h-1)

當車速為108 km·h-1時，選取后4組預測時域進行分析，不同預測時域的仿真結果對比，如圖5所示.由圖5可知：當汽車在較高車速下運行時，較小的預測時域已經無法滿足路徑跟蹤精度和行駛穩(wěn)定性的要求，這是由于高速下汽車的動力學特性發(fā)生了很大的變化，車輛行駛的穩(wěn)定性急劇下降， 使車輛無法快速地響應期望的轉角；當Np為25，30時，橫擺角速度變化較為平穩(wěn)，但當Np為30時，其路徑跟蹤偏差相對不理想，最大偏差達到1 m.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度 圖5 不同預測時域的仿真結果對比(v=108 km·h-1)Fig.5 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=108 km·h-1)

當車速為126 km·h-1時，選取后4組預測時域進行分析，不同預測時域的仿真結果對比，如圖6所示.由圖6可知：當預測時域較小(Np=15)時，車輛的橫擺角速度波動較大，已超出穩(wěn)定性要求的界限，車輛嚴重失穩(wěn)，路徑跟蹤失敗，車輛完全脫離期望的軌跡；當Np=30時，雖然路徑跟蹤精度誤差最大達到1 m，但由于此時車輛運行于高速工況，應著重考慮保持超車變道時的穩(wěn)定性以保證安全.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角速度圖6 不同預測時域的仿真結果對比(v=126 km·h-1)Fig.6 Comparison of simulation results in different prediction horizons (v=126 km·h-1)

綜上可知，在低速(某一定速)工況下，較小的預測時域的跟蹤過程較為平穩(wěn)，且車輛路徑跟蹤精度較高，而較大的預測時域會增大預瞄距離，使響應期望軌跡變慢，跟蹤過程雖然平穩(wěn)，但偏差相對較大；在高速(某一定速)工況下，較大的預測時域能夠穩(wěn)定地追蹤期望路徑，但由于預瞄距離增大，存在跟蹤偏差，而較小的預測時域會犧牲車輛的穩(wěn)定性，在高速運行時十分危險，應盡量避免.

3.2 變時域自適應路徑跟蹤控制器

總結預測時域與車速的變化關系，為了使車輛在不同車速下行駛時能自適應地調節(jié)預測時域，獲取較優(yōu)的跟蹤精度及行駛穩(wěn)定性，提出一種變時域自適應路徑跟蹤控制器，即根據車輛當前的行駛速度更新預測時域.路徑跟蹤控制器流程，如圖7所示.

選取5組速度對應的較優(yōu)預測時域作為變時域自適應路徑跟蹤控制器的數據來源.將數據在Matlab軟件中進行3次多項式擬合，得出預測時域與車速v的擬合關系函數為

(18)

預測時域與車速的擬合函數關系曲線，如圖8所示.圖8中：5個圓圈代表上述對比分析后選取的實驗數據.

圖7 路徑跟蹤控制器流程 圖8 預測時域與車速的擬合函數關系曲線Fig.7 Flow chart of path tracking controller Fig.8 Fitting functional relation curves for prediction horizon and speed

3.3 仿真分析

設置仿真環(huán)境，對變預測時域自適應路徑跟蹤控制器的有效性進行驗證，并與5組數據結果進行對比分析.設置附著系數為0.8，并根據車輛的實時速度不斷更新預測時域，參與路徑跟蹤模塊進行計算.變速工況下的路徑跟蹤仿真結果，如圖9所示.

(a) 跟蹤軌跡 (b) 橫擺角 (c) 橫擺角速度

(d) 前輪偏轉角 (e) 質心側偏角 (f) 側向加速度

(g) 車速 (h) 預測時域圖9 變速工況下的路徑跟蹤仿真結果Fig.9 Path tracking simulation results of path tracking under variable speed condition

由圖9可知：當Np=8時，在縱向位移為80 m后，車速不斷提升，此時,車輛動力學特性發(fā)生較大變化，已滿足不了約束要求，控制量出現非可行解，導致在雙移線工況出口處的跟蹤參考路徑和參考橫擺角失?。活A測時域較大時，跟蹤精度較差，最大誤差接近1 m；在自適應時域控制下，車輛能準確地跟蹤參考軌跡，橫擺角雖然隨著車速的提升出現偏轉，但是最終能迅速調整并收斂于參考值，使橫擺誤差趨于0，車輛恢復穩(wěn)定行駛；變時域自適應路徑跟蹤控制器的橫擺角速度變化也較為平穩(wěn)，可保證車輛運行時的穩(wěn)定性；質心側偏角在±8°范圍內波動，當路面附著系數為0.8時，側向加速度也能保持在閾值范圍內變化，均滿足節(jié)2.2中對動力學約束的要求；隨著車速的不斷變化，控制器可實時更新對應的預測時域，從而預測下一時刻的輸出，保證不同車速下變時域跟蹤控制器良好的自適應性能.

4 結束語

建立車輛三自由度動力學模型，通過一階泰勒線性展開，近似地離散化處理等變換，完成線性時變模型預測的理論推導.加入松弛因子，避免控制器求解過程中多約束導致非可行解的情況，進一步推導預測優(yōu)化問題的矩陣形式，將模型預測路徑跟蹤控制問題轉化為二次規(guī)劃求解問題.選取不同車速及預測時域進行仿真，對比分析不同車速對應的最優(yōu)預測時域值，擬合預測時域與車速的函數關系曲線，設計變預測時域自適應路徑跟蹤控制器，實時更新預測時域，預測下一時刻的輸出值，并搭建Carsim/Matlab/Simulink聯合仿真平臺進行驗證.結果表明：當車輛變速行駛時，自適應路徑跟蹤控制器在滿足動力學約束的前提下，能夠實時更新不同車速下的最優(yōu)預測時域，并進行計算求解，在一定程度上可以解決車輛在低速和高速下的跟蹤精度問題，保持車輛行駛的穩(wěn)定性.