鄭彭丹

(湖南省長沙市中南林業(yè)科技大學涉外學院 410004)

一、引言

函數是我們解決實際問題的重要工具，初等數學中我們討論了一次函數和二次函數的定義、圖像和性質等初等數學中的重要知識點.在大學階段，我們深入地學習微積分這個工具，對函數的討論也會使用更高級的微積分的工具來進行.那么往往我們的學習思路會固化，比方說對函數性態(tài)的討論，我們馬上會想到要去求函數的一階導數和二階導數，然后根據定理去判斷.事實上，在考試如戰(zhàn)場的碩士研究生入學考試當中，如果我們能快速的解出一道題，節(jié)約寶貴的時間，不按部就班的使用高等數學中的定理結論，而是另辟蹊徑的使用一下初等數學中的方法，也未嘗不可.下面我們舉幾個例子，主要看一下二次函數和一次函數在數學考研題中的妙用.

二、幾道數學考研題

例1(2004數學二、三，4分)設f(x)=|x(1-x)|，則( ).

A.x=0是f(x)的極值點，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點

B.x=0不是f(x)的極值點，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點

C.x=0是f(x)的極值點，(0,0)是曲線y=f(x)的拐點

D.x=0不是f(x)的極值點，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點

從而當-10,f(x)凹，當1>x>0時，f″(x)<0,f(x)凸，于是(0，0)為拐點.又f(0)=0,x≠0、1時，f(x)>0，從而x=0為極小值點，所以，x=0是極值點，(0，0)是曲線y=f(x)的拐點，故選C.

這道題考察的是分段函數的極值點和拐點情況，按照要求只需要討論該函數在x=0處f′(x),f″(x)的符號即可.這道題的難點在于函數是一個以絕對值形式給出來的分段函數，求分段函數的導數增加了題目的難度.整個求解過程稍顯繁瑣，我們可以用二次函數圖像快速的把這道題解出來.不難看出函數y=x(1-x)是一個二次函數，而且與x軸相交于(0,0)、(1,0)兩點，開口向下，見圖1，對函數取絕對值，相當于把圖1里的函數圖像位于x軸下方的圖像做一個對稱，位于x軸上方，見圖2所示.

于是我們從圖2上很容易判斷出在原點處，函數取到極小值，且左右兩側函數圖像的凹凸性發(fā)生了改變，點(0,0)是拐點.這是一道選擇題，不需要具體的解題過程，我們充分利用二次函數及其圖像的特點，迅速找到答案.無獨有偶，下面的例2也可以做類似的處理.

例2 (2001數學二，3分)曲線y=(x-1)2(x-3)2的拐點個數為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

解法一此道題需要知道拐點的個數，因此我們依然需要對函數求一階導數和二階導數，

y′=2(x-1)(x-3)2+2(x-3)(x-1)2

y″=2(x-3)2+4(x-1)(x-3)+4(x-3)(x-1)+2(x-1)2

=2(x-3)2+8(x-1)(x-3)+2(x-1)2

=4(3x2-12x+11)

此時拐點只可能是二階導數為零的點，我們不妨對函數再求三階導

y?=24(x-2)

解法一是最常規(guī)的一種解題思路，只是計算上頗繁瑣，在函數二階導數的化簡上要浪費比較多的時間，另外計算上非常容易出現失誤.還有一種解題方法可以避開化簡二階導數，見下面的解法二.

解法二由于本題的函數曲線關于直線x=2對稱，所以它要么沒有拐點，要么有兩個拐點，直接排除選項(B)和(D)，又將y′化簡得到y(tǒng)′=4(x-1)(x-2)(x-3)，對導函數y′運用羅爾定理，知道y″有兩個零點分別位于區(qū)間(1,2)和(2,3)內，且y?≠0，故y=f(x)有兩個拐點.

解法二的關鍵是對y′進行了變形，從而想到了運用羅爾定理，找到y(tǒng)″的兩個零點，而不是直接計算.雖然解法二能成功的避開計算上的繁瑣，但是要能想到利用羅爾定理，對學生的數學能力也是要求比較高的.那么還有沒有其他的解題思路呢？我們似乎從上面的例1受到一些啟發(fā)，下面我們來看解法三.

解法三函數y=(x-1)(x-3)是一個二次函數，而且，我們可以大概的知道它的圖像如圖3所示，對于函數y=(x-1)2(x-3)2的圖像，類似例1，我們可以得到|(x-1)(x-3)|的圖像，并對其適當放縮即可，大概如圖4所示，不難看出，函數y=f(x)有兩個拐點.

比較上述三種解法，顯然，我們巧妙的使用二次函數圖像的特點，非常迅速的而且很簡單的就解出了這道題.例1和例2均是利用了二次函數的特點，快速得到選擇題的答案.那么，我們稍作總結，例1和例2考察的是函數的性態(tài)，可以結合函數圖像找出答案，恰巧題目已知函數的圖形又可以通過熟知的初等數學中的函數圖形來得到，因此，諸如這樣的求函數性態(tài)的小題題型，當函數圖像能夠容易得到時我們可以考慮圖像法.

例3(2016數學二，4分)設f(x)具有二階導數，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間[0,1]上( ).

A.當f′(x)≥0時，f(x)≥g(x)

B.當f′(x)≥0時，f(x)≤g(x)

C.當f″(x)≥0時，f(x)≥g(x)

D.當f″(x)≥0時，f(x)≤g(x)

解根據題設選項，欲比較f(x)和g(x)的大小，不妨令F(x)=f(x)-g(x)，則F(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，且F(0)=F(1)=0，對F(x)求導得F″(x)=f″(x)，故當f″(x)≥0時，函數F(x)是凹函數，也即有F(x)≤F(1)=F(0)=0，從而F(x)=f(x)-g(x)≤0，選D.

在上述解答過程中，我們構造輔助函數F(x)，利用F″(x)的符號，判斷出函數F(x)的凹凸性，從而找到答案.實際上，這道題中g(x)就是一個一次函數，而且是連接兩點(0,f(0))和(1,f(1))的直線方程，當f″(x)≥0時，函數f(x)是凹函數，由凹函數的定義立馬有f(x)≤g(x)，于是答案選D.因此，如果熟知一次函數的性質和圖像，這道題基本上不需要計算，可以很快找到答案.

三、結論

本文通過分析幾道考研數學題，發(fā)現初等數學的基礎知識在高等數學解題過程也會有妙用.本文著重分析了一次函數和二次函數在考研選擇題中的妙用，一來給參加碩士研究生考試的廣大考生提供一種解題思路，二來也啟發(fā)低年級的學生們，無論處在學習的哪個階段，都需要打好基礎，只有基礎牢固，才能對數學知識靈活運用，巧妙運用！