徐斌

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海201620）

引 言

質(zhì)子交換膜燃料電池（proton exchange membrane fuel cell, PEMFC）是一種新的綠色能源，具有工作溫度低、能量密度高以及綠色環(huán)保等優(yōu)點(diǎn)，在世界范圍內(nèi)得到了快速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用[1-2]。由于PEMFC 系統(tǒng)是一類(lèi)極其復(fù)雜的非線(xiàn)性強(qiáng)耦合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如何確定系統(tǒng)模型參數(shù)并提高模型的準(zhǔn)確性，對(duì)提高裝置的安全性和可靠性，并延長(zhǎng)使用壽命，具有重要的意義[3-5]。

一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)模型參數(shù)識(shí)別問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)雜非線(xiàn)性多維函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題[6]，并采用優(yōu)化方法進(jìn)行求解，因此優(yōu)化方法的搜索性能對(duì)模型精確性有至關(guān)重要的影響。近年來(lái)，隨著智能優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展，為求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題提供了一種有效的方法和手段，并在PEMFC系統(tǒng)模型參數(shù)優(yōu)化識(shí)別領(lǐng)域取得了較好的結(jié)果[7-8]，如遺傳算法[6,9]、粒子群算法[10-11]、差分進(jìn)化算法[12-14]、人工蜂群算法[15]、P 系統(tǒng)優(yōu)化[16]和聲搜索[17]等。

差分進(jìn)化算法（differential evolution algorithm,DE）是一種新的智能優(yōu)化算法[18]，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，在化工過(guò)程優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用[19-22]。在差分進(jìn)化算法中，變異和交叉算子是兩個(gè)關(guān)鍵的操作算子，對(duì)算法整體性能有重要的影響。因此，對(duì)變異和交叉算子的改進(jìn)得到了研究人員廣泛的重視，并取得了可喜的成績(jī)[23]。如Zhang 等[24]提出了一種名為DE/current-to-pbest/1的變異策略。該策略將部分較差個(gè)體保存在一個(gè)外部存檔集合中，然后基于該外部存檔集合為變異操作提供更多的有利差分向量。Das 等[25]基于種群個(gè)體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出一種關(guān)于局部和全局變異相結(jié)合的組合變異策略。但是該組合變異策略需要實(shí)驗(yàn)者提供合適的權(quán)重分配系數(shù)。Epitropakis 等[26]根據(jù)群體當(dāng)前個(gè)體與群體中其他個(gè)體之間的距離為群體中每個(gè)個(gè)體分配一個(gè)選擇概率，并基于該選擇概率選擇合適的個(gè)體參加變異操作。Gong 等[27]首先對(duì)個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣等級(jí)排序，然后根據(jù)排序結(jié)果提出了一種基于等級(jí)排序的變異策略。趙楊等[28]在多策略中選取合適的變異策略和較優(yōu)的隨機(jī)個(gè)體引導(dǎo)種群變異，同時(shí)根據(jù)進(jìn)化過(guò)程信息自適應(yīng)地更新交叉參數(shù)。將改進(jìn)算法用于求解污水處理過(guò)程，能有效實(shí)現(xiàn)對(duì)溶解氧和硝態(tài)氮濃度設(shè)定值的動(dòng)態(tài)尋優(yōu)和跟蹤控制。

本文分析了常用變異和交叉算子存在的問(wèn)題，并基于文獻(xiàn)[27]的啟發(fā)，提出一種概率選擇模型，并將融入差分進(jìn)化算法的變異和交叉操作過(guò)程，進(jìn)而提出一種新的改進(jìn)的差分進(jìn)化算法(IDE)，提高了基本差分進(jìn)化算法的搜索效率和最優(yōu)結(jié)果的精度。另外進(jìn)一步將改進(jìn)IDE 算法用于PEMFC 系統(tǒng)模型參數(shù)優(yōu)化識(shí)別問(wèn)題，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性和工程優(yōu)化過(guò)程的實(shí)用性，同時(shí)為系統(tǒng)模型參數(shù)識(shí)別提供一種有效的求解方法。

1 PEMFC機(jī)理模型

1.1 PEMFC工作原理

質(zhì)子交換膜是一種固態(tài)高分子聚合物膜，具有電解質(zhì)的作用，并固定在多孔電極之間。通常PEMFC 系統(tǒng)采用氫氣和氧氣作為燃料和氧化劑，電子運(yùn)動(dòng)形成電流，驅(qū)動(dòng)負(fù)載工作，反應(yīng)的生成物水則會(huì)隨尾氣排除，如圖1 所示[1]。一般情況下，在電池陽(yáng)極電化學(xué)反應(yīng)為：

在電池陰極電化學(xué)反應(yīng)為：

則總的反應(yīng)為：

圖1 PEMFC原理Fig.1 Principle of PEMFC

1.2 PEMFC數(shù)學(xué)模型

實(shí)際PEMFC 系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，由于裝置內(nèi)部會(huì)存在各種內(nèi)部阻力，從而導(dǎo)致PEMFC系統(tǒng)輸出電壓小于理想電壓。因此，單電池輸出電壓Vcell經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式為[3]：

其中,ENernst表示熱力學(xué)電動(dòng)勢(shì)，Vact表示活化過(guò)電勢(shì)，Vohm表示歐姆過(guò)電勢(shì)，Vcon表示濃度差過(guò)電勢(shì)。

根據(jù)Nernst方程以及Gibbs自由能的變化情況，ENernst計(jì)算公式是[12]：

式中,T 表示工作溫度,K;pH2和pO2分別表示H2和O2的有效分壓,atm(1 atm=101.325 kPa)，它們是關(guān)于當(dāng)前電流值I的函數(shù)[6]：

系統(tǒng)活化過(guò)電勢(shì)Vact包括陽(yáng)極和陰極處過(guò)電勢(shì)，可以按式（9）計(jì)算[1,3,13]：

式中，ξi（i=1,2,3,4）是模型未知參數(shù)，CO2是陰極催化劑界面溶解氧氣濃度，mol/cm3，其計(jì)算方法為[6]：

歐姆過(guò)電勢(shì)Vohm是質(zhì)子膜的等效膜阻抗產(chǎn)生的電勢(shì)和阻礙質(zhì)子通過(guò)質(zhì)子膜的阻抗產(chǎn)生的電勢(shì)，可表示為[6]：

其中,RC是電子轉(zhuǎn)移等效電阻，Ω；RM是質(zhì)子膜等效阻抗，其計(jì)算公式為：

其中,L是質(zhì)子交換膜厚度，cm；ρM是Nafion系列質(zhì)子交換膜的電阻率，Ω·cm，計(jì)算公式為[14]：

其中,λ是表示氣體濕度狀態(tài)信息的未知參數(shù)。

濃度差過(guò)電勢(shì)Vcon是由于物質(zhì)擴(kuò)散阻力的存在導(dǎo)致反應(yīng)物濃度變化產(chǎn)生的電勢(shì)，計(jì)算公式為：

其中,B 是關(guān)于電池工作狀態(tài)的未知參數(shù)，V；J是電池實(shí)際電流密度，A/cm2，Jmax是實(shí)際電流密度的最大值。

為了提供充足的持續(xù)電量，實(shí)際PEMFC系統(tǒng)是由多個(gè)電池串聯(lián)組成的電池堆，NS個(gè)電池串聯(lián)構(gòu)成的PEMFC電池堆終端輸出電壓為：

1.3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

從PEMFC 模型可以看出，系統(tǒng)模型中存在一些難以確定的未知參數(shù)，即ξ1、ξ2、ξ3、ξ4、λ、RC和B。為了確定這些參數(shù)的最優(yōu)值，選擇實(shí)際輸出和模型輸出數(shù)據(jù)的誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)[29-30]：

其中，Vstack-actual是實(shí)際電池堆輸出電壓值；Vstack-model是系統(tǒng)模型輸出電壓值，它是關(guān)于未知參數(shù)x =[ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,λ,RC,B]T的函數(shù)；K 是樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。系統(tǒng)工作參數(shù)和未知參數(shù)的實(shí)際值以及對(duì)應(yīng)的搜索范圍可參考文獻(xiàn)[13]?？梢钥闯?，當(dāng)系統(tǒng)模型越加接近實(shí)際輸出時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值越小，理想情況下，當(dāng)系統(tǒng)模型輸出等于實(shí)際輸出時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值零。

2 基本差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是一種新的啟發(fā)式搜索算法，主要用于求解連續(xù)優(yōu)化問(wèn)題[18]。不失一般性，對(duì)于給定的D維優(yōu)化問(wèn)題：

2.1 變異操作

變異操作存在多種不同形式的策略，最為經(jīng)典和常用的策略是：

其中，r1、r2和r3是區(qū)間[1，N]內(nèi)與i不等的隨機(jī)整數(shù)，且滿(mǎn)足兩兩互不相等；縮放因子F是在區(qū)間(0，1]內(nèi)的正實(shí)數(shù)。

2.2 交叉操作

交叉操作主要完成變異后向量和父代向量信息交換，增加種群的多樣性。最常用的二項(xiàng)式交叉表示為：

其中,sn∈[1,…,D]是一個(gè)隨機(jī)整數(shù)。交叉參數(shù)CR一般是區(qū)間[0,1]之間的實(shí)數(shù)。

2.3 選擇操作

選擇操作在父代向量和交叉后向量之間實(shí)行貪婪選擇，計(jì)算公式是：

3 改進(jìn)差分進(jìn)化算法

3.1 個(gè)體概率選擇模型

假設(shè)群體含有N 個(gè)個(gè)體，首先按目標(biāo)函數(shù)值從小到大進(jìn)行排序，然后根據(jù)排序結(jié)果計(jì)算每個(gè)個(gè)體的選擇概率為：

其中,r(i)表示第i個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的排序等級(jí)。可以看出，對(duì)于種群中所有個(gè)體，最優(yōu)個(gè)體具有最大的選擇概率，最差個(gè)體具有最小的選擇概率。

在確定每個(gè)個(gè)體的選擇概率之后，根據(jù)概率大小從群體中選擇個(gè)體參與變異操作和選擇操作。這里采用最為常見(jiàn)的輪盤(pán)賭選擇方式。首先計(jì)算每個(gè)個(gè)體的累積選擇概率：

然后在區(qū)間[0,1]之間產(chǎn)生一個(gè)均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)r；如果r＜Q(1)，則選擇第1 個(gè)個(gè)體，否則，令k=k+1，直到條件Q(k-1)＜r≤Q(k) 成立，同時(shí)選擇個(gè)體k作為最終選擇結(jié)果。

3.2 基于概率選擇的變異算子

在計(jì)算選擇概率后，采用概率選擇方式代替?zhèn)鹘y(tǒng)隨機(jī)選擇方式選擇群體中個(gè)體參加變異操作。適用于DE/rand/1 變異策略的個(gè)體概率選擇過(guò)程如下：

（2）While r1=i;

（5）While r2=r1or r2=i;

（8）While r3=r1or r3=r2or r3=i;

可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法相比，基于概率模型的變異算子最大的特點(diǎn)是個(gè)體和個(gè)體的選擇。值得注意的是這里個(gè)體選擇仍采用隨機(jī)方式，主要原因是(-)可以看成是方向向量，當(dāng)以概率方式提供，而以隨機(jī)方式提供時(shí)，可以得到更豐富的梯度下降方向，加快算法的收斂速度。

3.3 基于概率選擇的交叉算子

在經(jīng)典二項(xiàng)式交叉的基礎(chǔ)上引入概率選擇操作。對(duì)于每個(gè)父代個(gè)體，以概率選擇方式選擇一個(gè)個(gè)體與實(shí)施交叉操作。計(jì)算方式如下：

從計(jì)算公式可以看出，變異后個(gè)體與概率選擇的個(gè)體交換信息，這樣可以讓更多的優(yōu)秀基因保留到下一代群體，加快算法的收斂速度和求解精度。

基于上述概率選擇模型以及對(duì)應(yīng)的改進(jìn)變異、交叉算子，本文IDE算法流程下：

輸入：算法參數(shù)N,F,CR,T;

隨機(jī)產(chǎn)生初始種群X0并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值；

While t＜T

計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的選擇概率Q;

For i=1∶N

If rand(0,1)＜0.5

Else

按式(23)實(shí)施交叉操作；

Else

按式(19)實(shí)施交叉操作；

For i=1∶N

t=t+1

輸出：當(dāng)前群體中的最優(yōu)個(gè)體。

可以看出，本文IDE 算法和文獻(xiàn)[27]類(lèi)似。但是，它們是不同方法，主要區(qū)別是：(1)文獻(xiàn)[27]仍然采用隨機(jī)選擇方式選擇個(gè)體參與變異操作，選擇概率僅用于判斷被選個(gè)體是否滿(mǎn)足要求。本文IDE算法直接利用概率選擇方式選擇個(gè)體，但仍采用傳統(tǒng)方式判斷被選個(gè)體是否滿(mǎn)足要求。(2) 本文IDE 算法將概率選擇模型應(yīng)用于變異和交叉操作，而文獻(xiàn)[27]個(gè)體概率僅用于變異過(guò)程，交叉過(guò)程仍采用標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)式交叉方式。(3)本文概率選擇模型僅用于部分個(gè)體，而文獻(xiàn)[27]中改進(jìn)變異算子作用于所有個(gè)體。

4 算法測(cè)試和分析

為了驗(yàn)證IDE算法的有效性，將其與標(biāo)準(zhǔn)DE進(jìn)行比較，選擇Fsph、Fros、Fack、Fgwr、Fras、Fsch、Fsal以及Fwht這8 個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)仿真[31]。兩種算法參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模N=50，問(wèn)題維度D=30，縮放因子F=0.6，交叉參數(shù)CR=0.5，最大迭代次數(shù)T=1000。為了減少算法的隨機(jī)性，每個(gè)問(wèn)題采用相同的初始群體，并獨(dú)立運(yùn)行25 次，計(jì)算最小值、最大值、中位值、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)方差。

表1 給出了兩種算法求解8 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表中可以看出，相比標(biāo)準(zhǔn)DE 算法，IDE 算法得到的最優(yōu)結(jié)果要比標(biāo)準(zhǔn)DE 算法結(jié)果更好，也更加接近真實(shí)最優(yōu)值，特別是對(duì)于函數(shù)Fsph、Fack、Fgwr和Fsch，效果更加顯著。為了更加直觀顯示兩種算法在求解這些問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)的收斂能力，圖2給出了25 次獨(dú)立運(yùn)行結(jié)果中位值對(duì)應(yīng)的收斂曲線(xiàn)圖。從圖中可以看出，IDE 算法對(duì)于所有問(wèn)題，表現(xiàn)出較快的收斂速度以及精度，同時(shí)對(duì)于部分問(wèn)題，如Fsch，能以一定概率跳出局部最優(yōu)值。因此，基于概率選擇模型的變異和交叉算子在提高差分進(jìn)化算法的收斂速度的同時(shí)，也能提高求解精度，是一種有效的提高差分進(jìn)化算法性能的方法。

表1 兩種算法求解基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試結(jié)果對(duì)比Table 1 The comparison results of two algorithms over benchmark functions

為了展示改進(jìn)算法在不同種群規(guī)模下的有效性和穩(wěn)定性，表2 給出了DE 和IDE 這兩種算法在不同種群規(guī)模條件設(shè)置下計(jì)算結(jié)果平均值。從表中可以看出，對(duì)于DE 和IDE 算法，當(dāng)種群規(guī)模從50 增加到400 時(shí)，IDE 算法除了在求解Fgwr問(wèn)題時(shí)均值出現(xiàn)一定波動(dòng)，在部分種群規(guī)模情況下效果較好之外，對(duì)于其余問(wèn)題沒(méi)有顯著的變化。至于基本DE算法，當(dāng)群體規(guī)模發(fā)生變化時(shí)，均值變化不是很大。因此可以認(rèn)為群體規(guī)模在一定程度上對(duì)算法性能影響不明顯。

5 實(shí)例研究

本文采用改進(jìn)IDE算法求解質(zhì)子交換膜燃料電池模型參數(shù)優(yōu)化識(shí)別問(wèn)題，如式(16)所示。該問(wèn)題較為復(fù)雜，無(wú)法直接求解梯度等相關(guān)信息。因此，本文中選擇目前較為主流的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法（RCGA）、粒子群算法（PSO）、人工蜂群算法（ABC）等幾種典型智能優(yōu)化算法進(jìn)行比較與分析。

圖2 兩種算法迭代收斂曲線(xiàn)圖Fig.2 Convergence graphs of two algorithms

在無(wú)噪聲、低噪聲和高噪聲三種不同情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，不失一般性，含有噪聲的輸出電壓值計(jì)算為[13]：

其中，Vs為無(wú)噪聲條件下的輸出電壓值，N(0,σ)代表均值為0、方差為σ 的高斯白噪聲。無(wú)噪聲、低噪聲和高噪聲三種不同情況下方差取值分別為0、1/6 和1/3。五種算法參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模N=50，最大迭代次數(shù)T=100。對(duì)于遺傳算法，交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.9。對(duì)于粒子群算法，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，采用動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重。對(duì)于差分進(jìn)化算法，縮放因子F=0.6，交叉參數(shù)CR=0.5。

表3 給出了五種算法在三種不同情況下25 次獨(dú)立運(yùn)行得到的最優(yōu)結(jié)果。在無(wú)噪聲環(huán)境，IDE、DE以及RCGA 算法得到的結(jié)果較好，而PSO 和ABC 表現(xiàn)稍差，目標(biāo)函數(shù)相差1～2 個(gè)數(shù)量級(jí)。在低噪聲和高噪聲環(huán)境下，IDE、DE、ABC 和RCGA 表現(xiàn)較好，PSO 表現(xiàn)稍差，目標(biāo)函數(shù)相差1 個(gè)數(shù)量級(jí)?？傮w來(lái)說(shuō)，三種不同環(huán)境下采用IDE 算法得到的最優(yōu)參數(shù)都接近真實(shí)最優(yōu)值，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值最小，表現(xiàn)最優(yōu)。

表2 不同群體規(guī)模下測(cè)試結(jié)果Table 2 Experimental results with different population size

為了更直觀地顯示IDE算法優(yōu)化系統(tǒng)模型的有效性，圖3 給出了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和IDE 算法優(yōu)化模型輸出電流-電壓曲線(xiàn)圖。從圖中可以看出，對(duì)于無(wú)噪聲情況，優(yōu)化模型輸出曲線(xiàn)幾乎與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)保持一致。對(duì)于存在噪聲的情況，系統(tǒng)電流-電壓曲線(xiàn)圖也能與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)保持一致。結(jié)果表明，優(yōu)化系統(tǒng)模型能較好地反映實(shí)際系統(tǒng)。

6 結(jié) 論

本文基于概率選擇模型提出了一種改進(jìn)的差分進(jìn)化算法并用于質(zhì)子交換膜燃料電池模型參數(shù)優(yōu)化識(shí)別過(guò)程，結(jié)論如下：

（1）在差分進(jìn)化算法個(gè)體選擇方面建立了個(gè)體概率選擇模型，并將該概率選擇模型應(yīng)用于差分進(jìn)化算法的變異和交叉操作過(guò)程，提高了算法的搜索效率和求解精度。

表3 五種算法在三種情況下求解最優(yōu)結(jié)果比較Table 3 The best results of five algorithms under three different conditions

圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型輸出曲線(xiàn)比較Fig.3 Comparisons between the simulated data and the model curves

（2）根據(jù)最小誤差平方和原理得到了關(guān)于模型未知參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，然后將改進(jìn)算法用于求解質(zhì)子交換膜燃料電池模型參數(shù)優(yōu)化識(shí)別問(wèn)題，取得了滿(mǎn)意的結(jié)果。

（3）概率選擇模型僅應(yīng)用于變異和交叉操作過(guò)程，后續(xù)將進(jìn)一步推廣，將其應(yīng)用于算法其他操作算子中，并應(yīng)用于其他類(lèi)型參數(shù)最優(yōu)識(shí)別問(wèn)題中，驗(yàn)證其在工程優(yōu)化中的一般性和普適性。

符 號(hào) 說(shuō) 明

NS——電池個(gè)數(shù)

u——交叉后個(gè)體

v——變異后個(gè)體

x——主種群個(gè)體