韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學(xué) 731700)

我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中善于歸納總結(jié)一些數(shù)學(xué)的性質(zhì)和結(jié)論，就能提高解題的效率和速度，做到事半功倍的效果.下面是我在教學(xué)中歸納總結(jié)的拋物線焦點(diǎn)弦問題的性質(zhì)和結(jié)論，供參考.

若AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A(x1,y1)，B(x2,y2).

結(jié)論2|AB|=x1+x2+P.

(2)焦點(diǎn)弦中通徑(過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦)最短.

易驗(yàn)證，結(jié)論對(duì)斜率不存在時(shí)也成立.

(2)由(1)知，當(dāng)AB為通徑時(shí)，α=90°，sin2α的值最大，|AB|最小.

例1 已知過拋物線y2=9x的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12，則直線AB傾斜角為____.

結(jié)論4兩個(gè)相切：(1)以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切.

已知:AB是拋物線y2=2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，求證：(1)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

(2)分別過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切.

證明(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,過點(diǎn)A、Q、B向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為點(diǎn)M、P、N，連接AP、BP.

由拋物線定義，知|AM|=|AF|.

所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切.

(2)如圖2，取MN中點(diǎn)P，連接PF、MF、NF.

因?yàn)閨AM|=|AF|，AM∥OF，

所以∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO.

所以∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO.

所以∠PFM=∠FMP.

所以∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°.

所以FP⊥AB.

所以以MN為直徑的圓與焦點(diǎn)弦AB相切.

則y1=p，y2=-p.

所以y1y2=-p2.

例2 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

4a2x2-4akx-1=0.

解法2特值法.當(dāng)直線平行于x軸時(shí)得出答案.

解法3利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.

結(jié)論7過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．則

(1)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上;

(2)FM⊥AB;

(3)AM⊥BM.

逆命題過拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)M作拋物線y2=2px(p>0)的切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB過焦點(diǎn)F．

(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．

解析(1)由已知條件，得F(0，1)，λ>0．

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①

②

y1=λ2y2.

③

所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是

解得p=2．

總之，只要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中善于歸納、總結(jié)、整理，就會(huì)得出一些課本之外的性質(zhì)和結(jié)論，對(duì)我們的學(xué)習(xí)、解題有很大的幫助.