馬和平

（湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430068）

常微分方程對于信息與計算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生來講是一門非常重要專業(yè)基礎(chǔ)課。而常微分課程的特點是方程類型多，方法多，與其他課程銜接緊密。需要較強的邏輯性推理能力以及演算能力。因此想要學(xué)好常微分方程的前提是：

第一：學(xué)生必須對數(shù)學(xué)分析中的不定積分，微分知識以及高等代數(shù)中線性方程組的知識結(jié)構(gòu)清楚。

常微分方程第二章內(nèi)容是一階微分方程的初等解法，其實可以叫做初等積分法，即用初等積分的方法求解微分方程。例如：變量分離方程tanydx?cotxdy= 0通過分離變量方法化為數(shù)學(xué)分析上冊學(xué)生已經(jīng)學(xué)過如何求解各種形式的不定積分的方法，對于基礎(chǔ)知識扎實的學(xué)生來講很容易求出兩邊的不定積分，從而得到方程的通解。而對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，這個時候就無法繼續(xù)下去，選擇放棄，這會導(dǎo)致失去信心。所以如此簡單的微分方程，雖然知道求解方法但是不會不定積分則是前進中的一大絆腳石。再比如在遇到線性微分方程時，可以判斷出是可分離變量方程，接出通解為，通過常數(shù)變易法，另，再對y(x) 兩邊求導(dǎo)數(shù)時，學(xué)生對的導(dǎo)數(shù)求解不熟練，導(dǎo)致后面做題是求不出C'(x) 所滿足的方程，因此找不到方程的通解。當(dāng)講解第四章高階微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理的時候，用到高等代數(shù)中線性方程組解的特點以及線性相關(guān)與無關(guān)的知識。例如，討論高階線性微分方程：的n解線性無關(guān)情況時，通過反證法，巧妙構(gòu)造線性方程組，由高等代數(shù)中知識告訴我們齊次線性方程組系數(shù)行列式為零則得到它有非零解。學(xué)生如果對這部分知識不熟悉，則體會不到學(xué)科之間的融會貫通的奧妙，對于常微分學(xué)習(xí)的興趣大大降低，而對于基礎(chǔ)知識扎實的學(xué)生，這種融會貫通形成促進作用，增加學(xué)習(xí)這門課程的信心，體會到學(xué)習(xí)的樂趣。

第二：對教師來講，教師課前要精心設(shè)計與備課。

教師是這門課程的引路人，學(xué)生對課程的主動性與積極性很大程度上取決于教師對待教學(xué)的態(tài)度。教師在第一堂課中與學(xué)生講解我們這門課程是建立在數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)及解析幾何的基礎(chǔ)上，提醒學(xué)生課下復(fù)習(xí)這三門課程。

1）對于課程要有嚴(yán)格的紀(jì)律。制定獎懲措施：對于遲到的學(xué)生，定下規(guī)矩，讓他回答上節(jié)課學(xué)過的知識點，才能進入課堂。手機必須入袋，如有特殊情況請說明。請假必須有正規(guī)請假條，提交交給老師。作業(yè)按時上交，扣平時成績2分。對于上課主動到黑板做題學(xué)生，次數(shù)大于等于3次，平時成績直接給滿分。激勵學(xué)生善于積極思考。

2）教師對每個章節(jié)需要用到的以往的知識點，提前告知學(xué)生，也即教師對課程中整體內(nèi)容給學(xué)生進行梳理，以便學(xué)生對知道自己該補習(xí)的內(nèi)容，增強學(xué)生的好奇心與自信心。

首先要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的課前預(yù)習(xí)習(xí)慣。當(dāng)天要講的新課，要求學(xué)生在課前預(yù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過自己已經(jīng)掌握的知識來理解新課程的內(nèi)容，把教材的疑點難點記錄在冊[1]。對于常微分方程中沒有學(xué)過的復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容，讓學(xué)生分成小組，課前查閱資料。例如對z(t)如何求極限，導(dǎo)數(shù)以及求導(dǎo)法則進行證明。探討歐拉公式是如何得到的？哪個公式被稱為最美的公式？為什么？復(fù)變函數(shù)是不是也有與實函數(shù)類似的基本初等函數(shù)？三角函數(shù)如何用指數(shù)函數(shù)表示？指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式如何來的？共軛復(fù)數(shù)概念？如果復(fù)變函數(shù)z(t)滿足齊次的解，那么它的共軛是不是方程的解呢？z(t)的實部與虛部是不是方程的解？教師在課堂上提出問題，讓學(xué)生帶著問題走進下次課的課堂。并且提問點名各小組分享他們查閱的資料。這種方式一方面打消了學(xué)生對未學(xué)過的知識的畏懼，另一方面自己動手查閱的資料，記憶深刻，培養(yǎng)了學(xué)生網(wǎng)上查閱資料，提高學(xué)生自學(xué)能力，拓寬了學(xué)生的視野，對講解用特征根法求解微分方程的通解奠定了扎實的基礎(chǔ)。實現(xiàn)了以學(xué)生為中心，教師作為輔助，補充說明，完善，總結(jié)。

3）要求學(xué)生做筆記，檢查學(xué)生的筆記，評比出最美筆記，讓學(xué)生感受到榜樣的力量。學(xué)生如果只是眼高手低，則到后面知識積累越來越多，學(xué)生記憶會越來越模糊，單純靠記憶記公式，對于論證以及演算部分很難掌握住。所以教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會記講課中問題的引出，分析的層次，解決的關(guān)鍵，重要的結(jié)論以及意義，自己的疑問與體會。從而從根本上改變學(xué)生“上課記筆記、下課抄筆記、考試背筆記、畢業(yè)仍筆記”的現(xiàn)狀，從而培養(yǎng)學(xué)生獨立求知和獨立思考，解決問題的能力[2]。

4）鼓勵學(xué)生有問題及時向老師向同學(xué)討論，每講解新知，預(yù)留40秒時間，留白，詢問學(xué)生是否有疑問，可以隨時提出來，絕不留著困惑留到明天。實踐證明，善于問問題，總結(jié)的學(xué)生學(xué)的扎實，成績較好。并且學(xué)生提出問題，對教師的教學(xué)工作也起到促進作用。通過學(xué)生的問題，教師反思，與學(xué)生進行討論。使得課堂更加有活力，學(xué)生更多地參與教學(xué)工作中。

5）引入數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在講解奇解與包絡(luò)時，難點在于如何找到奇解與包絡(luò)，雖然書中給了判定定理，但是此定理不是萬能的，還需要進一步驗證。此時學(xué)生可能會比較困惑，因為很多方程的通解與特解，從幾何上來看是復(fù)雜的曲線，手作圖是做不出來的，也呈現(xiàn)不出效果。因此鼓勵學(xué)生使用軟件求解微分方程的解，并做出圖形，觀察解的優(yōu)美的幾何圖形，分析奇解情況。

常微分方程課程對數(shù)學(xué)以及信息與計算科學(xué)的學(xué)生來講是一門非常重要的基礎(chǔ)課，起到承上啟下的作用。一方面，它是學(xué)生學(xué)習(xí)偏微分方程的基礎(chǔ)；另一方面，對于考數(shù)學(xué)專業(yè)相關(guān)的研究生的學(xué)生來講，常微分方程是很多學(xué)校初試或是復(fù)試都考的課程。所以對數(shù)學(xué)感興趣，想考研的學(xué)生來講，學(xué)好常微分方程，對學(xué)生考研增加了信心。另外，隨著大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的普及，并成為高等院校提高素質(zhì)教育及教學(xué)改革的重要手段，學(xué)好常微分方程顯得越來越重要，常微分方程的作用也顯得越來越突出[3]。

活到老，學(xué)到老，對于教師，時刻銘記這句話，在教學(xué)中不斷探索與進步。