盧 雨, 王海濱

(海軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

空基無源相干定位(airborne passive coherent localization, APCL)系統(tǒng)是一種利用空基非合作輻射源信號和PCL技術(shù)對目標(biāo)探測定位跟蹤的系統(tǒng)[1]。傳統(tǒng)的外輻射源定位系統(tǒng)利用的非合作輻射源大多是固定或者狀態(tài)實(shí)時(shí)可知的,例如調(diào)頻廣播臺[2-3]、數(shù)字音頻/視頻廣播信號塔[4-5]、碼分多址信號基站[6]、無線局域網(wǎng)[7]、全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)[8]、全球定位系統(tǒng)[9]等。而空基外輻射源定位系統(tǒng)利用的是空中移動(dòng)平臺搭載的非合作輻射源[10],系統(tǒng)的探測靈活性得到了極大的提升,應(yīng)用場景也更為廣泛,引起了國內(nèi)外雷達(dá)探測領(lǐng)域的高度關(guān)注。

文獻(xiàn)[11]首次研究了利用狀態(tài)不確定的外輻射源對目標(biāo)定位跟蹤的諸多問題,包括該系統(tǒng)的可觀測性分析,目標(biāo)跟蹤初始化,目標(biāo)跟蹤算法等。文獻(xiàn)[10]針對強(qiáng)雜波環(huán)境下的空基外輻射源定位問題,提出了基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)擴(kuò)維算法,有效地從雜波中提取出了目標(biāo)量測,并降低了外輻射源不確定性對目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的影響。但是上述的研究都是基于勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)開展的。隨著空基移動(dòng)平臺機(jī)動(dòng)性能的不斷提高,實(shí)際探測環(huán)境中的目標(biāo)隨時(shí)會進(jìn)行機(jī)動(dòng),對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定位跟蹤問題也受到了研究者的廣泛關(guān)注。目前的機(jī)動(dòng)目標(biāo)定位跟蹤算法主要可以分為單模型自適應(yīng)算法和多模型自適應(yīng)算法。在單模型自適應(yīng)算法中,當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型[12-13]是目前公認(rèn)的比較貼合目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模型,但其模型參數(shù)大多需要依據(jù)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性提前設(shè)定,具有一定的局限性。而多模型自適應(yīng)算法是將機(jī)動(dòng)目標(biāo)定位跟蹤過程描述為一個(gè)混合濾波估計(jì)的過程,具有更好的跟蹤效果。典型的模型自適應(yīng)算法如交互式多模型(interactive multiple model, IMM)[14]算法,變結(jié)構(gòu)多模型算法[15-16],概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多模型算法[17]等應(yīng)用較為普遍,基于這些框架的其他改進(jìn)算法如基于伯努利濾波器的IMM算法[18],基于信息熵準(zhǔn)則的認(rèn)知結(jié)構(gòu)IMM算法[19]等在特定應(yīng)用領(lǐng)域也有較為理想的跟蹤性能。相比于傳統(tǒng)的有源雷達(dá)和一般的無源雷達(dá)而言, APCL系統(tǒng)對定位跟蹤算法的快速收斂性和穩(wěn)定性提出了更高的要求,因此有必要對APCL系統(tǒng)中機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)行針對性的研究。

考慮到APCL系統(tǒng)中濾波模型的失配會導(dǎo)致機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤誤差增大,而且系統(tǒng)獲取的量測數(shù)據(jù)不連續(xù),通常需要量測積累才能獲取目標(biāo)的實(shí)時(shí)狀態(tài),因此濾波器的重新初始化就顯得格外重要。當(dāng)外輻射源狀態(tài)不確定時(shí),系統(tǒng)對目標(biāo)的跟蹤精度會受到一定的影響。鑒于此,本文首先選取幾種常見的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型構(gòu)建多模型集,再將IMM算法改進(jìn)為多模型預(yù)測(multiple model prediction, MMP)算法,即將模型交互步驟增加到各模型的狀態(tài)預(yù)測步驟之后,對狀態(tài)預(yù)測值進(jìn)行交互融合以獲取最優(yōu)的狀態(tài)預(yù)測值。然后,在模型概率更新步驟中采用“感知記憶”嵌入的時(shí)變轉(zhuǎn)移概率,以提高算法的快速收斂性。最后,針對系統(tǒng)的強(qiáng)非線性和外輻射源的狀態(tài)不確定性對目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的影響,采用雙變量容積卡爾曼濾波算法(bivariate cubature Kalman filter,BVCKF),提高系統(tǒng)對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度。

1 問題描述及系統(tǒng)模型

考慮二維平面下的APCL系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)定位跟蹤問題,探測場景如圖1所示。

圖1 APCL的探測示意圖

系統(tǒng)采用單發(fā)單收的雙基地配置,其中觀測站的狀態(tài)準(zhǔn)確可知,目標(biāo)和外輻射源的狀態(tài)需要實(shí)時(shí)估計(jì)。選取勻速運(yùn)動(dòng)(constant velocity, CV)模型、勻加速(constant acceleration, CA)模型以及協(xié)同轉(zhuǎn)彎(coordinate turn, CT)模型作為目標(biāo)狀態(tài)的多模型集,系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述為

(1)

在不同的運(yùn)動(dòng)模型下,目標(biāo)的狀態(tài)向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣各有不同。在CV模型下,目標(biāo)的狀態(tài)向量由位置和速度組成,記為

對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為

(2)

在CA模型下,目標(biāo)的狀態(tài)向量由其位置、速度和加速度組成,記為

對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為

(3)

在CT模型下,目標(biāo)的狀態(tài)向量由其位置、速度和角速度組成,記為

對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為

(4)

Zk=hk(Xk,Xt,k,Xo,k)+wk

(5)

式中,

其具體表達(dá)式可參見文獻(xiàn)[1];wk～N(0,Rk)為測量噪聲,噪聲協(xié)方差為

2 基于MMP的BVCKF算法

在經(jīng)典的IMM算法[14]中,各模型濾波器的初始化通常采用各模型前一時(shí)刻的濾波輸出值作為在下一時(shí)刻的濾波輸入值,濾波輸入值進(jìn)行交互后直接在各模型濾波器中進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測和量測更新步驟?？紤]到APCL系統(tǒng)獲取的量測信息不連續(xù),系統(tǒng)定位時(shí)往往需要對量測信息進(jìn)行積累,才能確定目標(biāo)當(dāng)前狀態(tài)。當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)后,模型的不匹配會導(dǎo)致目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差偏大,甚至濾波發(fā)散,因此濾波器的重新初始化,以及狀態(tài)預(yù)測后的交互步驟是十分必要的。結(jié)合上述分析,本文將IMM算法改進(jìn)為MMP算法,即將系統(tǒng)的濾波輸出值作為各模型的濾波輸入值進(jìn)行濾波初始化,然后將狀態(tài)交互步驟增加到狀態(tài)預(yù)測步驟之后,對各模型的狀態(tài)預(yù)測值進(jìn)行交互融合,獲取最優(yōu)的狀態(tài)預(yù)測值。最后,在量測更新步驟后將“感知記憶”嵌入的時(shí)變轉(zhuǎn)移概率應(yīng)用于模型概率更新過程中,提高算法的快速收斂性。又因?yàn)锳PCL系統(tǒng)的量測模型具有強(qiáng)非線性,且外輻射源狀態(tài)的不確定性會對目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)產(chǎn)生較大的影響,因此本文將MMP算法與BVCKF算法相結(jié)合,以提高APCL系統(tǒng)對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度。

與傳統(tǒng)的非線性濾波算法相比,CKF算法具有更高的濾波精度、更好的數(shù)值穩(wěn)定性和更低的計(jì)算復(fù)雜度[20-21]。盡管現(xiàn)有的高階CKF算法[22-23]具有更好的濾波精度,但是其算法復(fù)雜度較高,無法滿足APCL系統(tǒng)對實(shí)時(shí)性的要求。因此,本文提出的BVCKF算法是在傳統(tǒng)的CKF算法上進(jìn)行的改進(jìn),其核心思想是將量測一步預(yù)測過程中對單變量的多維積分?jǐn)U展為對雙變量的二重積分,并在互協(xié)方差計(jì)算過程中將對單變量概率密度函數(shù)的求解轉(zhuǎn)換為對雙變量聯(lián)合概率密度函數(shù)的邊緣概率密度函數(shù)的求解,這樣就能同時(shí)對目標(biāo)和外輻射源進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。而且CKF算法本身采用了球面-徑向容積準(zhǔn)則來處理非線性函數(shù)的多維積分問題,能在保證較高近似精度的同時(shí)降低系統(tǒng)的計(jì)算量。MMP-BVCKF算法的具體步驟如下。

步驟 1模型初始化與狀態(tài)一步預(yù)測

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

步驟 2各模型狀態(tài)預(yù)測值交互

(13)

(14)

步驟 3重新構(gòu)造容積點(diǎn)

(15)

(16)

步驟 4雙變量的量測預(yù)測

將單一變量的多重積分?jǐn)U展為雙變量的二重積分,再對二重積分進(jìn)行數(shù)值近似,得到雙變量的聯(lián)合量測預(yù)測值及其協(xié)方差。

(17)

(18)

(19)

步驟 5模型概率更新

模型概率的更新取決于前一時(shí)刻的模型概率、模型可能性以及模型轉(zhuǎn)移概率。其中,模型j的可能性為觀測Zk的似然函數(shù):

(20)

式(20)表明在多模型預(yù)測階段,觀測信息不僅被用在狀態(tài)更新過程中,還反映在模型概率中,并通過模型概率的不斷更新實(shí)現(xiàn)對運(yùn)動(dòng)模型的自適應(yīng)調(diào)整。由于固定的模型轉(zhuǎn)移概率會影響模型切換的實(shí)時(shí)性,進(jìn)而影響算法的快速收斂性,本文采用了文獻(xiàn)[19]提出的時(shí)變模型轉(zhuǎn)移概率,將感知記憶模塊嵌入模型概率更新步驟中。定義模型匹配度為相鄰兩個(gè)時(shí)刻的模型概率之比,即

(21)

當(dāng)模型匹配度大于1時(shí),說明該模型在MMP算法中的貢獻(xiàn)增大,反之貢獻(xiàn)減小。所以模型轉(zhuǎn)移概率可以實(shí)時(shí)修正[19],即

(22)

由于同一時(shí)刻下模型j向所有模型轉(zhuǎn)移的概率之和為1,所以需要對上述模型轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行歸一化處理,即

(23)

綜上,可以通過式(20)～式(23)對模型概率進(jìn)行更新

(24)

步驟 6各模型中目標(biāo)和外輻射源的狀態(tài)更新

首先計(jì)算各變量的濾波增益,狀態(tài)變量X與量測之間的互協(xié)方差為

(25)

(26)

進(jìn)一步可以得到狀態(tài)變量X的濾波增益

(27)

則目標(biāo)的狀態(tài)更新可以表示為

(28)

(29)

步驟7狀態(tài)更新值交互

(30)

(31)

圖2 MMP-BVCKF算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文所提的MMP-BVCKF算法的實(shí)際應(yīng)用性能,考察APCL系統(tǒng)對單個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤的場景,該場景中目標(biāo)隨時(shí)可能機(jī)動(dòng),且外輻射源的狀態(tài)是時(shí)刻變化的。由于系統(tǒng)對目標(biāo)的跟蹤效果主要取決于選取的模型集和采用的濾波跟蹤算法,因此在仿真實(shí)驗(yàn)中,分別選取CV-CA和CV-CT兩種模型集,并在兩種模型集下將本文所提算法與基于IMM的狀態(tài)擴(kuò)維(IMM state augmentation, IMM-SA)算法,IMM-BVCKF算法進(jìn)行對比。選取位置估計(jì)的均方根誤差(root mean square error,RMSE)、累積均方根誤差(accumulative root means square error, ARMSE)和單次運(yùn)行耗時(shí)作為算法性能評價(jià)指標(biāo)。計(jì)算機(jī)參數(shù)為Intel(R)Core(TM)i5-8250U @1.6GHz,內(nèi)存8.00 GB,64位操作系統(tǒng);仿真軟件為Matlab R2017a。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

設(shè)定觀測站的探測周期為T=1 s,蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)定為200次,仿真時(shí)長設(shè)定為100 s。假設(shè)系統(tǒng)中各個(gè)測量信息之間相互獨(dú)立,且測量噪聲服從零均值高斯分布,則系統(tǒng)量測噪聲的協(xié)方差可以設(shè)定為

Rk=diag{(0.005 rad)2,(0.005 rad)2,(50 m)2,(2 m/s)2}

(32)

假設(shè)模型間的切換服從馬爾可夫過程,設(shè)定模型集中的初始模型概率均為0.5,IMM算法框架中先驗(yàn)已知的模型轉(zhuǎn)移概率矩陣為

在本文所提的算法框架下,模型轉(zhuǎn)移概率矩陣是時(shí)變的，目標(biāo)、外輻射源以及觀測站的初始狀態(tài)值如表1所示。

表1 目標(biāo)、外輻射源以及觀測站的初始狀態(tài)值

3.2 CV-CA模型集下的仿真對比

選取CV和CA模型作為模型集,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)參數(shù)如表2所示,外輻射源作勻速直線運(yùn)動(dòng),觀測站做半徑為1 km的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。CV-CA模型下MMP-BVCKF算法對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤效果如圖3所示。

表2 CV-CA運(yùn)動(dòng)模型下的機(jī)動(dòng)參數(shù)

圖3 CV-CA模型下MMP-BVCKF算法的跟蹤效果

圖4和圖5分別給出了3種算法對目標(biāo)和外輻射源進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的位置RMSE對比曲線。

圖4 CV-CA模型下目標(biāo)位置估計(jì)誤差曲線

圖5 CV-CA模型下外輻射源位置估計(jì)誤差曲線

表3給出了CV-CA模型集下3種算法的單次運(yùn)行時(shí)間以及對目標(biāo)和外輻射源的狀態(tài)估計(jì)ARMSE。

表3 CV-CA模型下的3種算法的ARMSE和單次運(yùn)行時(shí)間

結(jié)合表3并對比圖5中的IMM-SA算法和IMM-BVCKF算法可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)采用BVCKF算法作為狀態(tài)估計(jì)工具時(shí),目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)效果都要明顯優(yōu)于SA算法,而且收斂速度快于SA算法。這是由于SA算法沒有考慮外輻射源狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間的獨(dú)立性,在量測更新過程中外輻射源的狀態(tài)估計(jì)誤差會影響目標(biāo)的跟蹤效果,而且狀態(tài)維數(shù)的增加使得計(jì)算量也進(jìn)一步增加,所以算法的單次運(yùn)行時(shí)間較長。而BVCKF算法對目標(biāo)和外輻射源同時(shí)并行地進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),有效地降低了外輻射源不確定性對目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的影響。結(jié)合圖5和表2可以看出,狀態(tài)擴(kuò)維的方法雖然能保證對目標(biāo)和外輻射源同時(shí)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),但在采用IMM算法時(shí),即使外輻射源沒有進(jìn)行機(jī)動(dòng),目標(biāo)的機(jī)動(dòng)也會不可避免地將導(dǎo)致外輻射源的模型失配,增大外輻射源的狀態(tài)估計(jì)誤差。

結(jié)合表2中不同時(shí)刻的機(jī)動(dòng)參數(shù),對比圖4和圖5中的MMP-BVCKF算法和IMM-BVCKF算法可以看出,MMP-BVCKF算法對目標(biāo)位置估計(jì)的峰值RMSE值要明顯低于IMM-BVCKF算法。顯然,在目進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),利用MMP-BVCKF算法對目標(biāo)的跟蹤效果要優(yōu)于IMM-BVCKF算法。這是因?yàn)锳PCL系統(tǒng)的量測方程非線性較強(qiáng),一旦目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng),模型不匹配帶來的狀態(tài)一步預(yù)測誤差會被進(jìn)一步放大,造成濾波估計(jì)性能的下降。而且IMM算法框架下的模型轉(zhuǎn)移概率固定不變,在機(jī)動(dòng)發(fā)生后,切換模型過程較慢,導(dǎo)致模型不匹配的影響無法得到有效地抑制。而MMP-BVCKF算法中將狀態(tài)交互步驟增加到狀態(tài)預(yù)測步驟之后,提高了狀態(tài)預(yù)測值的質(zhì)量,降低了系統(tǒng)非線性的影響。同時(shí),模型概率更新步驟中引入“感知記憶”的時(shí)變轉(zhuǎn)移概率可以對模型轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。

圖6給出了目標(biāo)跟蹤過程中不同算法框架下的模型概率變化曲線。從圖6可以看出,模型轉(zhuǎn)移概率的實(shí)時(shí)更新有效地提高了匹配模型的模型概率,加快了模型切換的過程,從而增強(qiáng)了匹配模型的濾波主導(dǎo)性,加快了算法的收斂速度。

圖6 不同算法下的CV-CA模型概率變化曲線

3.3 CV-CT模型集下的仿真對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的適應(yīng)性,選取CV和CT模型作為模型集,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)參數(shù)如表4所示,外輻射源做勻速直線運(yùn)動(dòng),觀測站做半徑為1 km的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。MMP-BVCKF算法在CV-CT模型下對目標(biāo)跟蹤的效果如圖7所示。

圖7 CV-CT模型下MMP-BVCKF算法的跟蹤效果

表4 CV-CT運(yùn)動(dòng)模型下的機(jī)動(dòng)參數(shù)

與第3.2節(jié)中的初始假設(shè)條件相同,本節(jié)在CV-CT模型下驗(yàn)證了3種算法對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能,仿真結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 CV-CT模型下的目標(biāo)位置估計(jì)誤差曲線

圖9 CV-CT模型下的外輻射源位置估計(jì)誤差曲線

表5給出了CV-CT模型下3種算法對目標(biāo)和外輻射源的狀態(tài)估計(jì)ARMSE以及單次運(yùn)行時(shí)間。結(jié)合表4和表5并對比圖8和圖9的仿真結(jié)果,可以得到和第3.2節(jié)一致的結(jié)論,這就進(jìn)一步驗(yàn)證的本文所提算法的優(yōu)越性。

表5 CV-CT模型下的3種算法的ARMSE和單次運(yùn)行時(shí)間

圖10給出了CV-CT模型下IMM算法和MMP算法在狀態(tài)估計(jì)過程中的模型概率變化情況。

圖10 不同算法下的CV-CT模型概率變化曲線

綜合考慮上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)場景的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí),3種算法的狀態(tài)估計(jì)誤差都會增加。這是因?yàn)闊o論是IMM算法還是MMP算法框架,都依賴于模型之間的有效切換,當(dāng)目標(biāo)速度值發(fā)生變化時(shí),受模型切換的時(shí)間延遲影響,目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)效果會明顯變差。這也是多模型算法思想中的一個(gè)固有缺陷,有待得到進(jìn)一步的解決。

4 結(jié) 論

本文針對APCL系統(tǒng)中的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題,提出了一種基于MMP-BVCKF的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。該方法能夠有效地獲取最優(yōu)的狀態(tài)預(yù)測融合值,降低測量方程強(qiáng)非線性對目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的影響,同時(shí)在模型概率更新步驟中嵌入了感知記憶模塊,利用相鄰時(shí)刻的模型概率對模型轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行實(shí)時(shí)更新,極大地提高了匹配模型在狀態(tài)估計(jì)時(shí)的主導(dǎo)性。在濾波估計(jì)工具方面,選取了BVCKF算法,有效地降低了外輻射源狀態(tài)不確定性對目標(biāo)跟蹤精度的影響。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。對于三維環(huán)境下的目標(biāo)跟蹤問題,狀態(tài)維數(shù)將大幅增加,給系統(tǒng)計(jì)算處理帶來一定的挑戰(zhàn),同時(shí)量測方程中需要增加俯仰角等其他量測信息,需要對算法進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)。此外,非高斯環(huán)境下目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)環(huán)境將更加復(fù)雜,需要對算法做出進(jìn)一步的改進(jìn),這些都將是后續(xù)的研究重點(diǎn)。