袁屹杰，紀(jì) 明，張衛(wèi)國，伊興國，王 毅，施道云

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

隨著光電傳感器性能的逐漸提升，對平臺隔振的需求也越來越嚴(yán)格[1]。傳統(tǒng)線性隔振器僅能有效隔離頻率大于倍自身諧振頻率的擾動，在一些擾動頻率較低的應(yīng)用中，為了滿足隔振需求，隔振器剛度需要降低至容易導(dǎo)致失穩(wěn)的水平。而HSLDS 隔振器[2]則較好地解決了上述問題，在維持一定靜剛度的前提下，通過非線性調(diào)節(jié)，可以降低動態(tài)剛度，甚至達到“準(zhǔn)零剛度”（QZS）狀態(tài)[3]，具備良好的應(yīng)用前景，已成為行業(yè)的研究熱點。

目前，HSLDS 隔振器的多數(shù)研究聚焦于負剛度機構(gòu)理論研究層面，提出了多種負剛度機構(gòu)形式[4-11]，對負剛度機構(gòu)的幾何參數(shù)、彈性器件參數(shù)進行了充分分析。部分研究涉及了非線性隔振下摩擦力直接作用于負載的特性[12-13]以及幾何非線性摩擦力對隔振的影響[14]，但鮮有研究分析負剛度機構(gòu)的質(zhì)量及內(nèi)部摩擦力對隔振的影響。在一些應(yīng)用中，如采用連桿形式的負剛度機構(gòu)（特別是多層連桿結(jié)構(gòu)[10]），內(nèi)部運動環(huán)節(jié)較多，摩擦力因素影響較大，并且隔振過程中，負剛度機構(gòu)也關(guān)聯(lián)地運動，自身質(zhì)量的影響難以忽視，否則將導(dǎo)致理論分析與實際存在較大差異，不利于指導(dǎo)實踐。

針對上述問題，本文以一種具有較靈活剛度非線性調(diào)節(jié)能力的菱形連桿負剛度機構(gòu)HSLDS 隔振器（簡稱菱形HSLDS 隔振器）為目標(biāo)，采用虛功法建立負剛度機構(gòu)等效摩擦力數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建隔振器拉格朗日方程，并采用諧波平衡法[15]求解，分析負剛度機構(gòu)的質(zhì)量及摩擦力因素對隔振的影響。

1 隔振器建模

菱形HSLDS 隔振器如圖1 所示，由圓周均布的4 組菱形負剛度機構(gòu)與包含4 個主隔振器的傳統(tǒng)隔振平臺并聯(lián)構(gòu)成。菱形連桿機構(gòu)的拉簧處于拉伸狀態(tài)時，菱形連桿機構(gòu)產(chǎn)生負剛度效應(yīng)。

圖1 菱形HSLDS 隔振器Fig.1 Rhombic HSLDS vibration isolator

1.1 摩擦力建模

為便于分析，本文僅考慮動庫倫摩擦，忽略粘滯摩擦影響，同時僅考慮由拉簧產(chǎn)生正壓力導(dǎo)致的鉸接副摩擦力，忽略鉸接副由端面及徑向扭轉(zhuǎn)導(dǎo)致的摩擦力，并假定摩擦系數(shù)不受外力影響，且A、C處鉸接軸不存在繞其軸線的轉(zhuǎn)動，B、D處鉸接軸相對于BD連線不存在轉(zhuǎn)動，如圖2 所示。當(dāng)4 組負剛度機構(gòu)共同作用時，依據(jù)虛功定理存在以下關(guān)系：

式中：M1、M2為摩擦力矩；F為負剛度機構(gòu)在振動方向的等效摩擦力；h＞0，即圖2 所示狀態(tài)，在（1）式取上端符號，反之取下端符號。依據(jù)設(shè)定有：M1=f1μr、M2=f2μr，其中f1、f2為連桿壓力， μ為接觸面摩擦系數(shù)，r為鉸接軸半徑。根據(jù)幾何關(guān)系：

（1）式可化為

依據(jù)幾何及受力關(guān)系，由（2）式可推導(dǎo)出：

式中f為負剛度機構(gòu)拉簧的彈性力，且又有：

圖2 菱形負剛度機構(gòu)分析圖示Fig.2 Schematic diagram of rhombic negative stiffness mechanism

聯(lián)立（3）式～（5）式，令f=k2Δ，可得：

式中：k2為拉簧剛度；

式中dki為菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置（即圖2中h=0）時負剛度機構(gòu)拉簧的預(yù)拉伸量。

利用ADAMS 虛擬樣機對等效摩擦力模型進行驗證，如圖3 所示，仿真數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)吻合得較好，表明模型是正確的。

圖3 負剛度機構(gòu)等效摩擦力驗證Fig.3 Verification of equivalent friction of negative stiffness mechanism

1.2 動力學(xué)方程建模

隔振裝置中運動部件質(zhì)量主要分為有效載荷m1以及負剛度機構(gòu)質(zhì)量m2兩部分。為簡化分析，將負剛度機構(gòu)視為集中質(zhì)量。考慮到拉簧組件及其配合的鉸接軸是負剛度機構(gòu)質(zhì)量的主要構(gòu)成部分，可將質(zhì)心設(shè)定在圖2 中中點位置處。

依據(jù)拉格朗日方程有：

式中L=T?V，其中

（9）式中xi為施加至振動基座的擾動位移，（10）式中k1與（11）式中C分別為主隔振器的剛度和與阻尼系數(shù)和。

將（9）式～（11）式代入（8）式中，得：

式中相關(guān)因子及其泰勒級數(shù)簡化見（13）式～（18）式，泰勒級數(shù)取至第3 階。

泰勒級數(shù)中符號的含義為：X0=X|h=0，X1=依此類推。

由（7）式、（16）式～（18）式可知，負剛度拉簧的預(yù)拉伸量dki與負剛度機構(gòu)等效摩擦力及隔振器等效剛度參數(shù)存在密切關(guān)系。為使分析更為直觀，引入零位剛度概念，即：

式中α=k2/k1。

1.3 動力學(xué)分析方法

本文以絕對位移傳遞率作為隔振性能評價參數(shù)，采用諧波平衡法求解動力學(xué)方程。令輸入絕對位移為輸出相對位移分別為cos(ωt+φ)。

使用傅里葉展開對符號函數(shù)sgn(h)及sgn(h′)進行簡化[14]：

式中：

動力學(xué)方程存在以下幅頻關(guān)系：

則隔振裝置的絕對位移傳遞率為

2 參數(shù)分析

首先，設(shè)定如表1 所示的一般性參數(shù)。

表1 分析參數(shù)Table 1 Analysis parameters

2.1 摩擦力特性分析

聯(lián)立（6）式、（7）式和（20）式，等效摩擦力分析數(shù)據(jù)如圖4 所示。由圖4 可知，在隔振運動過程中，等效摩擦力變化幅度較小，在限定及摩擦系數(shù)的條件下（后續(xù)分析均基于此限定），負剛度機構(gòu)的幾何參數(shù)決定了鉸接副的受力情況，對等效摩擦力影響較大，即基準(zhǔn)尺寸l一定時，桿長a、b與平衡位置處等效摩擦力呈正相關(guān)關(guān)系，見圖4中序號A、B、C；較長桿較短時，增大兩連桿長度的差值（后簡稱桿長差），平衡位置處等效摩擦力減小，見圖4 中序號B、D；較長桿較長時，隨著桿長差增大，平衡位置處等效摩擦力呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，見圖4 中序號C、E、F。顯然，等效摩擦力受桿長幾何因素的影響，存在2 個臨界值，即由桿長差導(dǎo)致的平衡位置處等效摩擦力變化趨勢開始發(fā)生改變的較長桿桿長臨界值，以及較長桿大于桿長臨界值時，平衡位置處等效摩擦力開始大于連桿等長情況的桿長差臨界值。受篇幅限制，對此本文不展開分析。

圖4 等效摩擦力幾何非線性分析Fig.4 Equivalent friction geometric nonlinear analysis

2.2 隔振性能分析

負剛度機構(gòu)質(zhì)量對隔振的影響如圖5 所示。由圖5 可看出，隨著 β增加，即負剛度機構(gòu)質(zhì)量增加，將導(dǎo)致諧振點頻率降低，位移傳遞率增加，同時還會提升高頻段的位移傳遞率，如圖5 中曲線A、B。

圖5 菱形負剛度機構(gòu)質(zhì)量影響分析Fig.5 Analysis of mass effect on rhombic negative stiffness mechanism

此外，當(dāng)負剛度機構(gòu)連桿不等長，且與載荷平臺鉸接的連桿較短，即負剛度機構(gòu)的質(zhì)心偏向載荷平臺一側(cè)時，在較高頻段的位移傳遞率低于質(zhì)心偏向振動基座一側(cè)的情況，如圖5 中曲線B、D。

負剛度機構(gòu)摩擦力對隔振性能的影響與阻尼類似，減小低頻段位移傳遞率，增大高頻段位移傳遞率，如圖6 中B1、B2。菱形HSLDS 隔振器可以通過增加負剛度連桿機構(gòu)的桿長或桿長差方式，對剛度非線性進行設(shè)置，實現(xiàn)隔振優(yōu)化，如圖6 中A1、B1、C1。當(dāng)摩擦力因素不可忽視時，增加桿長將增大等效摩擦力，在優(yōu)化低頻隔振性能的同時，導(dǎo)致高頻隔振性能下降，如圖6 中A2、B2；利用桿長差方式進行調(diào)節(jié)且同時滿足剛度非線性優(yōu)化與降低摩擦力條件時，增加桿長差可降低諧振點頻率，改善較低頻段隔振性能的同時，減小摩擦力對高頻隔振的不利影響，如圖4 中B、D 與圖6 中B2、C2。

圖6 菱形負剛度機構(gòu)摩擦力影響分析Fig.6 Analysis of friction effect on rhombic negative stiffness mechanism

3 實驗驗證

3.1 實驗分析方法

受實驗條件限制，選用兩組規(guī)格的負剛度機構(gòu)，分別對負剛度機構(gòu)質(zhì)量因素以及摩擦力因素進行實物測試，通過與計算結(jié)果對比，驗證建模的準(zhǔn)確性，并以此保證分析結(jié)果的合理性。

測試中，組Ⅰ負剛度機構(gòu)桿長分別為60.3 mm、49.2 mm；組Ⅱ負剛度機構(gòu)桿長分別為52.4 mm、48.2 mm。所有鉸接副采用柔性軸套與鋼軸配合方式。第1 組實驗：在潤滑條件下，通過對調(diào)組Ⅰ負剛度機構(gòu)與振動基座及載荷平臺的連接關(guān)系，分析負剛度機構(gòu)質(zhì)心位置對隔振性能的影響；第2 組實驗：通過改變組Ⅱ負剛度機構(gòu)鉸接副接觸面的潤滑狀態(tài)，分析負剛度機構(gòu)內(nèi)部摩擦力對隔振的影響。為確保計算符合實際，計算中的主要物理數(shù)據(jù)通過實測方法獲得。

3.2 實驗數(shù)據(jù)

采用圖7 所示摩擦力矩測試環(huán)境，對不同受力情況下有、無油脂潤滑的鉸接副接觸摩擦力矩進行測試，得到圖8 所示的摩擦系數(shù)曲線，其中AS1、AS2 分別對應(yīng)2 個柔性軸套樣本。

通過測量，得到菱形HSLDS 隔振器處于平衡位置時，組Ⅰ、Ⅱ負剛度機構(gòu)拉簧的拉力分別為789 N、1029 N。通過受力分解，計算得出此時負剛度機構(gòu)連桿的受力f1、f2，如表2 所示。由于連桿分力的差值不大，根據(jù)圖8 摩擦系數(shù)變化趨勢，可假定各組計算中摩擦系數(shù)是固定的，摩擦系數(shù)取值見表2。其他參數(shù)依據(jù)測試環(huán)境?。簃=12 kg，l=70 mm，輸入擾動加速度幅值G=1.4 g，并設(shè)定ξ=0.075。依據(jù)表2 中數(shù)據(jù)，通過動力學(xué)解算得到圖9 所示傳遞率計算曲線，對應(yīng)實物測試傳遞率曲線如圖10 所示。圖9 和圖10 中，序號0 皆為主隔振器隔振傳遞率曲線，且序號1～4 曲線分別與表2中序號1～4 數(shù)據(jù)相對應(yīng)。計算與實測曲線的諧振點參數(shù)如表3 所示。其中序號0 諧振峰值的計算傳遞率與實驗傳遞率基本一致，表明主隔振器的計算阻尼與實際是相符的，在此基礎(chǔ)上序號1～4 的計算與實驗諧振峰值數(shù)據(jù)吻合得較好。在較高頻部分，對比不考慮負剛度機構(gòu)自身因素的計算數(shù)據(jù)，本文提出的計算模型大幅提高了傳遞率的準(zhǔn)確度，與實驗數(shù)據(jù)具有較高的相符性，如表4所示。同時還可觀察到，序號1 在較高頻部分（如30 Hz 與50 Hz）的傳遞率略低于序號2，這與理論分析結(jié)果一致；但潤滑狀態(tài)的序號3 在較高頻的傳遞率反高于非潤滑狀態(tài)的序號4，這與邏輯分析結(jié)果相悖，分析其原因與采用的潤滑方式有關(guān)。在較高頻段，轉(zhuǎn)動副的相對轉(zhuǎn)動位移量較小，受潤滑脂的粘滯效應(yīng)影響導(dǎo)致實際摩擦系數(shù)增大，因而產(chǎn)生與理論分析結(jié)果不符的現(xiàn)象。

圖7 摩擦力矩測試環(huán)境Fig.7 Friction torque testing environment

圖8 柔性軸套-鋼軸摩擦系數(shù)圖Fig.8 Friction coefficient diagram of flexible sleeve-steel shaft

表2 負剛度機構(gòu)實驗參數(shù)Table 2 Experimental parameters of negative stiffness mechanism

圖9 隔振傳遞率計算曲線Fig.9 Calculation curves of vibration isolation transmissibility

圖10 隔振傳遞率實驗曲線Fig.10 Experimental curve of vibration isolation transmissibility

表3 諧振點參數(shù)Table 3 Resonance point parameters

表4 較高頻率段參數(shù)Table 4 Parameters of higher frequency band

4 結(jié)論

針對菱形HSLDS 隔振器，對負剛度機構(gòu)的等效摩擦力進行建模，將負剛度機構(gòu)的質(zhì)量、摩擦力因素納入動力學(xué)方程，并通過實物測試驗證了上述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。得出以下結(jié)論：

1） 增加負剛度機構(gòu)質(zhì)量對低頻段隔振的影響與增加有效負載情況類似，同時會惡化高頻段隔振性能，在隔振器設(shè)計中應(yīng)盡量減小負剛度機構(gòu)的質(zhì)量；當(dāng)負剛度機構(gòu)質(zhì)量一定且連桿不等長時，可將較短連桿的一側(cè)、即質(zhì)心偏向側(cè)，鉸接于載荷平臺，以減小負剛度機構(gòu)質(zhì)量對高頻段隔振性能的影響。

2） 負剛度機構(gòu)鉸接副摩擦力對隔振的影響與阻尼類似，應(yīng)盡量減小負剛度機構(gòu)鉸接副摩擦力。當(dāng)摩擦系數(shù)難以充分降低時，在隔振剛度要求一定且摩擦系數(shù)受外力影響較小的情況下，可以利用桿長差對剛度及摩擦力的優(yōu)化特性，實現(xiàn)寬頻段隔振優(yōu)化。