馬艷麗，聶東明，于 萍

(安徽新華學院 通識教育部，合肥 230088)

0 引 言

傳染病是危害人類身體健康的大敵，傳染病的防治一直受到高度重視。世界各國政府和研究機構(gòu)采取了一系列的預防和控制措施，已取得輝煌的成果。但是，隨著經(jīng)濟發(fā)展的全球化，生態(tài)環(huán)境的變化及病原體抗藥性的增強，一些已被滅絕或治愈的傳染病和一些新出現(xiàn)的傳染病呈現(xiàn)出全球化傳播和發(fā)展的趨勢。因此，不管是國內(nèi)還是國外對傳染病進行有效的預防和控制都是刻不容緩的。

此外，為了有效地預防和控制傳染病的發(fā)生和發(fā)展，通常采取相應的預防和控制策略，并且同樣的防控策略可以用不同的方式來體現(xiàn)，如有連續(xù)接種與脈沖接種、連續(xù)剔除與脈沖剔除等[8]。目前已有大量的文獻[9-13]研究了連續(xù)方式的預防和控制策略對傳染病流行的影響，但關(guān)于不同預防和控制措施的混合且對各種防控措施進行比較的文獻還不多見。針對上述情況，本文將連續(xù)方式的接種、剔除和隔離干擾引入模型，建立了一類具有非單調(diào)傳染率的SIQR傳染病模型，從理論研究和計算機模擬方面分析了無病平衡點和地方病平衡點的存在性以及全局穩(wěn)定性。

1 模型的假設(shè)及建立

根據(jù)上述假設(shè)和說明，可以得到如下SIQR倉室結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 SIQR傳染病模型框圖

得到相應的SIQR微分方程模型:

(1)

2 平衡點的存在性分析

對于式(1),令d+p1+γ+δ+k=m，ε+d+p2=n，則可以得到如下系統(tǒng):

(2)

(3)

總?cè)巳毫顬镹(t)，N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。由式(3)可得到總?cè)巳悍匠?

從而得到:

且D是式(3)的一個最大正向不變集。

令式(3)中各個方程的右端項等于零:

(4)

通過計算得到式(3)的無病平衡點：

當S=m0(1+ρI2)時，得到:

m0(d0+p0)ρI2+m0I+m0(d0+p0)-A0=0

(5)

定義疾病流行與否的閾值-基本再生數(shù)：

當R0>1時，由式(4)和(5)得到式(3)的唯一地方病平衡點E*(S*,I*,Q*,R*)，其中：

綜上討論可以得到如下定理:

定理1 式(3)總存在無病平衡點E0；當R0>1時，式(3)還存在唯一的地方病平衡點E*。

3 無病平衡點的穩(wěn)定性分析

定理2 當R0<1時，式(3)的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，無病平衡點E0是不穩(wěn)定的。

證明當基本再生數(shù)R0<1時，在無病平衡點E0處，式(3)的雅可比矩陣是

矩陣J(E0)的特征方程為

(λ+d0+p0)(λ+m0(1-R0))(λ+1)(λ+d0)=0

可得4個特征值分別為

λ1=-(d0+p0)，λ2=m0(R0-1)

λ3=-1，λ4=-d0

當R0<1時，λ1<0，λ2<0，λ3<0，λ4<0，即矩陣J(E0)的一切特征值的實部都是負數(shù)，所以，式(3)的無病平衡點E0具有局部漸近穩(wěn)定性；當R0>1時，特征值λ2>0，即矩陣J(E0)至少存在一個特征值，它的實部是正數(shù)。因此，無病平衡點E0在閉集D內(nèi)是不穩(wěn)定的。

定理3 當R0<1時，式(3)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據(jù)式(3)的第一個表達式可以得到

(6)

解式(6)中的第一個和第二個方程可以得到:

從而得到:

(7)

將式(7)代入式(6)中的第3個表達式得到如下結(jié)果:

4 地方病平衡點的穩(wěn)定性分析

定理4 當R0>1時，式(3)的地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定。

證明在地方病平衡點E*處，系統(tǒng)式(3)的雅可比矩陣是

則矩陣J(E*)的4個特征值分別為λ1，λ2，λ3=-1<0，λ4=-d0<0，其中特征值λ1和λ2也是二階矩陣

的特征根，即是方程λ2+a1λ+a2=0的兩個根，其中，

由Hurwitz判據(jù)，在方程λ2+a1λ+a2=0時，有

H2=a1a2=

即特征值λ1<0，λ2<0。又由于特征值λ3=-1<0，λ4=-d0<0，從而得到矩陣J(E*)的一切特征值的實部都是負的。所以，當R0>1時，式(3)的地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定。

定理5 當R0>1時，式(3)的地方病平衡點E*全局漸近穩(wěn)定。

證明因為式(3)的前兩個式子不含有Q和R，故研究式(3)的子系統(tǒng):

(8)

對于式(8)，構(gòu)造Liapunov函數(shù):

則V(t)是正定函數(shù)，因為V(t)沿著式(8)的導數(shù)有:

考慮式(3)的第三個方程，可以得到其極限方程為

借助洛必達法則得到:

同理，可以計算出:

所以，在區(qū)域D上，式(3)的地方病平衡點E*具有全局吸引性，結(jié)合定理4，故則當R0>1時，式(3)的地方病平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的。

5 計算機模擬

在式(3)中，選取參數(shù)A0=0.2，ρ=3，d0=0.4，p0=0.2，m0=0.5，γ0=0.1，δ0=0.2，ε0=0.4。取 6組不同的初值分別為S(0)=0.15，I(0)=0.03，Q(0)=0.2，R(0)=0.3；S(0)=0.075，I(0)=0.025，Q(0)=0.1，R(0)=0.05；S(0)=0.2，I(0)=0.05，Q(0)=0.03，R(0)=0.1；S(0)=0.25，I(0)=0.05，Q(0)=0.16，R(0)=0.2；S(0)=0.4，I(0)=0.1，Q(0)=0.08，R(0)=0.12；S(0)=0.1，I(0)=0.2，Q(0)=0.05，R(0)=0.15。通過計算可得R0=0.666 7<1，無病平衡點E0=(0.333,0,0,0.167)，利用Matlab軟件對式(3)進行數(shù)值模擬可以得到圖2。

圖2 R0=0.666 7時，6組不同初值時的無病平衡點的全局穩(wěn)定性示圖

選取參數(shù)A0=4，ρ=0.02，d0=0.5，p0=0.2，m0=0.8，γ0=0.1，δ0=0.1，ε0=0.25。取6組不同的初值分別為S(0)=0.6，I(0)=3.4，Q(0)=2.2，R(0)=4.5；S(0)=1.5，I(0)=3，Q(0)=2.4，R(0)=4；S(0)=3.5，I(0)=0.5，Q(0)=1.8，R(0)=2；S(0)=2.5，I(0)=1.6，Q(0)=0.9，R(0)=3.4；S(0)=3，I(0)=1.2，Q(0)=4，R(0)=2.6；S(0)=2，I(0)=2.6，Q(0)=0.5，R(0)=1.5。通過計算可得R0=7.142 9>1，地方病平衡點E*=(1.065,4.068,0.408,1.446)，利用Matlab軟件對式(3)進行數(shù)值模擬可以得到圖3。

圖3 R0=7.142 9時，6組不同初值時地方病平衡點的全局穩(wěn)定性示圖

由圖2和圖3可以看出，對于選定的初值，當R0<1時，對于式(3)的解(S,I,Q,R)都趨向于無病平衡點E0，從而證實定理3是正確的；當R0>1時，式(3)的解(S,I,Q,R)都穩(wěn)定于地方病平衡點E*，從而說明定理5的準確性。

6 接種、剔除和隔離策略的比較和分析

(9)

(10)

(11)

由式(9)(10)和(11)可以得到，Δp<0，Δδ<0，Δk<0，因此，在對傳染病進行預防接種、隔離和剔除策略后，都可以減少基本再生數(shù)R0，從而有利于控制傳染病的發(fā)生和傳播。

由式(10)(11)可以得到，Δδ=Δk，從而說明代表隔離強度的參數(shù)δ，與代表剔除強度的參數(shù)k，對于基本再生數(shù)的影響是相同的。在其他情況不變的條件下，從基本再生數(shù)的角度看來，隔離和剔除策略對于疾病流行性態(tài)的影響是相同的。但從實際角度看來，隔離的種群需要花費很大的治療成本，而剔除則花費的成本較小。因此，對于沒有限制的如動物種群，可以用剔除的方法來消除疾病，但對某些種群，剔除策略是不可行的，而隔離無疑成了替代的方式。

由式(9)(10)可知，Δp≠Δδ，即接種策略對于基本再生數(shù)的影響不同于隔離策略。將Δp與Δδ做比值，得到:

但是，從實際的角度出發(fā)，由于易感者S(t)的數(shù)量通常大于染病者I(t)的數(shù)量或隔離者Q(t)的數(shù)量，增加單位預防接種比例的成本遠遠高于改善單位隔離成本或剔除成本。因此，在實施預防和控制傳染病的實際策略時應考慮混合策略的情況，使得成本和效益最佳。

7 結(jié) 論

將連續(xù)方式的接種、剔除和隔離干擾引入模型，構(gòu)建了一類具有非單調(diào)傳染率的SIQR傳染病模型。利用定義法給出了模型的基本再生數(shù)R0，通過計算得到了無病平衡點和地方病平衡點的存在性。從理論研究和計算機模擬方面證明了無病平衡點和地方病平衡點的全局穩(wěn)定性，并借助基本再生數(shù)R0的偏導數(shù)，對連續(xù)方式的接種、剔除和隔離策略進行了比較和分析。本文考慮的接種、剔除和隔離策略是連續(xù)方式的，且隔離策略僅僅對染病者實施，對于其他方式，如考慮脈沖方式，或?qū)σ赘姓吒綦x等問題是今后主要努力研究的方面。

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