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        例析隱零點問題的三類處理技巧

        2021-04-08 03:07:28魏東升
        數(shù)理化解題研究 2021年7期

        魏東升

        (江西省瑞金第一中學(xué) 342500)

        函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主要是考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的主要載體,其一直是高考考查的重點之一.在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題時,對零點的處理往往是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié),有些函數(shù)的零點確實存在,但無法精確求解,此謂之“隱零點”;有些導(dǎo)數(shù)的零點雖然可求,但因含參而需要討論.對于這類問題,常見的處理方式主要有虛設(shè)零點、化隱為顯和變換主元三大類.

        一、虛設(shè)零點

        所謂虛設(shè)零點,是指為了處理函數(shù)的隱零點問題,通過采取假設(shè)函數(shù)零點卻不直接求解,通過謀求整體的轉(zhuǎn)化,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求的形式進行求解的一種處理技巧.

        評析本題涉及了超越函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等函數(shù)結(jié)合的函數(shù)),在假設(shè)零點后,可以考慮把超越式(如lnx、ex等)分離出來再代入表達式求解,以達到將超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函數(shù)的目的,此謂之整體消“超”.除此之外,對于一類函數(shù)零點個數(shù)判斷(或根據(jù)零點個數(shù)求參、或零點所在區(qū)間判斷)的問題,可以考慮利用該零點附近的特殊點的函數(shù)值來確定符號,謂之特點定號(如2019年全國Ⅱ卷文);對于含有參數(shù)的函數(shù),還可以考慮整體消參(如2019年天津卷文)和降次留參(如2019年江蘇卷)等方式,

        二、化隱為顯

        所謂化隱為顯,指的是為了避免出現(xiàn)直接求導(dǎo)帶來的隱零點問題,通過采取重新構(gòu)造函數(shù)的方式,把隱零點轉(zhuǎn)化為顯零點的一種處理技巧.

        例2 (2017年全國Ⅱ卷理)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.求a.

        評注分離是化隱為顯的一種常見手段,其通常用于分離參數(shù),或者是分離含有類如xlnx這樣的超越式.本題中除了分離參數(shù),還由于f(x)含有xlnx而導(dǎo)致求導(dǎo)后出現(xiàn)了隱零點問題,故而采取了將x和lnx分離的處理方式.除了分離構(gòu)造,常見化隱為顯的方法還有合并構(gòu)造(如2018年全國Ⅱ卷理)、放縮構(gòu)造(如2018年全國Ⅰ卷文)和雙雄構(gòu)造(指把一個函數(shù)拆成兩個函數(shù),如2014年全國Ⅰ卷理)等.

        三、變換主元

        有些數(shù)學(xué)問題中常含變量,在某些情況下為了解決問題的需要,可人為地突出該變量的主體地位作用,將之當(dāng)作主元構(gòu)造新的函數(shù),以達到化難為易的目的.這種思路還適用于多元變量函數(shù)的問題.

        例3 (2015年全國Ⅰ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

        當(dāng)a<2ex時,g′(a)<0;當(dāng)a>2ex時,g′(a)>0,所以a=2ex時,g(a)取最小值為g(2ex)=e2x-2ex.

        評注本題如果直接對f(x)進行求導(dǎo),會出現(xiàn)隱零點問題以致給解題帶來不便,故這里采用了重新構(gòu)造關(guān)于變量a的對數(shù)超越函數(shù)的處理方式.除了重構(gòu)對數(shù)超越函數(shù),變換主元往往還會重構(gòu)指數(shù)超越函數(shù)(如2016年全國Ⅲ卷文)、重構(gòu)雙勾型函數(shù)(如2017年全國Ⅲ卷文)和重構(gòu)二次函數(shù)(如2019年浙江卷).

        通過上述幾個高考真題我們知道,通過結(jié)合已知條件和結(jié)論虛設(shè)零點、化隱為顯和變換主元是解決隱零點問題的主要處理策略.在導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)過程中,像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略,盡量一次性徹底地解決與其有關(guān)的問題,對學(xué)生解題水平的提升、邏輯思維的訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng),想來都是極好的.

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