王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

作為教材習題，是一輪復習中最為重要的知識聯系紐帶，可以對基礎知識進行挖掘，對知識點形成系統(tǒng)化，構建一個知識網絡，深入理解教材習題的真正意圖.本文從教材中兩個習題的多解性出發(fā)，幫助學生實現數學解題的發(fā)散思維和學習能力的提升.

例1(選修2-1第73頁A組第5題)如圖1，M是拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，求|FM|.

角度1角的思考

從題中可知，求解的關鍵是點M的坐標，而所給的角可看成直線FM的傾斜角，故可利用斜率公式或直線方程進行坐標運算.

角度2長度的思考

本題是求解|FM|的長度，關鍵是建立拋物線上的點M的坐標與|FM|長度的相關聯系即可求解.

角度3定義的思考

本題涉及的問題與拋物線的焦點有關，一般?？紤]使用定義解題，使解答事半功倍.

過點M作準線l的垂線，垂足為點N，連接NF.根據拋物線的定義可知，△MNF為等腰三角形.又∠OFM的角平分線為FN，而∠MFx=60°，故△MNF為等邊三角形.又|FF′|=2，∠NFO=60°，則NF=4，故|FM|=4.

上述三個角度是解決解析幾何問題中最常用的方法，只有真正弄清楚題目的要求才能將問題迎刃而解，最終將知識有機地結合.

例2(必修2第90頁B組第6題)經過點P(0,-1)作直線l，若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點，求直線l斜率k的取值范圍？

雖然提倡回歸教材，但很少有人能真正做到，筆者認為，能以教材的例題、習題及復習參考題為解題對象，無疑是對回歸教材的一種良好體現，尤其是一輪復習過程中能重新認識教材的各類題目也必會有一番新作為.通過一題多解可將知識進行整合，從而拓寬學生整體性解題視野.

角度1形的思考

解析幾何是形的所在，理所當然會想到運用數形結合的方法解決問題.

根據題意，當直線l繞點P旋轉，從PA到PB均與線段AB有公共點，結合兩點間的斜率公式，可求得直線PA、PB的斜率，所求直線l的斜率k的取值范圍為kPA≤k≤kPB，即-1≤k≤1．

評注在運用幾何處理過程中，答案的書寫也需謹慎，斜率的取值范圍切不可寫錯.

數形結合是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優(yōu)化解題的目的.

角度2數的思考

解析幾何是將“形”用“數”進行解決問題，將數學問題運用數學語言轉化求解.將直線轉化為二元一次方程來體現，用代數的思想進行求解.

在直角坐標系中建立直線方程，把直線問題轉化為代數問題，通過代數處理，分析代數結果的幾何意義，最終解決幾何問題.

角度3線性規(guī)劃的思考

觀察直線l將AB分成兩段，讓你想到了什么？除兩端點以外，其余位置恰將A,B兩點分在直線l的兩側，聯想到線性規(guī)劃知識A,B兩側符號相反.

直線l方程為kx-y-1=0，根據線性規(guī)劃知識可知，A(1,-2),B(2,1)兩點在直線的異側，符號相反，同時也可在兩端點處，如圖5.

故(k+2-1)(2k-1-1)≤0，解得-1≤k≤1.

角度4向量的思考

又根據題意λ∈[0,1]，可得-1≤k≤1.

通過直角坐標系將上述四種方法緊緊圍繞在一起，形成一種知識體系，達成共識，讓學生從中學會了貫通，將知識進行重新整合，更有系統(tǒng)性，為提升學生學習能力而提供便捷，使教材習題真正實現其價值.

“一題多解”是數學課堂解題教學中的一種最為常見形式，也是培養(yǎng)學生的數學思維能力的一條有效途徑. “一題多解”指的是通過不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個數學問題的教學方法.數學課堂教學中的多元化發(fā)散思維訓練，可以通過“一題多解”得以實現.對于一個數學問題而言，若能根據已知條件與所求結論之間的關系，進行發(fā)散性思維，善于橫縱聯系，多視角的深入分析，就可實現一題多解.平時把教材習題能利用好同樣能光彩綻放.