劉建均 孫藝瑕 李 勝

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 上海 201620)

0 引 言

汽車懸架系統(tǒng)的隔振效果對(duì)汽車行駛的平順性和安全性有著重要的影響。傳統(tǒng)的被動(dòng)懸架系統(tǒng)因具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能穩(wěn)定和價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛應(yīng)用。然而，在汽車行駛過程中被動(dòng)懸架的結(jié)構(gòu)參數(shù)無法進(jìn)行調(diào)整，使其無法適應(yīng)復(fù)雜的路況。為了克服這一缺陷，人們提出了主動(dòng)和半主動(dòng)汽車懸架系統(tǒng)。在主動(dòng)控制中，時(shí)滯現(xiàn)象是無法避免的，它對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和振動(dòng)控制效果影響很大。在某些不合理的取值情況下，時(shí)滯會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)[1-3]。鑒于此，人們提出了時(shí)滯補(bǔ)償技術(shù)來減少或抵消時(shí)滯帶來的消極影響[4-6]。進(jìn)一步的研究表明，若以時(shí)滯和反饋增益系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，在合理的設(shè)計(jì)變量取值下，時(shí)滯反饋控制不僅可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善振動(dòng)控制效果[7-9]。王在華等[10]以單自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)為例，討論了時(shí)滯狀態(tài)正反饋在改善系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的作用。Udwadia等[11]提出了將時(shí)滯狀態(tài)正反饋比例控制應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制。蔡國(guó)平等[12]以柔性梁為對(duì)象，對(duì)時(shí)滯正反饋控制技術(shù)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。李苗[13]研究了時(shí)滯正和負(fù)反饋控制對(duì)二自由度二元機(jī)翼閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。宋敦科等[14]討論了時(shí)滯反饋控制對(duì)汽車非線性半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的影響，研究表明，選取合適的反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量能有效地改善懸架系統(tǒng)的減振效果和穩(wěn)定性。王飛等[15]研究了具有時(shí)滯減振主動(dòng)控制的非線性汽車懸架系統(tǒng)，結(jié)果表明，時(shí)滯反饋和非線性聯(lián)合控制大幅提高了懸架系統(tǒng)的減振效果。

值得注意的是，目前在時(shí)滯反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)的研究多集中于控制律的設(shè)計(jì)，而對(duì)于設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題涉及較少。本文針對(duì)時(shí)滯正反饋控制下的汽車主動(dòng)懸架系統(tǒng)，同時(shí)考慮振動(dòng)控制效果和控制力輸入，以時(shí)滯和反饋增益系數(shù)為設(shè)計(jì)變量，采用粒子群優(yōu)化算法，研究了設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

1 時(shí)滯正反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)模型

時(shí)滯正反饋控制下1/4汽車懸架系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 力學(xué)模型

根據(jù)圖1的力學(xué)模型，由達(dá)朗貝爾原理得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

(1)

k2(x2-x3)=u

(2)

式中：m1和m2分別為懸架質(zhì)量和非懸架質(zhì)量；c1和c2分別為減振器阻尼和輪胎阻尼；k1和k2分別為彈簧的剛度和輪胎剛度；u為反饋控制力；x1、x2和x3分別為車身的位移、車輪的位移和路面位移激勵(lì)。

反饋控制力u和路面位移激勵(lì)x3[13]的形式如下：

(3)

x3=rsin(ωt)

(4)

式中：g為反饋增益系數(shù)；τ為時(shí)滯；r為路面激勵(lì)幅值；ω為路面激勵(lì)頻率。

對(duì)于時(shí)滯反饋控制下的汽車懸架系統(tǒng)，按照反饋增益系數(shù)的符號(hào)分為時(shí)滯正反饋控制(g<0)和時(shí)滯負(fù)反饋控制(g>0)，當(dāng)g=0時(shí)，時(shí)滯反饋控制下的汽車懸架系統(tǒng)退化為被動(dòng)汽車懸架系統(tǒng)。

設(shè)式(1)和式(2)的解為:

x1=a1sin(ωt)+b1cos(ωt)

(5)

x2=a2sin(ωt)+b2cos(ωt)

(6)

式中：a1、b1、a2和b2為待求系數(shù)。

將式(3)-式(6)代入式(1)和式(2)，由方程式等號(hào)兩端sin(ωt)和cos(ωt)的系數(shù)相等，可以得到關(guān)于a1、b1、a2和b2的線性方程組：

[a1,b1,a2,b2]T=D-1F

(7)

式中：

D=(dyz)4×4y,z=1,2,3,4

d11=d22=k1-m1ω2-gω2cos(ωτ)

d12=-d21=-c1ω-gω2sin(ωτ)

d13=d24=-k1

d14=-d23=c1ω

d31=d42=-k1+gω2cos(ωτ)

d32=-d41=c1ω+gω2sin(ωτ)

d33=d44=k1

d34=-d43=-c1ω-c2ω

F=[0,0,k2r,c2rω]T

由式(7)可得車身加速度幅值A(chǔ)、車輪加速度幅值B和時(shí)滯正反饋控制力幅值U的表達(dá)式如下：

(8)

(9)

(10)

2 穩(wěn)定性分析及數(shù)值驗(yàn)證

2.1 穩(wěn)定性分析

考慮到時(shí)滯正反饋控制的引入會(huì)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來很大影響，因此必須對(duì)時(shí)滯正反饋控制下的汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

設(shè)式(1)和式(2)的特征根為s，由拉普拉斯變換可得時(shí)滯正反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)的特征方程為：

P(s)+Q(s)e-sτ=0

(11)

其中：

P(s)=m1m1s4+(c1m1+c1m2+c2m1)s3+(c1c2+

k1m1+k1m2+k2m1)s2+(c1k2+c2k1)s+k1k2

Q(s)=(-k2-c2s-m2s2)g

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是式(11)的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部[16]。若式(11)存在非零解，則當(dāng)s=ωci(ωc>0)時(shí)，系統(tǒng)有可能發(fā)生穩(wěn)定性切換。將s=ωci代入式(11)，分離實(shí)部和虛部可得：

(12)

(13)

由式(12)和式(13)可求得sin(ωcτ)和cos(ωcτ)的表達(dá)式。根據(jù)sin2(ωcτ)+cos2(ωcτ)=1，可得關(guān)于ωc的多項(xiàng)式方程：

G(ωc)=0

(14)

當(dāng)反饋增益系數(shù)取某一定值時(shí)，式(14)的系數(shù)決定了根的分布情況。當(dāng)式(14)無正實(shí)根時(shí)，系統(tǒng)不發(fā)生穩(wěn)定性切換，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性與τ的取值無關(guān)，僅取決于τ=0時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)式(14)存在N個(gè)正實(shí)根ωc1<ωc2<…<ωcN時(shí)，對(duì)于每個(gè)根ωcm(m=1,2,…,N)都存在無窮多個(gè)臨界時(shí)滯量τcn(n=1,2,…,∞)與之對(duì)應(yīng)。在臨界時(shí)滯量τcn處是否發(fā)生穩(wěn)定性切換取決于特征根s隨時(shí)滯的變化情況。

當(dāng)τ從τcn-ε增加到τcn+ε(0<ε?1)，式(11)的特征根實(shí)部變化情況由以下方程確定[17]：

(15)

隨著時(shí)滯τ的增加，當(dāng)穿過臨界時(shí)滯量τcn時(shí)，如果RT=1，式(11)的特征根從左到右穿過虛軸，不穩(wěn)定特征根的數(shù)量增加兩個(gè)；如果RT=-1，其特征根從右到左穿過虛軸，不穩(wěn)定特征根的數(shù)量減少兩個(gè)。由此，根據(jù)特征根的變化情況可以得到反饋增益系數(shù)取某一定值時(shí)，時(shí)滯的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)間。依次取不同的反饋增益系數(shù)值，重復(fù)上述分析過程，可得到反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的兩參數(shù)平面上系統(tǒng)的穩(wěn)定性分區(qū)圖。

取系統(tǒng)的物理參數(shù)[18]如下：m1=600 kg，m2=60 kg，k1=18 000 N/m，k2=200 000 N/m，c1=2 500 N·s/m，c2=1 000 N·s/m，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性分區(qū)圖如圖2所示。

圖2 穩(wěn)定性分區(qū)圖

當(dāng)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的取值位于圖2的灰色區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的取值位于圖2的空白區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)。

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述穩(wěn)定性分析的正確性，在圖2中隨機(jī)選取4個(gè)點(diǎn)M1、M2、M3、M4。其中:點(diǎn)M2和M4對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng)，點(diǎn)M1和M3對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng)。

取r=0.01 m，Ω=9 Hz(Ω=ω/2 π)，分別將上述四點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(1)和式(2)，利用Runge-Kutta法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，得到四個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的車身加速度時(shí)程響應(yīng)，如圖3所示。

圖3 時(shí)程響應(yīng)

由圖3(b)和(d)可見，車身加速度響應(yīng)幅值收斂到某一定值，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；由圖3(a)和(c)可見，車身加速度響應(yīng)幅值發(fā)散，此時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)。這與圖2中四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性一致，從而驗(yàn)證了圖2給出的穩(wěn)定性分區(qū)圖的正確性。

3 設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)優(yōu)化及驗(yàn)證

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化

以車身加速度和時(shí)滯正反饋控制力幅值的線性組合作為目標(biāo)函數(shù)f，其表達(dá)式[19]如下：

f=z11z21A+z12z22U

(16)

式中：z11和z12為本征權(quán)因子；z21和z22為校正權(quán)因子。

本征權(quán)因子反映了各目標(biāo)之間的相對(duì)重要性；校正權(quán)因子用于消除各目標(biāo)之間量綱和量級(jí)差別方面的影響。

以反饋增益系數(shù)和時(shí)滯為設(shè)計(jì)變量，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化求解。以目標(biāo)函數(shù)f作為適應(yīng)度函數(shù)，優(yōu)化過程中相關(guān)參數(shù)的設(shè)置如下：本征權(quán)因子z11和z12分別為0.6和0.4，校正權(quán)因子z21和z22分別為1.623 0和0.001 2，粒子數(shù)為500，空間維數(shù)為2，最大迭代次數(shù)為1 000，學(xué)習(xí)因子為0.9，慣性權(quán)重為0.8，速度限制為-1～1 m/s，位置限制為-500～500 kg和0～1.4 s。

在1～20 Hz的頻段內(nèi)每間隔0.5 Hz取離散頻率點(diǎn)，在每個(gè)頻率點(diǎn)處對(duì)目標(biāo)函數(shù)f進(jìn)行優(yōu)化，得到該頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)反饋增益系數(shù)gop和時(shí)滯取值τop。

為了便于定量分析，定義最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下車身加速度、車輪加速度和時(shí)滯正反饋控制力的幅值變化百分比分別為ΦA(chǔ)、ΦB和ΦU，具體表達(dá)式為：

(17)

優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果

可以看出，在某些路面激勵(lì)頻率點(diǎn)存在多個(gè)最優(yōu)時(shí)滯量，這可給實(shí)際工程中時(shí)滯的取值提供一定的靈活性。

最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制(g=gop,τ=τop)、無時(shí)滯正反饋控制(g=gop,τ=0)和被動(dòng)控制(g=0)下車身加速度幅值、車輪加速度幅值、時(shí)滯正反饋控制力幅值隨頻率的變化情況分別如圖4所示。

圖4 幅值隨頻率的變化情況

由表1、圖4(a)和(b)可知，與被動(dòng)控制和無時(shí)滯正反饋控制相比，最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下車身的加速度幅值明顯降低。當(dāng)Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時(shí)，車身加速度幅值分別降低了75.04%和38.60%，而車輪加速度幅值分別增加了134.99%和545.89%。這表明在最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)的隔振效果得到了明顯改善，同時(shí)車身和車輪之間存在能量傳遞。由表1和圖4(c)可知，當(dāng)Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時(shí)，相較于無時(shí)滯正反饋控制力，時(shí)滯正反饋控制力的幅值分別降低了74.79%和38.59%。這表明在最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)的耗能(消耗的能量)得到大幅降低。

3.2 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性，從表1中選取頻率Ω=5 Hz和Ω=9 Hz，對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行數(shù)值模擬，分別得到兩個(gè)頻率下的車身加速度、車輪加速度和時(shí)滯正反饋控制力的時(shí)程曲線，分別如圖5和圖6所示。

圖5 當(dāng)Ω=5 Hz時(shí)的時(shí)程曲線

圖6 當(dāng)Ω=9 Hz時(shí)的時(shí)程曲線

由圖5和圖6可知，當(dāng)Ω=5 Hz和Ω=9 Hz時(shí)，車身加速度、車輪加速度和時(shí)滯正反饋控制力的時(shí)程曲線與表1中的優(yōu)化結(jié)果一致。由此表明，設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化結(jié)果是可靠的。

4 結(jié) 語

本文通過粒子群優(yōu)化算法研究了1/4汽車懸架系統(tǒng)中時(shí)滯正反饋設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，結(jié)果表明，在最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量取值下汽車懸架系統(tǒng)的隔振效果得到有效提升。在1～20 Hz的頻率范圍內(nèi)，相較于無時(shí)滯正反饋控制，最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下車身加速度幅值至多可降低75.04%，控制力幅值至多可降低74.79%。這不僅使汽車懸架系統(tǒng)的隔振效果得到明顯改善而且還使系統(tǒng)的耗能得到大幅降低。此外，在某些頻率下，存在多個(gè)最優(yōu)時(shí)滯量。

下一階段將關(guān)注汽車懸架系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，從實(shí)驗(yàn)方面驗(yàn)證最優(yōu)時(shí)滯正反饋控制下汽車懸架系統(tǒng)的隔振性能。