謝振宗

(河北師范大學(xué)附屬中學(xué) 050011)

導(dǎo)數(shù)壓軸題集數(shù)學(xué)知識(shí)、能力和方法于一身，是考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合性試題.其中導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題更是集應(yīng)用性與創(chuàng)新性于一體，是高考中較難的問(wèn)題.下面對(duì)一道試題的不同解法進(jìn)行分析，從中提出新問(wèn)題、探求新規(guī)律、歸納新結(jié)論，并將其中周密論證、積極探索的過(guò)程與大家共賞.

一、試題及解答再現(xiàn).

題目已知函數(shù)f(x)=x(ex+1-a) .

(1)若a=2，求f(x)在區(qū)間[0，+∞)上的最小值；

(2)若f(x)-lnx≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)若a=2，則f(x)=xex-x.

所以f′(x)=(x+1)ex-1.

當(dāng)x≥0時(shí)，x+1≥1,ex≥1 ，故(x+1)ex≥1，

即f′(x)=(x+1)ex-1≥0.

故f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

故f(x)min=f(0)=0.

(2)由題意可知f(x)-lnx-1≥0，

即xex+(1-a)x-lnx-1≥0在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)恒成立.

令h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1.

當(dāng)x∈(-∞,0) 時(shí)，h′(x)<0 ，h(x) 單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0，+∞) 時(shí)，h′(x)>0 ，h(x) 單調(diào)遞增,

所以h(x)≥h(0)=0 ，即ex≥x+1 .

又xex=elnx+x，所以xex≥lnx+x+1.

當(dāng)φ(x)=lnx+x=0 時(shí)等號(hào)成立.

所以a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

二、第(2)問(wèn)解法再探究，采用分離參數(shù)法

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0 ，g(x) 在(1，+∞)上單調(diào)遞增；

①

綜上可知,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)<0；

當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，g′(x)>0.

故當(dāng)x=x0時(shí)，

②

由上面解法可知,若能推出g(x0)=2問(wèn)題迎刃而解.

三、提出問(wèn)題，借助信息技術(shù)驗(yàn)證真假.

圖1

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

③

本人對(duì)于③的推導(dǎo)難以進(jìn)行下去，百思不得其解，甚至懷疑自己的運(yùn)算能力是否有誤，進(jìn)而用幾何畫(huà)板作出g(x)圖象進(jìn)行觀察取證以辨真?zhèn)?如圖1.

從圖象觀察，g(x)的最小值的確存在且為2，但是為什么求不出來(lái)呢？

四、撥開(kāi)迷霧，隱零點(diǎn)問(wèn)題得以解決

1.采用分析法

不妨從另一個(gè)角度觀察③式，在兩個(gè)等式成立的條件下將等式進(jìn)行變形，以便尋求其證明方法.

問(wèn)題終于得到解決.真是山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村.

圖2

從它們的圖象也可以得到結(jié)論的正確性，如圖2.

2.采用直接法

五、隱零點(diǎn)問(wèn)題涉及常用結(jié)論

圖3

圖中A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0是一樣的，分別對(duì)應(yīng)下面三個(gè)等式：

從上面的推證我們?cè)俅误w會(huì)數(shù)學(xué)之美，代數(shù)美是一種簡(jiǎn)潔之美，圖象美是一種直觀之美，而數(shù)形結(jié)合的美又是一種和諧之美.這些數(shù)學(xué)之美在我們研究、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中更是一種心靈的升華之美.