文 豐志勝

在面對(duì)圖形較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，我們往往會(huì)采取將圖形分解的方式來求解。而一些固定結(jié)構(gòu)的圖形在其中起到一定的支撐作用，我們將這些固定結(jié)構(gòu)的圖形稱之為幾何模型。幾何模型的結(jié)論會(huì)對(duì)問題的解決起到關(guān)鍵作用，那么究竟如何在解題中使用幾何模型呢？我們一起來看下面這道中考題。

例題（2020·江蘇宿遷）【感知】如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°。求證

圖1

【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且連接BG交CD于點(diǎn)H。求證：BH=GH。

圖2

【拓展】如圖3，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且，過E作EF交AD于點(diǎn)F，使∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G。求證：BG=CG。

圖3

【分析】圖1是初中階段非常典型的幾何模型，我們一般稱它為“一線三等角”或“K”型圖。它是構(gòu)造相似的典型結(jié)構(gòu)圖形，很容易通過相似得出結(jié)論。圖2可以進(jìn)行分解，線段CD的左邊就是圖1，右邊可以過G點(diǎn)作CD的垂線GQ，垂足為點(diǎn)Q，也能構(gòu)建出一個(gè)“K”型圖，所以圖2就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“K”型圖合并的問題，通過【感知】的結(jié)論和【探究】的條件得到BC=GQ，再構(gòu)造全等三角形得出結(jié)論。圖3在圖2的基礎(chǔ)上經(jīng)歷由特殊到一般的過程，是將直角變?yōu)橐话憬?，“一線三等角”的結(jié)論仍然成立，利用輔助線建立模型，即可根據(jù)【探究】中的思維過程解決問題。

證明：【感知】如圖1，∵∠AEB=90°，

【探究】如圖4，過點(diǎn)G作GQ⊥CD，垂足為點(diǎn)Q。

圖4

由【感知】結(jié)論易知，△ADE∽△ECB，△DEF∽△QGE。

【拓展】如圖5，在FG上取一點(diǎn)M，使得∠BME=∠AEB，作CN∥BM交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N。

圖5

由【感知】可得“K”型圖證出相似三角形。

由【探究】可證得BM=CN。

∵CN∥BM，可證△BGM≌△CGN，

∴BG=CG。

【點(diǎn)評(píng)】本題圖形分解變化的過程可以顯示為：

圖6

圖7

圖8

“一線三等角”是相似圖形中非常典型的模型。圖6是建模；圖7是模型運(yùn)用與整合，同時(shí)需要作輔助線構(gòu)建模型；圖8是模型拓展，由直角變成一般角。本題是幾何模型的運(yùn)用探究，同時(shí)也是思維建模的過程，由淺入深、由特殊到一般，形成解決問題的一般思維模式。當(dāng)然，圖8還有多種解法，在此不再一一分析，有興趣的同學(xué)可以自己嘗試一下。