李高銘,聶卓赟,李兆洋,鄭義民,羅繼亮

(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,福建廈門 361021)

1 引言

輪式移動機(jī)器人(wheeled mobile robot,WMR)在軍事、工業(yè)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用前景.為提高運(yùn)動控制精度,一般需要加裝激光雷達(dá)等傳感器進(jìn)行定位和位置、速度校正[1-2],另一種方式則是依靠高性能運(yùn)動控制算法,減小運(yùn)動任務(wù)執(zhí)行偏差[3-4].由于存在左右輪負(fù)載不均衡與運(yùn)動耦合等因素,WMR在運(yùn)動過程中產(chǎn)生較大偏差.因此,克服非平衡負(fù)載與運(yùn)動耦合影響,在提高WMR的運(yùn)動控制精度中具有重要作用.

對于WMR運(yùn)動控制問題,涌現(xiàn)出很多非線性控制理論相關(guān)的控制方法,例如：滑?？刂芠5]、反演法控制[6-9]等.文獻(xiàn)[7]利用反演法設(shè)計全局自適應(yīng)跟蹤控制器,解決存在參數(shù)和非參數(shù)不確定性的鏈?zhǔn)絼討B(tài)非完整機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動控制問題.文獻(xiàn)[9]提出一種用于提升WMR瞬態(tài)性能和抑制跟蹤誤差能力的雙時間尺度濾波技術(shù),并設(shè)計反演控制器實現(xiàn)目標(biāo)跟蹤.這類非線性控制方法主要以期望運(yùn)動學(xué)模型為跟蹤目標(biāo),構(gòu)建基于姿態(tài)跟蹤誤差的跟蹤控制器,在穩(wěn)定性條件與一致有界性下,使跟蹤誤差收斂;在速度控制上,則主要基于動力學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計,而這就要求對WMR系統(tǒng)進(jìn)行精確的動力學(xué)建模,較難在常規(guī)WMR上應(yīng)用.特別是,當(dāng)WMR具有非平衡負(fù)載時,WMR的動力學(xué)模型變化較大,運(yùn)動速度耦合對控制性能的影響也變得非常明顯.

目前,針對非平衡負(fù)載下WMR的控制問題,主要采用靜態(tài)解耦方法進(jìn)行速度控制[10-11],或僅考慮電機(jī)轉(zhuǎn)速/轉(zhuǎn)矩控制[3,6],而將非平衡負(fù)載引起的前進(jìn)/轉(zhuǎn)向速度偏差,置于軌跡跟蹤控制回路中進(jìn)行補(bǔ)償.WMR的軌跡運(yùn)動控制為一類具有非完整約束的非線性控制問題[4,9],上述方案無疑為軌跡跟蹤控制器的設(shè)計提出了更高的要求.

主動抗擾(active disturbance rejection,ADR)控制是一類不需要對象精確模型的控制方法[12-13],通過構(gòu)建觀測器估計系統(tǒng)擾動,并進(jìn)行反饋補(bǔ)償.對于具有回路耦合的多輸入多輸出系統(tǒng),ADR控制具有天然的解耦特性[14].這類方法在機(jī)器人運(yùn)動控制上取得了不錯的效果[15-19].為克服WMR系統(tǒng)的非完整約束、未知參數(shù)和耦合,文獻(xiàn)[17]利用高增益觀測器估計WMR的前進(jìn)速度和轉(zhuǎn)向速度,并設(shè)計基于自適應(yīng)狀態(tài)反饋的跟蹤控制器.文獻(xiàn)[19]利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)擾動進(jìn)行估計,并在在控制律中加入擾動補(bǔ)償項以減小參數(shù)不確定性和外界擾動對系統(tǒng)的影響.

PID控制器在工業(yè)系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛,相關(guān)分析與設(shè)計方法非常豐富.但在實際應(yīng)用中,往往缺少對象的數(shù)學(xué)模型,PID控制仍以經(jīng)驗調(diào)參為主,較難保證工程控制性能.近年來,基于ADR控制方法設(shè)計PID控制器受到廣泛關(guān)注[20-24],所設(shè)計的PID控制器能實現(xiàn)參數(shù)快速整定,且具有良好的魯棒性與抗干擾能力.文獻(xiàn)[20]在自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)架構(gòu)中采用降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器給出了PID設(shè)計原理;文獻(xiàn)[21]基于ADRC中的“總擾動”與微分跟蹤器思想,提出了一種自耦PID控制方法;文獻(xiàn)[22]給出了一種基于平坦濾波器的PID設(shè)計方法,并討論了PID控制器與滑?？刂?、ADRC的關(guān)聯(lián);文獻(xiàn)[23]闡述了二階ADRC系統(tǒng)中PID控制器的存在形式與工作原理,即將ADRC控制器等效為標(biāo)準(zhǔn)PID控制器與濾波器的串聯(lián)形式;文獻(xiàn)[24]給出了基于一類改進(jìn)干擾觀測器(disturbance observer,DOB)[25]的PID控制器設(shè)計方法,進(jìn)一步簡化了PID參數(shù)整定.上述研究建立了PID控制器參數(shù)與跟蹤、抗擾性能之間的聯(lián)系,使得參數(shù)調(diào)節(jié)具有明確物理意義,為本文WMR運(yùn)動控制設(shè)計,提供了新思路.

本文著重解決非平衡負(fù)載下的WMR速度耦合控制問題,建立一種基于抗擾PID(disturbance rejection PID,DR-PID)的WMR速度控制策略.首先,建立前進(jìn)速度與轉(zhuǎn)向速度的耦合模型,并設(shè)計靜態(tài)解耦矩陣.在此基礎(chǔ)上,基于文獻(xiàn)[25]研究高頻增益不匹配下的DR-PID控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析.最后,開展WMR運(yùn)動控制實驗,驗證所提方法的有效性.

2 問題描述

本文研究兩輪差速WMR速度控制問題.模型如圖1所示,其中：vL,vR分別是左右驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速;GL,GR分別是左、右兩輪伺服驅(qū)動模型,平衡負(fù)載下有GL≈GR;v和w分別為前進(jìn)速度和轉(zhuǎn)向速度;r是驅(qū)動輪的半徑;b是兩個驅(qū)動輪幾何中心的間距.

圖1 兩輪差速WMR模型Fig.1 Two-wheel differential WMR

電機(jī)轉(zhuǎn)速與WMR運(yùn)動速度之間的關(guān)系可表示為

其中B為速度靜態(tài)變換矩陣.

WMR兩輪在伺服驅(qū)動系統(tǒng)作用下進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制.令期望轉(zhuǎn)速分別為則WMR運(yùn)動速度為

式(2)表明兩驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速與WMR運(yùn)動速度之間存在較強(qiáng)的耦合關(guān)系.

為實現(xiàn)運(yùn)動速度獨(dú)立調(diào)節(jié),一種常規(guī)控制方案是假設(shè)GL=GR,并引入靜態(tài)解耦矩陣B?1,得到

其中uv和uw為給定輸入.這類控制方案在平衡負(fù)載且無擾情況下,能實現(xiàn)WMR運(yùn)動速度的獨(dú)立調(diào)節(jié).然而,在實際運(yùn)行條件下,WMR左右伺服傳動系統(tǒng)松緊程度不同,或左右負(fù)載差異,使得GL與GR存在較大差別.因此,速度控制受到耦合項GR-GL的影響,給WMR的軌跡跟蹤、避障等帶來較大困難.

為此,本文考慮非平衡條件下WMR運(yùn)動速度控制問題,目標(biāo)是使WMR前進(jìn)速度v和轉(zhuǎn)向速度w按照給定速度進(jìn)行獨(dú)立調(diào)節(jié).為達(dá)到控制目標(biāo),本文在常規(guī)方案的基礎(chǔ)上提出如圖2所示控制方案.該方案將運(yùn)動速度的動態(tài)耦合當(dāng)作系統(tǒng)的擾動[14],基于文獻(xiàn)[25]設(shè)計具有抗擾能力的PID控制器,實現(xiàn)兩個回路運(yùn)動速度的獨(dú)立調(diào)節(jié).

圖2 WMR運(yùn)動控制策略Fig.2 The motion control strategy for WMR

3 DR-PID設(shè)計

3.1 抗擾原理

考慮一類最小相位對象

其中：n和l都是正整數(shù),l為對象的相對階次,表示為l=r[G];an/=0,bn?l/=0,使得對象的相對階次不發(fā)生變化.

文獻(xiàn)[25]針對這類對象G(s),提出一種改進(jìn)型DOB控制方案,其控制結(jié)構(gòu)如圖3所示.圖中K(s)為前置補(bǔ)償器;HR(s)為期望模型,且保持與G(s)K(s)的階次匹配,有

圖3 改進(jìn)的DOB控制結(jié)構(gòu)Fig.3 The control structure of the improved DOB scheme

在改進(jìn)型DOB方案中,用HR(s)代替G(s)K(s),有

其中：u,d和y分別為控制輸入量、外部擾動和對象輸出;u=f為總擾動,它包含了內(nèi)部擾動f1和外部擾動f2兩部分：

式(7)表明,內(nèi)部擾動由GK和HR之間的模型不匹配產(chǎn)生.

這種改進(jìn)方式,有如下特點(diǎn)：1)避免G(s)的求逆;2)通過引入前置補(bǔ)償K(s),減小內(nèi)部擾動、減輕擾動估計器負(fù)擔(dān);3)控制結(jié)構(gòu)簡單,易于實現(xiàn).

結(jié)合DOB原理,擾動估計為

在改進(jìn)型DOB控制方案中,從擾動f到估計值的傳遞函數(shù)為Q(s),有

Q(s)在帶寬范圍內(nèi)為單位增益,可對f進(jìn)行估計.若G(s)K(s)與HR(s)能在高頻完全匹配,則f的高頻成分較小,通過Q(s)能得到準(zhǔn)確的擾動觀測.

在圖3中,從y?到y(tǒng)的傳遞函數(shù)為

將G(s),K(s),HR(s),Q(s)表示為互質(zhì)多項式分?jǐn)?shù),有

和Q(τqs)=bq(τqs)/aq(τqs).結(jié)合內(nèi)穩(wěn)定條件[26],分析系統(tǒng)特征方程

當(dāng)τq=0時,pc(s,0)=aq(0)bq(0)bk(s)bg(s)ah(s)為Hurwitz多項式,系統(tǒng)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[25]給出如下穩(wěn)定性條件：

定理1[25]存在一個最大值對所有0＜τq＜如果滿足以下條件,則DOB控制系統(tǒng)穩(wěn)定：

1) 階次匹配式(5)成立;

2)bg(s)是Hurwitz多項式;

3)bk(s)是Hurwitz多項式;

4)?(S)是Hurwitz多項式.

其中：

注1在定理1中,γ可視為G(s)K(s)與HR(s)的高頻增益匹配系數(shù),主要由G(s)的高頻增益an/bn?l決定.如果an/bn?l已知,則能通過設(shè)計K(s)使γ=0,從而減小系統(tǒng)內(nèi)部擾動的高頻分量;如果an/bn?l存在較大不確定性,使得γ/=0,則系統(tǒng)中可能存在較大高頻擾動,而這就對濾波器Q(τqs)的快速性提出了較高要求.

3.2 DR-PID及穩(wěn)定性分析

考慮相對階次l=2的一類最小相位系統(tǒng)(4).結(jié)合DOB抗擾控制原理,選取低階期望模型和低通濾波器以構(gòu)建等效PID控制器,有

其中：τc＞0為控制時間常數(shù);τq＞0為觀測器時間常數(shù).選取K(s)=kpd(1+kds),實現(xiàn)GK與HR的階次匹配.

此時圖3所示的改進(jìn)DOB控制系統(tǒng)等效為圖4所示的二自由度PID控制結(jié)構(gòu),包括PID控制器C(s)和輸入濾波器F(s),有

其中：kpi=τc/τq,ki=1/τc.

圖4 二自由度PID控制結(jié)構(gòu)Fig.4 Two degree-of-freedom PID control structure

下面給出PID控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.

定理2針對圖4所示二自由度PID控制系統(tǒng),考慮l=2的最小相位對象(4),在PID控制器(10)中,給定kd＞0和τc＞0,如果滿足以下兩個條件之一：

1)γ ＞?1;

2)an/bn?lkpdkd＞0,

證 在給定式(8)-(9)和K(s)=kpd(1+kds)條件下,二自由度PID控制結(jié)構(gòu)與改進(jìn)DOB控制等效.此時,系統(tǒng)階次匹配條件成立;最小相位對象(4)滿足bg(s)Hurwitz多項式條件;kd＞0,滿足bk(s)Hurwitz多項式條件.

將Q(s)代入?(S)得到?(S)=(γ+1)S+1,?(S)為Hurwitz多項式的條件為γ ＞?1.進(jìn)一步,將HR(s),G(s)和K(s)代入γ得到

an/bn?lkpdkd＞0即可保證?(S)滿足Hurwitz條件.γ為高頻增益匹配系數(shù).若γ=0,則表明G(s)K(s)與HR(s)在高頻完全匹配.

因此,定理2的兩個條件均與?(S)是Hurwitz多項式等價.根據(jù)定理1,存在一個最大值對所有0＜τq＜PID控制系統(tǒng)穩(wěn)定.證畢.

注2通過設(shè)計kpd,kd滿足an/bn?lkpdkd＞0或γ ＞?1,上述穩(wěn)定性分析中表明：即使系統(tǒng)高頻增益an/bn?l存在較大的不確定性(只要符號保持不變),該穩(wěn)定性條件依然成立.可見,針對高頻增益an/bn?l不確定性,該穩(wěn)定性條件具有強(qiáng)魯棒性.

式(10)中PID控制器表示為

式(12)中Kp與Ki的表達(dá)式均含有Kd,可將Kd作為控制器增益,則PID控制器(10)可寫成

式(12)和(13)所得PID控制器是由一類ADR控制策略等效而成,揭示了理想PID控制器的ADR機(jī)理[24]：

1) PID三項權(quán)重,由對象自身快慢特性及期望性能決定.τc代表閉環(huán)響應(yīng)速度(期望目標(biāo)),λ代表系統(tǒng)的相位超前補(bǔ)償,兩個參數(shù)均與對象G(s)的快慢特性相匹配.對快系統(tǒng),τc和λ取小;對慢系統(tǒng),τc和λ取大.文中推薦λ正比于τc.

2) 閉環(huán)控制系統(tǒng)逼近理想性能的能力由PID增益Kd決定.根據(jù)改進(jìn)DOB抗擾原理[25]和帶寬調(diào)節(jié)法[27],在理想情況下,Kd(1/τq)越大控制性能越好、魯棒性越強(qiáng).此時,系統(tǒng)的不確定性(高頻增益不匹配,內(nèi)部擾動)和外部擾動都將得到抑制;可認(rèn)為λ與控制器增益Kd是實現(xiàn)期望目標(biāo)的調(diào)節(jié)手段.

3) 文中所討論P(yáng)ID控制器的ADR機(jī)理適用于無不穩(wěn)定零點(diǎn)、相對階為2的線性時不變定常對象,對非最小相位、時滯系統(tǒng)等,其DR-PID的設(shè)計仍需進(jìn)一步討論.

在工程應(yīng)用中,選定期望目標(biāo)τc后,PID控制器的設(shè)計是ADR機(jī)理與非理想條件(例如系統(tǒng)可能存在高階動態(tài)特性、時滯、非最小相位零點(diǎn)、非線性,或者帶寬受限等)的折中,主要體現(xiàn)在相位超前補(bǔ)償λ與PID增益Kd的選取上.此時,可先根據(jù)系統(tǒng)快慢特性選擇λ,進(jìn)而確定PID三項比值,然后逐步增大PID增益Kd,直到控制性能符合折中需求.此外,為了克服量測噪聲影響,可在控制回路中引入濾波器,適應(yīng)工程應(yīng)用.

文獻(xiàn)[14]分析了ADR控制策略具有的天然解耦特性,即：ADR控制能對多輸入多輸出系統(tǒng)回路間的耦合作用進(jìn)行主動估計補(bǔ)償.為此,本文針對式(3)構(gòu)建的兩輸入兩輸出系統(tǒng),應(yīng)用DR-PID實現(xiàn)WMR的前進(jìn)、轉(zhuǎn)向速度獨(dú)立控制.

4 實驗與分析

4.1 實驗平臺

本文使用的實驗平臺是一款兩輪差速WMR,如圖5所示.兩輪獨(dú)立驅(qū)動,采用帶500線AB相光電編碼器的減速直流有刷伺服電機(jī),電機(jī)減速比為1：27;電機(jī)驅(qū)動電路板是一款采用BTN7971芯片的三路驅(qū)動模塊,使用PWM方式對電機(jī)進(jìn)行調(diào)速;STM32F1開發(fā)板集成了ESP8266WiFi模塊,在對WMR進(jìn)行控制的同時,通過WiFi模塊向PC端發(fā)送WMR的運(yùn)行數(shù)據(jù);系統(tǒng)的采樣控制周期為2 ms;使用5 AH,22.2 V鋰電池為WMR系統(tǒng)供電;全向從動輪使WMR可保持平衡以及平穩(wěn)轉(zhuǎn)向;驅(qū)動輪幾何中心的間距b=0.33 m,車輪直徑為0.127 m.

圖5 實驗平臺實物圖Fig.5 The physical picture of experimental platform

4.2 控制器設(shè)計與仿真分析

構(gòu)建靜態(tài)解耦矩陣B?1矩陣,可得到式(3)系統(tǒng)模型.分別給定系統(tǒng)直線前進(jìn)指令和轉(zhuǎn)向指令,辨識式(3)中對角元素,有

在模型(3)中,由于b=0.33 m相對較小,有

可見,前進(jìn)速度v控制回路對轉(zhuǎn)向速度w影響較大.從ADR控制角度來看,要求轉(zhuǎn)向速度w控制的擾動抑制能力強(qiáng)于前進(jìn)速度v回路,即τqw＜τqv,相應(yīng)的τcw＜τcv.根據(jù)上述原則,選取兩個回路的抗擾控制器參數(shù)在表1中給出.所得前進(jìn)速度控制回路的控制器Cv(s)和輸入濾波器Fv(s)分別為

所得轉(zhuǎn)向速度控制回路的控制器Cw(s)和輸入濾波器Fw(s)分別為

表1 DR-PID的參數(shù)選取Table 1 The parameter selection of DR-PID

對辨識模型(14)進(jìn)行單回路控制仿真分析.兩個回路的給定輸入為

在t=8 s時加入幅值為0.2的擾動,仿真結(jié)果如圖6所示.

圖6 仿真結(jié)果Fig.6 The simulation results

仿真結(jié)果表明：1)DR-PID具備優(yōu)良的擾動抑制效果,參數(shù)帶寬調(diào)節(jié)效果顯著;2)通過帶寬分配,轉(zhuǎn)向速度w回路的擾動抑制能力強(qiáng)于前進(jìn)速度v回路,達(dá)到預(yù)期效果.

4.3 抗擾控制實驗

采用所設(shè)計的DR-PID控制器,驗證WMR在空載、左側(cè)負(fù)載和右側(cè)負(fù)載的抗擾性能.負(fù)載為12 kg重物,達(dá)到WMR負(fù)載能力的48%.此時,WMR一側(cè)驅(qū)動電機(jī)重載,一側(cè)驅(qū)動電機(jī)接近空載,處于嚴(yán)重負(fù)載不平衡狀況.

給定的WMR期望速度信號為

在t=3 s和t=9 s時,對兩伺服電機(jī)分別施加擾動

為克服測量噪聲影響,在反饋通道添加低通濾波器Ff(s)=1/(0.02s+1).圖7-9給出WMR抗擾控制效果圖,可看到,不論WMR處于空載還是非平衡負(fù)載情況,兩個回路在速度調(diào)節(jié)過程中的相互影響都非常小,且系統(tǒng)受到的外部擾動,也能夠迅速的進(jìn)行補(bǔ)償.實驗結(jié)果表明,在本文提出的DR-PID控制下,WMR的前進(jìn)速度與轉(zhuǎn)向速度幾乎實現(xiàn)獨(dú)立調(diào)節(jié),具備較強(qiáng)抗干擾能力.

圖7 抗擾控制實驗結(jié)果-無負(fù)載Fig.7 The disturbance rejection control experimental results-no load

圖8 抗擾控制實驗結(jié)果--左側(cè)負(fù)載Fig.8 The disturbance rejection control experimental results-load on left

圖9 抗擾控制實驗結(jié)果--右側(cè)負(fù)載Fig.9 The disturbance rejection control experimental results-load on right

4.4 時變速度跟蹤控制實驗

WMR在執(zhí)行應(yīng)用任務(wù)時,一般要求運(yùn)行軌跡不受負(fù)載影響,即在空載和負(fù)載情況下軌跡應(yīng)該保持重合.作者在WMR上一側(cè)增加12 kg的非平衡負(fù)載,僅在速度控制情況下,測試WMR的軌跡偏差.

給定WMR的變速輸入信號為

在期望速度下,WMR將在圓形軌跡上運(yùn)動.

首先,采用常規(guī)控制方案(3).此時,WMR在電機(jī)轉(zhuǎn)速伺服控制下運(yùn)行,通過靜態(tài)解耦矩陣進(jìn)行前進(jìn)速度和轉(zhuǎn)向速度調(diào)節(jié).由于WMR受到非平衡負(fù)載,系統(tǒng)的內(nèi)部耦合嚴(yán)重.如圖10(a)所示,轉(zhuǎn)向速度受到負(fù)載影響較大,使得圖11(a)中的軌跡與無負(fù)載情況存在明顯偏差.

然后,采用本文提出的DR-PID控制策略.圖10(b)給出的運(yùn)動速度控制表明,非平衡負(fù)載條件下運(yùn)動速度控制依然良好,且運(yùn)動軌跡在圖11(b)中也幾乎與無負(fù)載情況重合.可見,本文提出的DR-PID控制方法,能很好地實現(xiàn)WMR的運(yùn)動速度控制,具有很強(qiáng)的抗干擾能力,在WMR高精度運(yùn)動控制上具有重要作用和意義.

圖10 速度控制實驗結(jié)果Fig.10 The speed control experimental results

圖11 WMR的運(yùn)動軌跡Fig.11 The trajectories of WMR

5 結(jié)語

在非平衡負(fù)載下,WMR的前進(jìn)、轉(zhuǎn)向速度耦合嚴(yán)重,對運(yùn)動控制性能產(chǎn)生較大影響.為解決這類問題,本文提出一種基于DR-PID的WMR運(yùn)動控制方法.通過建立運(yùn)動耦合模型,在前進(jìn)、轉(zhuǎn)向速度控制回路中引入靜態(tài)解耦矩陣,減小回路間的靜態(tài)耦合作用;進(jìn)一步,提出了一種DR-PID控制器設(shè)計方法,建立了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,并揭示了PID控制器的抗擾原理.這類DR-PID具有ADR能力,對系統(tǒng)的高頻增益不確定性具有強(qiáng)魯棒性,能很好地克服WMR的動態(tài)耦合;最后,在一類WMR上開展了實驗研究,采用本文提出控制策略后,非平衡負(fù)載產(chǎn)生的耦合影響得到了有效抑制,從而驗證了本文方法的有效性.