文 豐志勝
在面對(duì)圖形較為復(fù)雜的幾何問題時(shí),我們往往會(huì)采取將圖形分解的方式來求解。而一些固定結(jié)構(gòu)的圖形在其中起到一定的支撐作用,我們將這些固定結(jié)構(gòu)的圖形稱之為幾何模型。幾何模型的結(jié)論會(huì)對(duì)問題的解決起到關(guān)鍵作用,那么究竟如何在解題中使用幾何模型呢?我們一起來看下面這道中考題。
例題(2020·江蘇宿遷)【感知】如圖1,在四邊形ABCD中,∠C=∠D=90°,點(diǎn)E在邊CD上,∠AEB=90°。求證
圖1
【探究】如圖2,在四邊形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,點(diǎn)E在邊CD上,點(diǎn)F在邊AD的延長線上,∠FEG=∠AEB=90°,且連接BG交CD于點(diǎn)H。求證:BH=GH。
圖2
【拓展】如圖3,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi),∠AEB+∠DEC=180°,且,過E作EF交AD于點(diǎn)F,使∠EFA=∠AEB,延長FE交BC于點(diǎn)G。求證:BG=CG。
圖3
【分析】圖1是初中階段非常典型的幾何模型,我們一般稱它為“一線三等角”或“K”型圖。它是構(gòu)造相似的典型結(jié)構(gòu)圖形,很容易通過相似得出結(jié)論。圖2可以進(jìn)行分解,線段CD的左邊就是圖1,右邊可以過G點(diǎn)作CD的垂線GQ,垂足為點(diǎn)Q,也能構(gòu)建出一個(gè)“K”型圖,所以圖2就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“K”型圖合并的問題,通過【感知】的結(jié)論和【探究】的條件得到BC=GQ,再構(gòu)造全等三角形得出結(jié)論。圖3在圖2的基礎(chǔ)上經(jīng)歷由特殊到一般的過程,是將直角變?yōu)橐话憬?,“一線三等角”的結(jié)論仍然成立,利用輔助線建立模型,即可根據(jù)【探究】中的思維過程解決問題。
證明:【感知】如圖1,∵∠AEB=90°,
【探究】如圖4,過點(diǎn)G作GQ⊥CD,垂足為點(diǎn)Q。
圖4
由【感知】結(jié)論易知,△ADE∽△ECB,△DEF∽△QGE。
【拓展】如圖5,在FG上取一點(diǎn)M,使得∠BME=∠AEB,作CN∥BM交FG的延長線于點(diǎn)N。
圖5
由【感知】可得“K”型圖證出相似三角形。
由【探究】可證得BM=CN。
∵CN∥BM,可證△BGM≌△CGN,
∴BG=CG。
【點(diǎn)評(píng)】本題圖形分解變化的過程可以顯示為:
圖6
圖7
圖8
“一線三等角”是相似圖形中非常典型的模型。圖6是建模;圖7是模型運(yùn)用與整合,同時(shí)需要作輔助線構(gòu)建模型;圖8是模型拓展,由直角變成一般角。本題是幾何模型的運(yùn)用探究,同時(shí)也是思維建模的過程,由淺入深、由特殊到一般,形成解決問題的一般思維模式。當(dāng)然,圖8還有多種解法,在此不再一一分析,有興趣的同學(xué)可以自己嘗試一下。