甘志國
(北京豐臺(tái)二中 100071)
定理1 以等軸雙曲線上任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心也在該雙曲線上.
解析(1,0).我們用平移的方法解這道題.
定理2 以等軸雙曲線上任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓過定點(diǎn)且該定點(diǎn)就是該等軸雙曲線的中心.
①
②
③
①-②,③-②,分別得
④
⑤
又由①,可求得F=0.
⑥
⑦
可求得圓⑥與圓⑦的公共點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O.因此,若以曲線Γ上的任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓(即圓⑥)經(jīng)過定點(diǎn),則該定點(diǎn)只可能是坐標(biāo)原點(diǎn)O.
又因?yàn)閳A⑥過坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以結(jié)論成立.
題2 (題1的類題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A,B,C是曲線x2-y2+2x+4y+a=0(a≠-3)上三個(gè)兩兩互異的點(diǎn),且D,E,F分別是線段BC,CA,AB的中點(diǎn),則過D,E,F三點(diǎn)的圓一定經(jīng)過的定點(diǎn)是____.
解析(-1,2).可得題中的曲線即等軸雙曲線(x+1)2-(y-2)2=-a-3(-a-3≠0),其對稱中心是點(diǎn)(-1,2).再由定理可得答案.
筆者由定理1,2聯(lián)想到了九點(diǎn)圓定理:三角形三邊的中點(diǎn),三條高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)(連接三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn))這九點(diǎn)共圓.由此結(jié)論及定理1,2,可得.
定理3 如圖1,2所示,若三點(diǎn)A1,A2,A3均在等軸雙曲線Γ上(在圖1中,三點(diǎn)A1,A2,A3均在雙曲線Γ的同一支上;在圖2中,三點(diǎn)A1,A2,A3不均在雙曲線Γ的同一支上),則△A1A2A3的垂心H也在雙曲線Γ上,且△A1A2A3三邊A2A3,A3A1,A1A2的中點(diǎn)B1,B2,B3、三條高AiHi的垂足Hi、三條線段AiH的中點(diǎn)Ci(i=1,2,3)及雙曲線Γ的中心O這十點(diǎn)共圓.