余 臻李喆瀚劉利軍

(1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,福建廈門 361102;2.廈門大學(xué)深圳研究院,廣東深圳 518000;3.航海保障技術(shù)重點實驗室,天津 300450)

1 引言

非線性H∞控制是解決非線性系統(tǒng)魯棒控制問題的重要技術(shù).非線性H∞控制的優(yōu)點在于利用了系統(tǒng)的非線性特性,因此具有良好的控制性能,并且由于H∞控制的特性而具有很強的魯棒性[1-2].然而,大多數(shù)非線性H∞控制律的求解需要復(fù)雜的迭代算法,必須分析迭代算法的收斂性,需要進行大量的計算,可能導(dǎo)致“維數(shù)災(zāi)難”問題[3].即便已經(jīng)出現(xiàn)了很多先進的非線性控制算法,在實際的電液伺服系統(tǒng)工程應(yīng)用中大多還是使用PID控制技術(shù)[4].電液伺服系統(tǒng)是機-電-液結(jié)合的設(shè)備,具有很強的非線性,包括伺服閥的流量-壓力特性、死區(qū)特性等[5],而常規(guī)的PID控制無法克服死區(qū)等非線性因素,也無法很好地權(quán)衡非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與準確性[6].按照穩(wěn)定性整定PID參數(shù),則目標跟蹤效果較差;按照準確性整定PID參數(shù),則干擾抑制效果較差.因此,構(gòu)建一個簡單、非迭代的解析非線性H∞控制律,對于實際電液伺服系統(tǒng)的控制具有重要意義.

非線性H∞控制核心是求解Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)方程[2].由于HJI是一階非線性偏微分方程,獲得HJI方程的解析解是很困難的[7],所以研究主要集中在尋找HJI方程的數(shù)值解.求解HJI方程的主要方法是策略迭代[8].主要有：高階展開法[2,9]、逐次逼近法[10-11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[12-14].

文獻[2]提出了非線性H∞控制的HJI方程,并提出用泰勒級數(shù)展開近似求解HJI方程.文獻[9]提出了一種基于能量補償?shù)腡aylor級數(shù)法,可以確保求解HJI方程.HJI方程的間接迭代近似解可以用光滑函數(shù)逐次逼近[2].文獻[10]提出了一種平方和自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃(sum-of-squares adaptive dynamic programming,SOSADP)方法來計算非線性系統(tǒng)H∞最優(yōu)控制的近似解.文獻[11]提出了一種在Banach空間中通過不動點迭代求解HJI方程的無梯度迭代割線法.文獻[12]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的在線無模型積分強化學(xué)習算法,用于解決具有干擾和輸入飽和的未知非線性系統(tǒng)的有限階段H∞最優(yōu)跟蹤控制問題.文獻[13]基于自適應(yīng)評判和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),提出了一種基于事件的非線性系統(tǒng)輸入約束H∞控制.此外,文獻[14]引入了一種非策略強化學(xué)習方法,以從實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)而非數(shù)學(xué)模型中學(xué)習未知內(nèi)部系統(tǒng)模型的非線性系統(tǒng)HJI方程解.

上述求解HJI方程方法和現(xiàn)有非線性H∞控制算法主要存在的問題包括：1)隨著系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)的增長,對計算機性能的需求呈指數(shù)增長,可能遭受“維數(shù)災(zāi)難”;2)通常具有復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達式,使得實際控制中的整定變得困難;3)部分算法缺乏理論證明來確保非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以上問題使得非線性H∞控制律在實際工程中的應(yīng)用變得困難.在實際中廣泛使用的PID控制則無法克服死區(qū)等非線性因素,也無法很好地兼顧非線性系統(tǒng)的魯棒性與控制性能.

本文針對這些不足,提出一種電液伺服系統(tǒng)多項式非線性H∞控制律.該控制律可以通過離線計算得到解析解,對計算機性能要求很低,并且具有較為簡單的數(shù)學(xué)表達式,因此很容易應(yīng)用到實際工程領(lǐng)域.同時,控制律可以保證系統(tǒng)從干擾至控制輸出L2增益小于等于設(shè)定值,并且在系統(tǒng)干擾為零時保證狀態(tài)變量全局漸進收斂,相較常規(guī)PID控制具有更強的魯棒性和控制性能.將多項式非線性控制律應(yīng)用于具有非線性的電液伺服實驗臺中,結(jié)果表明：該控制律能改善實驗臺伺服缸位移的控制性能,并在施加大幅值外部干擾的情況下,仍然能保持系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定,具有優(yōu)良的抗干擾能力.

2 電液伺服實驗臺非線性模型

本節(jié)首先通過對電液伺服實驗臺進行速度開環(huán)控制實驗,得到實驗臺輸入輸出響應(yīng)曲線,實驗結(jié)果表明電液伺服實驗臺具有非線性.然后建立了電液伺服實驗臺的數(shù)學(xué)模型.

2.1 電液伺服實驗臺非線性特性

電液伺服實驗臺如圖1所示,其系統(tǒng)框圖如圖2所示.電液伺服實驗臺集成液壓系統(tǒng)、PCI A/D D/A數(shù)據(jù)采集卡、比例放大器、電磁比例換向閥、伺服缸、各類傳感器和工控機為一體,可以進行液壓控制回路實驗.實驗臺具有手動開環(huán)控制功能,也可由工控機通過數(shù)據(jù)采集卡控制4個伺服缸獨立運動.通過數(shù)據(jù)采集卡輸出控制電壓到電磁比例換向閥,調(diào)節(jié)比例換向閥閥芯開度,從而達到改變油壓差來控制伺服缸位移的目的.

圖1 電液伺服實驗臺Fig.1 Electro-hydraulic servo experimental table

對電液伺服實驗臺進行速度開環(huán)調(diào)節(jié)實驗：輸入閥控制電壓(即閥電流),相應(yīng)閥芯開度和閥流量保持一定,使伺服缸獲得相應(yīng)的運動速度.液壓系統(tǒng)工作壓力5 MPa,系統(tǒng)正死區(qū)1.15 V,負死區(qū)?1.60 V,伺服缸正方向速度最大值82.06 mm/s,負方向速度最大值?89.63 mm/s,其中負方向速度最大值作為數(shù)據(jù)歸一化的依據(jù).選取階躍和斜坡信號組合的控制電壓u,u ∈[?5 V,5 V];伺服缸速度x作為系統(tǒng)輸出.將輸入輸出數(shù)據(jù)歸一化,得到輸入電壓-輸出速度響應(yīng)曲線,如圖3所示.觀察曲線可知：正負方向上的輸入電壓-輸出速度曲線不對稱,實驗臺具有非線性.

圖2 電液伺服實驗臺系統(tǒng)框圖Fig.2 The structure of the electro-hydraulic servo system

圖3 歸一化輸入電壓-輸出速度響應(yīng)曲線Fig.3 Normalized input voltage-output speed response curve

2.2 多項式非線性模型

對電液伺服實驗臺非線性模型進行高階多項式展開,得到實驗臺多項式非線性模型

其中：狀態(tài)變量x(t)為伺服缸速度;u(t)為控制電壓;ω(t)為系統(tǒng)有界連續(xù)干擾;ak,b1,b2為系統(tǒng)參數(shù);k=1,2,···,p,p為多項式最高次項次數(shù).

定義設(shè)定值r(t),速度誤差e(t)=x(t)?r(t),代入式(1)中可得

其中：ue(t)為誤差控制電壓分量;ur(t)為設(shè)定控制電壓分量,使ur(t)=得到誤差多項式非線性模型

對速度誤差e3求積分,得到位移誤差e2,對e2求積分,得到位移誤差積分e1,則可以將式(3)改寫為

2.3 電液伺服實驗臺系統(tǒng)辨識

基于多項式非線性模型(1)對電液伺服實驗臺進行系統(tǒng)辨識.建立不同次數(shù)的非線性模型,利用MATLAB系統(tǒng)辨識工具箱對數(shù)據(jù)進行擬合.系統(tǒng)辨識優(yōu)劣評價標準為擬合精度和均方根誤差(mean square error,MSE).對比結(jié)果如圖4和表1所示.

圖4 系統(tǒng)辨識結(jié)果圖Fig.4 The result figure of system identification

表1 系統(tǒng)辨識結(jié)果表Table 1 The result chart of system identification

根據(jù)圖4和表1,得出結(jié)論：

1) 增加多項式模型的最高次項次數(shù)能夠提高模型的辨識精度,但要根據(jù)實際情況確定最高次項次數(shù);

2)p=7模型辨識精度最高、MSE最小,但與p=5模型相比擬合精度相差不大.綜合擬合精度與模型復(fù)雜程度,選取p=5模型為電液伺服實驗臺模型.擬合參數(shù)：a1=?18.732,a2=6.215,a3=24.417,a4=?9.050,a5=?22.415,b1=13.007.系統(tǒng)干擾由式(7)給出,取b2=1,得到誤差多項式非線性模型

對實際系統(tǒng)干擾ω(t)進行統(tǒng)計分析.采集系統(tǒng)噪聲干擾,如圖5(a)所示.系統(tǒng)噪聲直方圖和噪聲概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)曲線如圖5(b)所示.可知系統(tǒng)噪聲服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為g(ω).經(jīng)歸一化處理后,得到系統(tǒng)噪聲干擾

圖5 系統(tǒng)干擾統(tǒng)計分析Fig.5 Statistical analysis of system disturbance

3 多項式非線性控制

本節(jié)首先討論了誤差多項式非線性系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性和魯棒性.在此基礎(chǔ)上設(shè)計多項式非線性H∞控制律,討論了控制律所控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,并給出控制律的求解方法.

3.1 多項式非線性模型穩(wěn)定性分析

將系統(tǒng)(4)改寫為

其中：θ＞0是用于權(quán)衡性能和控制效果所引入的權(quán)重系數(shù);取評價函數(shù)h(e(t))滿足hT(e)h(e)=其中H ∈Rnp×np為對稱正半定矩陣.

本節(jié)內(nèi)容基于以下兩個假設(shè)：

假設(shè)1定義誤差ε(t)=(ε1ε2··· εn)T∈Rn,是|ei|在平衡點附近所允許的最大值,假設(shè)e(t)∈E,E={e ∈Rn||ei|＜εi,?i ∈{1,2,···,n}}.

假設(shè)2f(e)在集合E中充分平滑,并且系統(tǒng)(4)零狀態(tài)可觀.

定理1在假設(shè)2和γ ＞0的前提之下,對系統(tǒng)(8)而言,若存在一個正定平滑Lyapunov函數(shù)V(t),使得當e(0)=0時,V(0)=0,且式(9)成立：

1) 當有界連續(xù)干擾ω(t)=0時,則閉環(huán)系統(tǒng)(8)在平衡點是漸進穩(wěn)定的,即當t →∞,e →0;

2) 當有界連續(xù)干擾ω(t)/=0時,則閉環(huán)系統(tǒng)(8)具有L2干擾抑制性能：

其中γ為任意給定的正常數(shù),即在系統(tǒng)干擾存在下,可將干擾對系統(tǒng)的影響被抑制在γ水平以下.

證

可見式(10)為ω(t)的二次函數(shù),且?γ2＜0,因此,在Lyapunov函數(shù)V(t)為一個固定值的情況下,式(10)在ω(t)=/=0時取得全局最大值,即

對不等式(11)兩邊求積分,零初始條件e(0)=0,積分區(qū)間t ∈[0,T),可得

故當ω(t)/=0時,閉環(huán)系統(tǒng)(8)具有L2干擾抑制性能.當有界連續(xù)干擾ω(t)=0時,

3.2 多項式非線性控制律設(shè)計

在具有穩(wěn)定性的誤差多項式非線性模型的基礎(chǔ)上設(shè)計多項式非線性控制律.

其中P1∈Rn×n,P2∈Rn(p?1)×n(p?1)為P的分塊對角矩陣,則式(15)中控制律可以保證當系統(tǒng)有界連續(xù)干擾ω(t)=0時系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,且L2增益小于等于γ.

其中K為控制器增益矩陣.

證 選取式(9)中V(t)具有如下形式：

其中對稱正定矩陣P1∈Rn×n為P的其中一個分塊對角矩陣.T(1,p)=(In×n,0n×n(p?1))∈Rn×np,則

將式(15)中ue(t)、式(16)中V(t)和f(e)=Aep代入式(9),可得

即滿足式(14)的對稱正定矩陣P和方陣W可以保證V(t)是不等式(9)的其中一個解,式(15)中的控制律可以保證當系統(tǒng)干擾ω(t)=0時系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,且L2增益小于等于γ.因此,求得不等式(14)的解析解是定理2成立的充分條件.將不等式(14)通過舒爾補引理轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI),通過MATLAB中LMI工具箱求解.

令X=P?1,Y=PWX,式(14)左右兩邊同乘X,可得：

根據(jù)舒爾補引理,式(19)可轉(zhuǎn)換為

其中：

(?)表示矩陣對稱項.最后,將求解控制器增益矩陣K的問題轉(zhuǎn)換為以下非線性系統(tǒng)控制律增益矩陣優(yōu)化問題：

3.3 多項式非線性控制律實施

設(shè)計電液伺服實驗臺控制系統(tǒng)方案,如圖6所示.

圖6 電液伺服實驗臺控制系統(tǒng)方案Fig.6 The scheme of electro-hydraulic servo control system

設(shè)計方案主要包含兩個部分：控制器和電液伺服實驗臺.

如圖1-2所示,電液伺服實驗臺由電液伺服系統(tǒng)及其工控機組成.選取實驗臺中其中一組換向閥伺服缸作為控制對象.工控機搭載有PCI數(shù)據(jù)采集卡,并安裝有LABVIEW和MATLAB.LABVIEW中運行實驗臺控制程序,MATLAB中運行多項式非線性控制律求解程序,其解析解用于計算伺服缸的控制電壓.LABVIEW通過調(diào)用“腳本節(jié)點”實現(xiàn)和MATLAB的數(shù)據(jù)交互.

控制器由多項式非線性控制律和誤差多項式非線性模型組成.多項式非線性控制律輸入為系數(shù)矩陣,用于求解控制律ue(t)=誤差多項式非線性模型輸入為誤差變量e(t),作用包括：

1) 將系數(shù)矩陣A,B1,B2傳遞給多項式非線性控制律;

4 實驗結(jié)果

本節(jié)驗證多項式非線性控制律的控制性能和魯棒性,并與常規(guī)PID控制進行比較.設(shè)計了3種實驗,以不同形式的控制電壓作為輸入.分別為：階躍信號、斜坡信號和正弦信號,并在系統(tǒng)控制周期內(nèi)選取時間段t ∈[16,22]加入幅值較大的歸一化干擾信號(22)：

PID控制參數(shù)采用遺傳算法進行優(yōu)化選擇[15].理想的電液伺服系統(tǒng)的設(shè)計目標是使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有最小的超調(diào)量、上升時間及調(diào)節(jié)時間[16].為避免系統(tǒng)超調(diào),對文獻中適應(yīng)度函數(shù)進行改進,增加超調(diào)懲罰項,得到適應(yīng)度函數(shù)

其中：ω1,ω2,ω3,ω4為權(quán)值,ω3,ω4分別為超調(diào)懲罰項權(quán)值和上升時間權(quán)值,tr為上升時間.文獻[17]實現(xiàn)了基于線性模型和非線性模型分別對PID參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計.選取p=1線性模型和p=5非線性模型分別采用遺傳算法對PID參數(shù)進行優(yōu)化,得到線性與非線性模型遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù),如表2所示.

表2 優(yōu)化PID參數(shù)Table 2 Optimized PID parameters

經(jīng)過實際實驗臺調(diào)試驗證,非線性p=5模型具有更優(yōu)越的控制效果,并且適當增加KP能進一步縮短伺服缸上升時間,且不會產(chǎn)生超調(diào)量,最終得到PID控制參數(shù)KP=7.2,TI=6.5689×10?5,TD=0.0847.

多項式非線性控制律和PID控制的實驗結(jié)果如圖7-9所示.

圖8 斜坡輸入給定實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results with ramp input

圖9 正弦輸入給定實驗結(jié)果Fig.9 Experimental results with sine input

1) 瞬態(tài)響應(yīng)分析.

分析圖7(b)可知：對于t ∈[0,12]內(nèi)給定的3個階躍信號輸入,相較于常規(guī)PID控制,多項式非線性控制律所控制的閉環(huán)系統(tǒng)具有更好的瞬態(tài)響應(yīng),具體瞬態(tài)響應(yīng)指標(超調(diào)量σ%、上升時間tr、調(diào)節(jié)時間ts)如表3所示.比較圖7(a)-9(a)可知：多項式非線性控制律所控制的閉環(huán)系統(tǒng)在整個控制周期內(nèi)位移誤差較小.

表3 兩種控制律瞬態(tài)響應(yīng)指標Table 3 Transient response index of two control laws

3組實驗中,多項式非線性控制與PID控制的輸出電壓曲線如圖10(a)-10(c)所示.

圖10 實驗控制電壓Fig.10 Experimental control voltag

觀察圖10(a)中t=16 s,圖10(b)中t=2 s,t=12 s,t=16 s,圖10(c)中t=6.1 s,t=11.5 s,t=16 s,可見多項式非線性控制能夠更迅速地輸出控制電壓,其原因是式(23)中高次項根據(jù)誤差變量的數(shù)值動態(tài)地進行非線性補償.在上述時間節(jié)點中,誤差增大,多項式非線性控制的非線性補償特性使得其先于PID控制輸出電壓,伺服缸動作響應(yīng)更快,而當誤差減小時,非線性補償效果則迅速減弱.

2) 抗干擾能力分析.

比較圖7(a)-9(a)可知：相較于常規(guī)PID控制,在施加干擾的時間段t ∈[16,22]內(nèi),多項式非線性控制律所控制的閉環(huán)系統(tǒng)最大干擾波動較小,且多項式非線性控制律能夠更快速地將系統(tǒng)恢復(fù)至穩(wěn)態(tài),具有更好的抗干擾能力.具體干擾波動數(shù)據(jù)見表4,表中1-10對應(yīng)圖中10個最大、最小干擾波動點.

表4 兩種控制律干擾波動數(shù)據(jù)Table 4 Disturbance fluctuation of two control laws

5 總結(jié)

針對常規(guī)電液伺服系統(tǒng)PID控制無法克服非線性因素影響,存在跟蹤準確性和魯棒性的問題,本文提出電液伺服系統(tǒng)多項式非線性H∞控制律設(shè)計方法.該控制律可以通過離線計算得到非迭代解析解,因而對計算機性能要求很低,能夠避免非線性H∞控制在實際應(yīng)用中可能存在的“維數(shù)災(zāi)難”和整定難問題.將控制律應(yīng)用于實際電液伺服實驗臺,驗證了控制律的有效性.實驗結(jié)果表明：相較于常規(guī)PID控制,本文提出的多項式非線性控制律可以提高實驗臺伺服缸控制性能,并能夠顯著降低由大幅值干擾所引起的干擾波動,具有更強的魯棒性.