文 孫偉剛
同學們,函數是初中數學中的核心內容,它除了包括函數的概念、正比例函數、一次函數、反比例函數及二次函數等具體知識外,還蘊含著方程與不等式的思想方法。在歷年各地的中考試卷中,函數內容一直是命題的重頭戲,其中尤以考查一次函數的應用為甚。如何規(guī)范而完美地解答一次函數的應用問題呢?下面老師通過幾個例題予以說明,希望對同學們有所幫助。
例1(2020·陜西)(本題滿分7分)某農科所為定點幫扶村免費提供一種優(yōu)質瓜苗及大棚栽培技術。這種瓜苗早期在農科所的溫室中生長,長到大約20cm時,移至該村的大棚內,沿插桿繼續(xù)向上生長。研究表明,60天內,這種瓜苗生長的高度y(cm)與生長時間x(天)之間的關系大致如圖所示。
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)當這種瓜苗長到大約80cm時,開始開花結果,試求這種瓜苗移至大棚后,繼續(xù)生長大約多少天,開始開花結果。
【考點】求一次函數表達式、二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用。
解:(1)當0≤x≤15時,設y=kx(k≠0)。由圖像可知當x=15時,y=20,因此20=15k,解得k=
當15<x≤60時,設y=mx+b(m≠0)。由圖像可知當x=15時,y=20;當x=60時,y=170,
33-15=18(天)。(6分)
答:這種瓜苗移至大棚后,繼續(xù)生長大約18天,開始開花結果。(7分)
【點評】本題以圖像形式考查了一次函數的應用,題意簡明,但同學們想得滿分卻不那么容易,還得看解題過程是否規(guī)范。由于圖像給出的是一條折線段,因此解答第(1)問時應注意分段,“設出y與x之間的函數表達式并說明x的取值范圍”“列出方程(組)求解”“確定表達式”“作答”等解題環(huán)節(jié)缺一不可,這些都是得分要點。對于第(2)問,審題細致的同學就有優(yōu)勢,因為他們會發(fā)現題中的關鍵字眼“繼續(xù)”兩字,從而注意到x=33不是所求的天數,還需多一步,即33-15=18(天)才是最后的答案。對于審題粗枝大葉的同學,最后2分很可能會白白扣掉,會而不對,令人惋惜。
例2(2020·四川樂山)(本題滿分10分)某汽車運輸公司為了滿足市場需要,推出商務車和轎車對外租賃業(yè)務。下面是樂山到成都兩種車型的限載人數和單程租賃價格表:
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(1)如果單程租賃2輛商務車和3輛轎車共需付租金1320元,求一輛轎車的單程租金為多少元。
(2)某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業(yè)務培訓,擬單程租用商務車或轎車前往。在不超載的情況下,怎樣設計租車方案才能使所付租金最少?
【考點】一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用、一次函數的應用。
解:(1)設租用一輛轎車的單程租金為x元。
根據題意,得300×2+3x=1320,(1分)
解得x=240。(2分)
答:租用一輛轎車的單程租金為240元。(3分)
(2)①若只租用商務車
∴只租用商務車,應租6輛,所付租金為300×6=1800(元)。(4分)
②若只租用轎車,
∴只租用轎車,應租9輛,所付租金為240×9=2160(元)。(5分)
③若混和租用兩種車,設租用商務車m輛,租用轎車n輛,租金為W元。
由6m+4n=34,得4n=-6m+34,
∴W=300m+60(-6m+34)=-60m+2040。(8分)
∴1≤m≤5,且m為整數。
∵W隨m的增大而減小,
∴當m=5時,W有最小值1740,此時n=1。(9分)
綜上,租用商務車5輛和轎車1輛時,所付租金最少,為1740元。(10分)
【點評】本題以表格形式考查了一次函數的應用,減少了許多文字的贅述,突出了題干部分,便于同學們快速理解題意,準確找到解題思路。第(1)問是基礎題,“設未知數列出方程”“解方程”“作答”三部分各1分,合乎情理,分分有理。第(2)問需分類討論,三種方案一一求解,但難易程度有所不同,此時應挑選簡單的情形先解決,也就是先踩上容易得分的點,只有得到了保底的分,才有底氣去攻克較難的情形。