肖宗鑫，李曉杰，肖宗爍，張志文，董小瑞

（1.中北大學(xué) 能源動(dòng)力工程學(xué)院，太原 030051；2.東北林業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，哈爾濱 150040）

由于在提升車輛主動(dòng)安全性、改善交通效率以及降低能耗等方面的巨大潛能，無人駕駛技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)前車輛行業(yè)的研究熱點(diǎn)［1-2］，而軌跡跟蹤是無人駕駛車輛的研究重點(diǎn)之一［3］。

模型預(yù)測控制（MPC）［4-5］具有很高的控制精度，且便于添加約束條件，在過程控制中被廣泛應(yīng)用［6］。Borrelli等［7］、Falcone等［8-9］設(shè) 計(jì)了MPC控制器，實(shí)現(xiàn)了車輛前輪的自動(dòng)轉(zhuǎn)向，較好地完成了軌跡跟蹤任務(wù)；ATTIA等［10］基于非線性模型預(yù)測控制設(shè)計(jì)了側(cè)向控制器，計(jì)算負(fù)擔(dān)大，不適于高速工況；對于線性模型預(yù)測控制，李培新等［11］只考慮了運(yùn)動(dòng)學(xué)因素的影響，王秋等［12］僅建立了2自由度的車輛動(dòng)力學(xué)預(yù)測模型，孫銀?。?3］研究了車輛在低附著路面的軌跡跟蹤問題，將最高安全速度限定在12 m／s內(nèi)；線性時(shí)變模型預(yù)測控制實(shí)時(shí)計(jì)算量相對較小，但當(dāng)狀態(tài)偏離線性化工作點(diǎn)時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定［14］；鄒凱等［15］考慮輪胎力進(jìn)入非線性區(qū)［16］的情況，設(shè)計(jì)了增量線性MPC（ILTV-MPC）提高了計(jì)算的實(shí)時(shí)性。

HU Jianjun等［17］提出利用模糊控制對ILTVMPC補(bǔ)償控制，但模糊控制器不具備自適應(yīng)能力，無法滿足復(fù)雜的行駛工況，且缺乏理論上的穩(wěn)定性證明；引入包絡(luò)線約束的ILTV-MPC優(yōu)化方法［18-19］和變步長的模型離散化方法［20-22］僅集中于對轉(zhuǎn)向的優(yōu)化；BROWN M等［23］提出了N-MPC并進(jìn)行了實(shí)車驗(yàn)證，但可能陷入局部最優(yōu)。

傳統(tǒng)MPC對系統(tǒng)不確定性的處理能力有限，當(dāng)系統(tǒng)模型描述不準(zhǔn)確或者存在外部擾動(dòng)時(shí)，往往難以實(shí)現(xiàn)既定的控制目標(biāo)［24］。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有并行運(yùn)算能力強(qiáng)、學(xué)習(xí)和容錯(cuò)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，研究基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)軌跡跟蹤算法具有重要的實(shí)際意義，其中RBF（徑向基函數(shù)）網(wǎng)絡(luò)是連續(xù)函數(shù)的最佳逼近［25］。同時(shí)，為了滿足不確定性系統(tǒng)的控制需求，魯棒模型預(yù)測控制是未來的發(fā)展方向［26］。

本研究在ILTV-MPC基礎(chǔ)上，利用RBF的局部逼近特性，設(shè)計(jì)了RBF自適應(yīng)補(bǔ)償控制器對MPC模型的不精確部分進(jìn)行逼近；但由于在逼近過程中仍會(huì)存在誤差，進(jìn)而將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與魯棒控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了RBF魯棒優(yōu)化控制器，將逼近誤差作為外部干擾予以抑制；應(yīng)用Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)了隱含層網(wǎng)絡(luò)權(quán)值訓(xùn)練規(guī)則，并證明了2個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，搭建Simulink／Carsim聯(lián)合仿真平臺(tái)對3種軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進(jìn)行對比仿真驗(yàn)證。

1 ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器

1.1 預(yù)測模型

采用3自由度車輛-輪胎模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，為簡化計(jì)算，在較為準(zhǔn)確地描述車輛動(dòng)力學(xué)過程的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下假設(shè)：①假設(shè)無人駕駛車輛只做前輪轉(zhuǎn)向；② 忽略車輛垂向運(yùn)動(dòng)、縱向和橫向空氣動(dòng)力學(xué)的影響；③忽略懸架運(yùn)動(dòng)及其對耦合關(guān)系的影響；④用非線性單軌模型描述車輛運(yùn)動(dòng)，不考慮載荷左右轉(zhuǎn)移。

利用Pacejka提出的魔術(shù)公式（magic formula，MF）對每個(gè)控制周期進(jìn)行線性化處理，計(jì)算出適用范圍更大的輪胎縱向力、側(cè)向力和回正力矩等輸出變量，得到輪胎時(shí)變模型，進(jìn)而結(jié)合車輛3自由度單軌模型［4］。

得到基于上述假設(shè)的3自由度車輛非線性動(dòng)力學(xué)模型：

式中：a、b分別為質(zhì)心到前、后軸的距離；m為車輛整備質(zhì)量；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；δf為前輪轉(zhuǎn)角；φ為質(zhì)心橫擺角；Cl為輪胎縱向側(cè)偏剛度；Cc為輪胎橫向側(cè)偏剛度。

由車身坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：

將車輛的動(dòng)力學(xué)模型近似線性化，在任意點(diǎn)（ξt，ut）處進(jìn)行泰勒展開并只保留1階項(xiàng)，忽略高階項(xiàng)，則可得到：

對式（4）進(jìn)行近似離散化處理，同時(shí)結(jié)合系統(tǒng)的狀態(tài)量和狀態(tài)量參考值之間的偏差，表示為：

式中各狀態(tài)系數(shù)矩陣、控制系數(shù)矩陣和輸出系數(shù)矩陣為：

設(shè)定系統(tǒng)的預(yù)測時(shí)域?yàn)镹p，控制時(shí)域?yàn)镹c，從而實(shí)現(xiàn)模型預(yù)測控制算法的預(yù)測功能。

1.2 優(yōu)化求解

車輛動(dòng)力學(xué)模型雖已經(jīng)過一定程度的簡化，但仍有較大的計(jì)算復(fù)雜度，而且系統(tǒng)的模型是實(shí)時(shí)變化的，可能會(huì)出現(xiàn)規(guī)定時(shí)間內(nèi)無法得到最優(yōu)解的情況，所以引入松弛因子，使每次優(yōu)化都能得到可行解。由文獻(xiàn)［4］優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)為以下形式：

式中：ρ表示權(quán)重系數(shù)；ε表示松弛因子；Q表示輸出偏差的權(quán)值矩陣，R表示控制增量的權(quán)重系數(shù)。

為保證車輛能夠平穩(wěn)地跟蹤期望軌跡，設(shè)計(jì)了前輪轉(zhuǎn)角及其增量約束、質(zhì)心側(cè)偏角約束、加速度約束和輪胎側(cè)偏角約束，其中為防止求解失敗，在加速度約束中引入松弛因子，設(shè)為軟約束。

將ILTV-MPC每一步帶約束的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解問題轉(zhuǎn)換為如下二次規(guī)劃問題以方便計(jì)算機(jī)求解：

式中：yhc為硬約束輸出；ysc為軟約束輸出；yhc，min和yhc，max為硬約束輸出極限值；ysc，min和ysc，max為軟約束輸出極限值。

1.3 反饋校正

在每個(gè)控制周期內(nèi)完成對式（8）的求解后，可以得到控制時(shí)域內(nèi)一系列控制輸入增量：

將得到的控制序列中的第1個(gè)元素作為實(shí)際輸入增量，可得到未來時(shí)刻的輸入量：

Δut作用于系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻，系統(tǒng)執(zhí)行這一控制量直到下一時(shí)刻，在新的時(shí)刻，系統(tǒng)根據(jù)狀態(tài)信息重新預(yù)測下一段時(shí)域的輸出，再次求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可得到一個(gè)新的控制增量序列，再將其作用于系統(tǒng)的下下個(gè)時(shí)刻，循環(huán)往復(fù)，形成最優(yōu)滾動(dòng)控制［4］。

如此，完成了增量線性時(shí)變模型預(yù)測軌跡跟蹤控制器的建立。

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)補(bǔ)償控制器

由于在建立ILTV-MPC預(yù)測模型過程中進(jìn)行了諸多假設(shè)和簡化，這些假設(shè)和簡化的存在必然會(huì)導(dǎo)致控制器模型存在一定的不精確部分f，進(jìn)而導(dǎo)致軌跡跟蹤誤差的增大，因此，設(shè)計(jì)了RBF自適應(yīng)補(bǔ)償控制器對不精確部分進(jìn)行逼近。

2.1 ILTV-MPC控制器建模不精確部分

將建立的車輛動(dòng)力學(xué)模型式（1）以狀態(tài)方程的形式表示：

令q＝[Y ]φT，則可將式（11）寫為

式中：A0、B0和C0在實(shí)車模型中為未知參數(shù)，但在本節(jié)設(shè)計(jì)的車輛動(dòng)力學(xué)模型中若暫時(shí)忽略建模過程中的假設(shè)和簡化，可認(rèn)為其是已知量，即式（12）所示的車輛動(dòng)力學(xué)模型是精確的，則控制律暫可設(shè)計(jì)為：

將式（13）代入式（12），可得：

此時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的，但由于真實(shí)的車輛模型很難得到，故假設(shè)實(shí)際的車輛模型為：

將式（13）代入實(shí)際的車輛模型式（15），可得到

式中：ΔA＝A-A0、ΔB＝B-B0、ΔC＝C-C0。結(jié)合式（14）（16）可取ILTV-MPC控制器中由于建模過程的假設(shè)和簡化而產(chǎn)生的不精確部分為f＝

因此，控制律（13）可修正為

2.2 RBF自適應(yīng)補(bǔ)償

本文建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為2-5-1，輸入向量為橫向位置和橫擺角誤差e及其誤差變化率隱含層以高斯函數(shù)作為核函數(shù)；輸出向量為模型的不精確部分。

隱含層高斯基函數(shù)按下式計(jì)算：

式中：x為網(wǎng)絡(luò)的輸入；cj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心值向量；bj為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯基函數(shù)基寬值；h（x）＝［h1h2h3h4h5］T為高斯基函數(shù)的輸出；ω為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

假設(shè)x＝（e˙e）T，可得到在控制律（17）下的誤差狀態(tài)方程：

由文獻(xiàn)［23］可知，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模誤差η是有界的，假設(shè)其上界為 ηsup，即 ηsup＝

因此，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的估計(jì)值為：

由此可得到車輛動(dòng)力學(xué)模型前輪轉(zhuǎn)角：

2.3 Lyapunov穩(wěn)定性分析

針對本節(jié)控制系統(tǒng)，采用Lyapunov穩(wěn)定性分析的方法對雙移線期望軌跡的數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)權(quán)值訓(xùn)練。

定義Lyapunov函數(shù)為：

式中：γ為待定系數(shù)，本節(jié)γ取20；P為對稱正定矩陣，且滿足Lyapunov方程：

對V求導(dǎo)并代入式（21）（25）得到：

由式（28）可知，Q的特征值越大，P的特征值越??；建模誤差上界ηsup越小時(shí)，x的收斂半徑越小，所建立的控制器補(bǔ)償能力越好，軌跡跟蹤效果越好。因此，本節(jié)設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由此，完成了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器不精確部分的補(bǔ)償控制。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器

由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近過程中仍會(huì)存在一定的逼近誤差，因此將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和魯棒控制相結(jié)合，利用魯棒抑制外界干擾的特性，將逼近誤差作為外部干擾，設(shè)計(jì)了RBF魯棒優(yōu)化控制器，對其予以抑制。

仍采取所設(shè)計(jì)的2-5-1結(jié)構(gòu)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但定義輸入向量為：

式中，α為待定系數(shù)，經(jīng)多次仿真實(shí)驗(yàn)測試，α值取0.3。

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制

當(dāng)考慮模型不精確部分和外部干擾時(shí)，式（12）可修正為：

式中：f為模型的不精確部分；d為外部干擾。

通過采用前饋項(xiàng)進(jìn)行非線性補(bǔ)償，取控制律為：

ε表示RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，結(jié)合式（30）和（31），可得到系統(tǒng)的狀態(tài)誤差方程：

結(jié)合式（32），式（29）可轉(zhuǎn)化為：

控制器u控制律設(shè)計(jì)為：

系統(tǒng)的L2增益可體現(xiàn)控制系統(tǒng)對外界干擾的抑制能力，控制系統(tǒng)的干擾抑制問題可歸結(jié)為設(shè)計(jì)控制器使L2增益盡可能小或者小于給定值γ，γ＞0［27］。

對于上述閉環(huán)控制系統(tǒng)，設(shè)定評價(jià)信號(hào)z＝pe＝px1，若其中的參數(shù)p滿足：

式中：ε0為給定常數(shù)，則該閉環(huán)系統(tǒng)的L2增益小于給定值 γ，γ值取0.1。

3.2 Lyapunov穩(wěn)定性分析

針對建立的閉環(huán)控制系統(tǒng)，定義Lyapunov函數(shù)為：

對V求導(dǎo)，同時(shí)代入式（34）（35），可得：

取自適應(yīng)律為：

結(jié)合式（38）（39）可知

根據(jù)L的定義，可知

由HJI（Hamilton Jacobi Issacs）不等式定理可知，此時(shí)控制系統(tǒng)L2增益小于γ，性能指標(biāo)滿足J≤γ，即本節(jié)設(shè)計(jì)的閉環(huán)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

綜上所述，完成了RBF魯棒優(yōu)化控制器對RBF補(bǔ)償控制的改善，即完成了對ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器的再次優(yōu)化。

4 仿真與分析

針對所設(shè)計(jì)的RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC和RBF魯棒-ILTV-MPC兩種控制系統(tǒng)，無人駕駛車輛的輸入前輪轉(zhuǎn)角δf由ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器輸出δf0和RBF補(bǔ)償控制器或者RBF魯棒控制器輸出δf1共同組成。

系統(tǒng)控制框圖如圖1、2所示。

圖1 RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC系統(tǒng)控制框圖

圖2 RBF魯棒-ILTV-MPC系統(tǒng)控制框圖

搭建Simulink和Carsim聯(lián)合仿真平臺(tái)，其中Carsim測試車型選用E-Class，SUV。設(shè)置了不同縱向行駛速度和路面附著系數(shù)的3種仿真工況：①v＝30 km／h，μ＝0.8（工況1）；②v＝50 km／h，μ＝0.8（工況2）；③v＝50 km／h，μ＝0.4（工況3），分別對優(yōu)化前后3種控制系統(tǒng)進(jìn)行不同工況下的雙移線［9］仿真對比。仿真過程中參數(shù)值見表1。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

控制器的軌跡跟蹤精度通過橫向位置及橫擺角的跟蹤誤差判定，無人駕駛車輛在3種雙移線仿真工況下的橫向位置Y隨橫向位置X跟蹤結(jié)果及誤差e1隨時(shí)間t變化如圖3、4所示。

由圖3、4可知：在工況1條件下，ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器橫向位置最大誤差為0.125 7 m，經(jīng)RBF自適應(yīng)補(bǔ)償控制后減小至0.077 02 m，約38.73%，均方根誤差減小32.35%；經(jīng)RBF魯棒優(yōu)化控制后減小至0.039 68 m，約68.42%，均方根誤差減小60.29%；隨著速度的提高，誤差逐漸增大，在工況2條件下，與傳統(tǒng)ILTV-MPC相比，RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC均方根誤差減小23.24%，RBF魯棒-ILTV-MPC均方根誤差減小49.01%。

圖3 橫向位置軌跡跟蹤結(jié)果

圖4 橫向位置誤差

在良好路面上，3種控制系統(tǒng)均可較好地完成雙移線路徑的軌跡跟蹤。RBF魯棒控制較RBF補(bǔ)償控制可進(jìn)一步提高ILTV-MPC控制器的跟蹤精度。

在工況3條件下，仿真前期可較好地完成軌跡跟蹤，但后期由于控制量（δf）大幅度增大而出現(xiàn)較大偏差，雖車輛仍處于可控狀態(tài)，但易發(fā)生轉(zhuǎn)向失控等危險(xiǎn)工況。與傳統(tǒng)ILTV-MPC相比，RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC均方根誤差減小20.38%，RBF魯棒-ILTV-MPC均方根誤差減小45.86%。此時(shí)經(jīng)RBF魯棒控制優(yōu)化后的控制器在仿真前期精度雖有所下降，但在可接受范圍內(nèi)。

當(dāng)車輛以較高速度行駛在附著系數(shù)小的路面上時(shí)，3種控制系統(tǒng)在仿真后期均出現(xiàn)不同程度側(cè)滑；RBF魯棒控制較RBF補(bǔ)償控制可進(jìn)一步減小ILTV-MPC控制器的誤差，減輕車輛側(cè)滑程度，在一定程度上提高車輛行駛穩(wěn)定性，減少危險(xiǎn)的發(fā)生。

車輛在3種工況下橫擺角φ隨橫向位置X跟蹤結(jié)果如圖5所示。

圖5 橫擺角軌跡跟蹤結(jié)果

由圖5可知，2種經(jīng)RBF優(yōu)化后的ILTV-MPC控制器，對橫擺角的跟蹤雖然精度有所提高，但仍存在一定時(shí)間的延遲。

此外，經(jīng)多次仿真可知，ILTV-MPC軌跡跟蹤控制器最高安全縱向行駛速度為67 km／h，當(dāng)速度超出最高安全速度時(shí)，橫向位置出現(xiàn)明顯偏差，車輛發(fā)生大幅度側(cè)滑；經(jīng)RBF自適應(yīng)補(bǔ)償控制后的控制器雖未有效提高臨界縱向行駛速度，但橫向位置偏差明顯減小，車輛側(cè)滑程度減弱；經(jīng)RBF魯棒優(yōu)化后的控制器最高安全縱向行駛速度可明顯提升至90 km／h。

3種控制系統(tǒng)不同縱向行駛速度橫向位置跟蹤結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同縱向速度的橫向位置跟蹤結(jié)果

5 結(jié)論

設(shè)計(jì)了RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC和RBF魯棒-ILTV-MPC 2種控制系統(tǒng)，與傳統(tǒng)ILTV-MPC軌跡跟蹤器相比，均可提高軌跡跟蹤精度。當(dāng)以30 km／h速度行駛在良好路面時(shí)，與傳統(tǒng)ILTV-MPC相比，RBF補(bǔ)償-ILTV-MPC最大誤差減小約38.73%；RBF魯棒-ILTV-MPC最大誤差減小約68.42%。結(jié)果表明，經(jīng)RBF魯棒控制優(yōu)化后的ILTV-MPC控制器與經(jīng)RBF補(bǔ)償后的控制器相比，可進(jìn)一步減小軌跡跟蹤誤差，提高車輛的行駛穩(wěn)定性。

但本研究僅考慮了3種工況，未能完全體現(xiàn)控制器所有工作環(huán)境，且優(yōu)化后的2種控制系統(tǒng)對于橫擺角的跟蹤仍存在一定時(shí)間的延遲，導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生；同時(shí)經(jīng)RBF魯棒優(yōu)化后的ILTV-MPC控制器臨界速度僅提升至90 km／h，對于高速下的無人駕駛車輛無軌跡跟蹤效果還需進(jìn)一步改善。

下一步計(jì)劃對2種控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性進(jìn)行研究，并于多種工況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。