孫鴻強(qiáng)，張占月，方宇強(qiáng)

(航天工程大學(xué) 研究生院，北京 101416)

航天器軌道優(yōu)化對(duì)延長(zhǎng)在軌壽命、降低風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)、增大有效載荷以及保證工作效率等方面有著重要的實(shí)踐價(jià)值.早在20世紀(jì)60年代，針對(duì)空間最優(yōu)軌道機(jī)動(dòng)問(wèn)題就開展了大量的研究工作.在分析最優(yōu)軌道方面，遺傳算法、粒子群優(yōu)化(PSO)算法和模擬退火算法[1-2]等為解決復(fù)雜問(wèn)題提供了新的思路和手段.與此同時(shí)，空間環(huán)境愈發(fā)復(fù)雜，截至2019年8月，美國(guó)空間監(jiān)視網(wǎng)編目了大于10 cm的空間目標(biāo)約 23 000 個(gè)，對(duì)外公布已編目的在軌目標(biāo) 19 524 個(gè)，其中 14 495 個(gè)為空間碎片[3-4].此外，美國(guó)太空探索技術(shù)公司宣稱要將其Starlink項(xiàng)目的低軌衛(wèi)星增至 42 000 顆.2019年9月2日，歐洲航天局表示為了避免與Starlink44衛(wèi)星相撞，在預(yù)計(jì)碰撞前1 h內(nèi)對(duì)Aeolus衛(wèi)星進(jìn)行了機(jī)動(dòng)，利用衛(wèi)星攜帶的推進(jìn)器將軌道高度增加約350 m，從而將碰撞概率降到安全閾值以下.

在衛(wèi)星規(guī)避機(jī)動(dòng)方面，其方式為利用所攜帶的燃料由安裝在不同方位的推進(jìn)裝置獲得既定的速度沖量，進(jìn)而改變衛(wèi)星的運(yùn)行狀態(tài).目前，單星規(guī)避技術(shù)已相對(duì)成熟，主要采用基于碰撞概率的單顆衛(wèi)星規(guī)避機(jī)動(dòng)方法.在獲取空間目標(biāo)的位置矢量、速度矢量以及位置誤差協(xié)方差矩陣后，可對(duì)在軌航天器及其周圍空間進(jìn)行碰撞概率估算，以獲得航天器周圍空間的碰撞概率密度函數(shù)，進(jìn)而確定最佳機(jī)動(dòng)的大小和方向.

而對(duì)于編隊(duì)衛(wèi)星而言，由于衛(wèi)星之間相互協(xié)作的特點(diǎn)，對(duì)其中的衛(wèi)星進(jìn)行機(jī)動(dòng)將會(huì)引起整個(gè)編隊(duì)工作效率的改變，若此時(shí)沿用單星預(yù)警規(guī)避機(jī)制，則無(wú)法同時(shí)兼顧機(jī)動(dòng)消耗、碰撞概率、工作效率等指標(biāo)，所以編隊(duì)衛(wèi)星如何在規(guī)避的同時(shí)兼顧上述多個(gè)指標(biāo)的研究具有重要的價(jià)值和意義.針對(duì)當(dāng)前衛(wèi)星規(guī)避方面出現(xiàn)的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，采用并改進(jìn)非支配排序遺傳算法(NSGA-II)，根據(jù)編隊(duì)衛(wèi)星的運(yùn)行狀態(tài)對(duì)其進(jìn)行基因編碼，以改進(jìn)的差分進(jìn)化(IDE)算法作為種群生成模型，以Pareto支配作為優(yōu)劣評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，使得衛(wèi)星在保證工作效率的情況下進(jìn)行機(jī)動(dòng)后不再恢復(fù)原構(gòu)型.最后以海洋偵察衛(wèi)星為例，將多個(gè)指標(biāo)作為切入點(diǎn)制定規(guī)避策略.

1 數(shù)學(xué)模型

為了解編隊(duì)衛(wèi)星的規(guī)避質(zhì)量，構(gòu)建能量消耗、碰撞概率、工作效率等數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算上述指標(biāo).

1.1 能量消耗模型

為盡可能減少消耗燃料，衛(wèi)星進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng)之后，在保證工作效率的前提下將衛(wèi)星駐留在規(guī)避終點(diǎn)，從而減少回歸原軌道所消耗的燃料.在軌道規(guī)避的選擇方面，國(guó)際上主要采用高度分離法(錯(cuò)開軌道高度)[6]和跡向分離法(錯(cuò)開軌道相位)[7].

同軌道相位調(diào)整主要分為相位超前調(diào)整和相位滯后調(diào)整[8]，一般對(duì)于相位超前采用共面高軌變相，相位滯后則采用共面低軌變相[9].當(dāng)相位需要調(diào)整時(shí)，需施加一跡向速度沖量，將航天器步入過(guò)渡軌道，縮短軌道周期，經(jīng)若干個(gè)周期再次變軌回到原軌道，最終實(shí)現(xiàn)相位調(diào)整[10].由文獻(xiàn)[5]可知,在近地軌道相位需要超前或滯后調(diào)整的情況下，單圈軌道機(jī)動(dòng)所消耗的速度增量為

(1)

式中：Δvahe為相位超前時(shí)軌道機(jī)動(dòng)所需的速度增量；Δvlag為相位滯后時(shí)軌道機(jī)動(dòng)所需的速度增量；θ為相位角；RL為近地圓軌半徑；μ為地球引力常數(shù).

1.2 碰撞概率計(jì)算模型

根據(jù)觀測(cè)站觀測(cè)及國(guó)際公布的空間軌道數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)空間目標(biāo)的運(yùn)行軌道進(jìn)行預(yù)推，計(jì)算其碰撞概率[11].美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)將黃色碰撞預(yù)警值設(shè)定為10-5，紅色碰撞預(yù)警值設(shè)定為10-4.

由于現(xiàn)有技術(shù)的局限性，對(duì)空間目標(biāo)的軌道預(yù)報(bào)存在一定誤差，該誤差表現(xiàn)在在軌空間目標(biāo)的跡向、徑向和法向方向上，共同構(gòu)成了一個(gè)誤差橢球.當(dāng)兩個(gè)空間目標(biāo)間的距離小于其等效半徑之和時(shí)，可以判定為二者發(fā)生碰撞[12].在計(jì)算中，將聯(lián)合體與誤差橢球投影到相遇平面內(nèi)可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，碰撞概率的表達(dá)式可改寫為

P=?m2+n2≤R2f(m,n)dmdn=

(2)

式中：R為兩個(gè)空間目標(biāo)聯(lián)合圓域的有效半徑；m、n為相遇平面的兩個(gè)坐標(biāo)軸方向；d為兩目標(biāo)相對(duì)距離矢量；C為聯(lián)合誤差協(xié)方差矩陣.

計(jì)算碰撞概率的基本流程為獲取接近信息，建立相關(guān)坐標(biāo)系，構(gòu)成聯(lián)合誤差橢球和聯(lián)合體，在相遇坐標(biāo)系中計(jì)算碰撞概率[12].

1.3 衛(wèi)星定位效率計(jì)算模型

在衛(wèi)星定位方面，到達(dá)時(shí)間差(TDOA)是廣泛采用的技術(shù).根據(jù)目標(biāo)源的輻射信號(hào)到達(dá)不同衛(wèi)星時(shí)間的不同，可利用幾何關(guān)系進(jìn)行定位求解[13].

假設(shè)f(α,β,γ)為地固坐標(biāo)系下地球表面的簡(jiǎn)化表達(dá)形式，目標(biāo)源在地固坐標(biāo)系下的概略位置為S0(α0,β0,γ0)，則將f(α,β,γ)在S0處展開可得：

(3)

式中：ΔS為Taylor展開后的高階項(xiàng).

利用地心至目標(biāo)源的轉(zhuǎn)換矩陣M可求得目標(biāo)源當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的協(xié)方差矩陣ΔSloc，其表達(dá)式為

ΔSloc=MΔS

(4)

(5)

海洋偵察定位衛(wèi)星的定位高度可視為0[15]，因此僅進(jìn)行水平方向的精度分析即可.假設(shè)目標(biāo)源信號(hào)的傳播時(shí)間測(cè)量均方差為σ0，電磁波傳播速度為c，則此目標(biāo)源的水平定位精度E可表示為

(6)

2 NSGA-II 算法的修正

NSGA-II 算法采用差分進(jìn)化(DE)算法作為框架，結(jié)合Pareto支配的排序方法，對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，是一種適合對(duì)多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的算法.針對(duì)NSGA-II 算法中差分進(jìn)化階段收斂速度較慢這一問(wèn)題，提出一種基于判別函數(shù)的自適應(yīng)算法，用于改進(jìn)差分進(jìn)化階段的變異環(huán)節(jié)，在保證全局最優(yōu)的情況下加快尋優(yōu)速度.

2.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法基本沿用遺傳算法的框架，但是其在選擇、交叉、變異等方面有著較大的差異，為之進(jìn)行的操作也更為復(fù)雜.算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下.

(1) 種群初始化

對(duì)于求解問(wèn)題，需要給定種群數(shù)量、個(gè)體維數(shù)、每個(gè)維度的上下界，利用隨機(jī)程序生成初始種群.初始隨機(jī)種群可表示為

zj,i(0)=random(0,1)(bu-bl)+bl

(7)

j=1,2,…,D；i=1,2,…,NP

式中：zj,i(0)為初始代第i個(gè)個(gè)體上的第j個(gè)基因；random(0,1)為在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)；NP為種群數(shù)量；D為個(gè)體維度；bu和bl為不同維度的上下界閾值.

(2) 變異操作

通過(guò)差分法實(shí)現(xiàn)變異需要給定進(jìn)化代數(shù)和差分縮放因子，差分法利用變異概率PM隨機(jī)選擇種群中的兩個(gè)個(gè)體，利用縮放因子將其差值進(jìn)行縮放后與待變異個(gè)體進(jìn)行合成，生成新的變異個(gè)體.變異操作可表示為

wi(G+1)=z1(G)+s[z2(G)-z3(G)]

(8)

式中：wi(G+1)為第(G+1)代第i個(gè)個(gè)體的變異個(gè)體；s為差分縮放因子；z1(G)、z2(G)、z3(G)分別為第G代的不同個(gè)體.由此，可通過(guò)上述方法生成變異個(gè)體.

(3) 交叉操作

交叉的對(duì)象為由上述步驟生成的所有個(gè)體，其中包括個(gè)體zi(G)和變異生成的個(gè)體wi(G+1)，需要給定交叉概率以生成新的交叉?zhèn)€體.此外，為保證由變異新生成的基因得以延續(xù)，隨機(jī)選擇變異個(gè)體wi(G+1)中的第jran個(gè)基因作為等位基因遺傳給交叉生成的個(gè)體，這樣就保證了變異個(gè)體中至少有一個(gè)基因會(huì)遺傳給下一代，保留了變異的合理性.交叉操作可表示為

uj,i(G+1)=

(9)

式中：uj,i(G+1)為第(G+1)代交叉生成的第i個(gè)個(gè)體上的第j個(gè)基因；PC為交叉概率；jran為[1,D]之間隨機(jī)生成的正整數(shù).交叉操作可以分為指數(shù)交叉和二項(xiàng)交叉[17].

(4) 選擇操作

在完成上述步驟后，基于貪婪算法對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行選擇，篩選出優(yōu)質(zhì)基因進(jìn)入下一代種群.選擇操作可表示為

zj,i(G+1)=

(10)

式中：F(·)為目標(biāo)函數(shù).根據(jù)貪婪算法對(duì)新生成的個(gè)體和初始個(gè)體進(jìn)行比較，保留更適合目標(biāo)函數(shù)的個(gè)體.

(5) 終止操作

當(dāng)個(gè)體滿足目標(biāo)函數(shù)所設(shè)定的條件或進(jìn)化代數(shù)G達(dá)到設(shè)定的最大代數(shù)Gmax時(shí)，停止進(jìn)化操作；否則返回步驟(2)～(4)繼續(xù)進(jìn)行變異、交叉和選擇操作，直至滿足目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定.

2.2 差分進(jìn)化的改進(jìn)

由2.1節(jié)可知，差分進(jìn)化算法的變異環(huán)節(jié)對(duì)待變異個(gè)體無(wú)要求，任何處于種群中的個(gè)體均可通過(guò)變異操作生成新的變異個(gè)體.變異操作的受眾面廣泛，更利于尋找全局最優(yōu)解.但由于該過(guò)程中每個(gè)個(gè)體都可能成為待變異的個(gè)體，計(jì)算過(guò)程較為繁瑣冗雜.此外，對(duì)于不符合設(shè)定期望的個(gè)體仍然進(jìn)行變異操作也會(huì)造成計(jì)算空間的浪費(fèi).由此，文獻(xiàn)[18]提出一種優(yōu)質(zhì)變異的進(jìn)化算法，其思路為在變異過(guò)程中，選擇種群中的優(yōu)質(zhì)個(gè)體作為待變異個(gè)體，對(duì)其進(jìn)行變異操作，其表達(dá)式為

wi(G+1)=zbes(G)+s[z2(G)-z3(G)]

(11)

式中：zbes(G)為G代種群中符合設(shè)定函數(shù)期望的優(yōu)質(zhì)個(gè)體.由式(11)可知，該方法篩選了符合設(shè)定函數(shù)期望的優(yōu)質(zhì)個(gè)體集合，集合中的個(gè)體作為待變異個(gè)體，對(duì)其進(jìn)行變異操作生成新的下一代個(gè)體.此方法降低了計(jì)算量，可以快速獲得設(shè)定函數(shù)的最優(yōu)解.但其亦存在一定的弊端，由于在篩選后舍去了一部分個(gè)體，所以在變異操作后，新生成的個(gè)體變化范圍將會(huì)有所減少，不利于種群的多樣性，容易陷入局部最優(yōu)解，進(jìn)而可能錯(cuò)失了求取全局最優(yōu)解的機(jī)會(huì).

結(jié)合上述兩種差分進(jìn)化算法，為盡可能快速地求得全局最優(yōu)解，引入變異判別函數(shù)，對(duì)變異操作進(jìn)行修正，以待變異個(gè)體的優(yōu)質(zhì)性為依據(jù)，采用不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變異操作.該過(guò)程可表示為

wi(G+1)=

(12)

式中：Q(G)為變異判別函數(shù).利用變異判別函數(shù)可對(duì)變異情況進(jìn)行分類：① 在進(jìn)化早期，由初始化生成的種群數(shù)量有限，有許多基因沒(méi)有體現(xiàn)在種群個(gè)體之中，此時(shí)采用第1種隨機(jī)選取待變異個(gè)體的進(jìn)化方式，以保證種群的多樣性，有利于尋求全局最優(yōu)解；② 在進(jìn)化晚期，經(jīng)過(guò)篩選后種群內(nèi)個(gè)體的基因趨于穩(wěn)定，采用第2種選取優(yōu)質(zhì)個(gè)體作為待變異個(gè)體的進(jìn)化方式，可以有效地減少冗余計(jì)算，獲得優(yōu)化結(jié)果.以下對(duì)判別函數(shù)Q(G)的選擇進(jìn)行分析討論.

(13)

圖1 變異判別函數(shù)Fig.1 Mutation discriminant function

wi(G+1)=

(14)

2.3 仿真算例

已知目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下，解向量T包含10個(gè)基因t1～t10，求目標(biāo)函數(shù)在|ti|≤3內(nèi)的最小值.

(15)

T=[t1t2…t10], |ti|≤3

參數(shù)設(shè)定為Gmax=5 000，PM=0.5，PC=0.9，D=10，NP=100.

利用所提改進(jìn)的差分進(jìn)化算法模型，經(jīng)過(guò)種群初始化、變異操作、交叉操作和選擇操作后，輸出的優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解Tab.1 Optimal solution of objective function

將改進(jìn)的差分進(jìn)化算法與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行比較，如圖2所示.

由圖2可以看出，在種群初始化時(shí)，兩種方法初代解的最小值均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于全局最優(yōu)解F(T)=0.隨著種群不斷進(jìn)化，改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的尋優(yōu)速度更快，更早獲得全局最優(yōu)解，計(jì)算效率也更高.

圖2 IDE算法與DE算法比較Fig.2 Comparison of IDE algorithm and DE algorithm

3 NSGA-II算法在編隊(duì)衛(wèi)星上的應(yīng)用

自然界的生物依靠基因的交叉、變異，不斷進(jìn)化達(dá)到更適合物種生存的狀態(tài)，這一現(xiàn)象屬于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[19-20].將編隊(duì)衛(wèi)星視為種群個(gè)體，每個(gè)個(gè)體均攜帶決定衛(wèi)星參數(shù)的基因，利用NSGA-II 算法進(jìn)行優(yōu)化，最終獲得最優(yōu)解集[21].

3.1 基于編隊(duì)衛(wèi)星的編碼方式

以三星編隊(duì)的海洋監(jiān)視衛(wèi)星為例，在衛(wèi)星躲避碎片而位置發(fā)生變化后，多個(gè)狀態(tài)指標(biāo)也隨即發(fā)生改變，需要重點(diǎn)關(guān)注的指標(biāo)有：衛(wèi)星機(jī)動(dòng)后的碰撞概率、衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的能耗、編隊(duì)衛(wèi)星機(jī)動(dòng)后的工作效率等.由此，可將目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為如下形式：

F(X)=F(P,W,η)

(16)

式中：W為衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的能量消耗；η為編隊(duì)衛(wèi)星機(jī)動(dòng)后的工作效率.

編隊(duì)中衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)位置主要依據(jù)軌道六根數(shù)進(jìn)行確定.假設(shè)機(jī)動(dòng)前后軌道均為近地圓軌，則沿跡分離機(jī)動(dòng)時(shí)，軌道六根數(shù)中產(chǎn)生變化的是衛(wèi)星的軌道半長(zhǎng)軸a和真近點(diǎn)角f.因此，共軌道面上的衛(wèi)星位置可由(a，f)表示.

采用3層基因編碼對(duì)其進(jìn)行描述.

(1) 上層基因zup,i決定該方案中有哪些衛(wèi)星需進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng)，同時(shí)根據(jù)預(yù)警時(shí)間的長(zhǎng)短選擇合適的機(jī)動(dòng)方式，可表示為

(17)

i=1,2,…,NP

由式(17)可知，上層基因可以決定編隊(duì)衛(wèi)星是否需要進(jìn)行規(guī)避.當(dāng)衛(wèi)星需要機(jī)動(dòng)時(shí)，可采用2.1節(jié)的沿跡分離軌道機(jī)動(dòng)方式進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng).上層基因起到了統(tǒng)籌全局、把握規(guī)避整體方向的作用.

(2) 中層基因zmid,i=(ai,fi)決定該衛(wèi)星進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng)后的軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角變化位置，可表示為

(18)

i=1,2,…,NP

式中：Δa為軌道半長(zhǎng)軸的改變量；Δf為真近點(diǎn)角的改變量；種群數(shù)量NP=n.由于分析對(duì)象為近地圓軌，在同軌道面內(nèi)，可由包含軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角的中層基因?qū)庩?duì)衛(wèi)星在空間中的位置進(jìn)行簡(jiǎn)化表達(dá).此外，可根據(jù)中層基因?qū)庩?duì)衛(wèi)星的狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算，如：根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出編隊(duì)衛(wèi)星在J2000坐標(biāo)系下的位置和速度，根據(jù)這些信息進(jìn)而可求得下層基因性狀.故中層基因是最重要的部分，起到了承接上層基因，引導(dǎo)下層基因的作用.

(3) 下層基因包括衛(wèi)星的碰撞概率、編隊(duì)衛(wèi)星的工作效率、衛(wèi)星重構(gòu)所需能量等由上、中層基因支配的變量，可表示為zlow,i=(Pi,Wi,ηi).其中，衛(wèi)星的碰撞概率包括編隊(duì)中的每顆衛(wèi)星與空間碎片之間的碰撞概率，以及編隊(duì)衛(wèi)星之間的碰撞概率.在所研究的海洋監(jiān)視衛(wèi)星中，其主要需求為對(duì)海上目標(biāo)的偵察定位，故可采用HDOP這一指標(biāo)對(duì)工作效率進(jìn)行描述.此外，編隊(duì)衛(wèi)星重構(gòu)能量亦是需要考慮的方面，將每個(gè)進(jìn)行機(jī)動(dòng)操作的衛(wèi)星能量消耗累加，獲得總重構(gòu)能量.下層基因的作用是對(duì)最關(guān)心的指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算羅列，以便進(jìn)行基因的優(yōu)化篩選操作.綜上，整個(gè)基因排列如圖3所示.

圖3 上中下層基因編碼示意圖Fig.3 Diagram of upper,middle and lower level codes for genes

由上述步驟對(duì)衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)位置進(jìn)行基因編碼，當(dāng)對(duì)這些基因進(jìn)行初始化、交叉、突變、查重等操作后，可以產(chǎn)生大量的描述不同編隊(duì)衛(wèi)星狀態(tài)的基因以供篩選[22-23].

3.2 基于編隊(duì)衛(wèi)星的差分進(jìn)化

由3.1節(jié)基因的定義可知，中層基因是最重要的組成部分，在對(duì)上層基因進(jìn)行了詳細(xì)表達(dá)的同時(shí)，也可根據(jù)中層基因?qū)ο聦踊虻慕M成進(jìn)行計(jì)算，故在差分進(jìn)化時(shí)選擇中層基因作為差分進(jìn)化的變量.

(1) 種群初始化

采用隨機(jī)程序初始化編隊(duì)衛(wèi)星種群，以保證種群基因的全面性.由于中層基因包含軌道半長(zhǎng)軸以及真近點(diǎn)角兩個(gè)分量，所以將其維度設(shè)為2.此外，在初始化階段需要對(duì)基因在不同維度上的邊界進(jìn)行限制.針對(duì)在軌衛(wèi)星的碎片規(guī)避決策，其主要目標(biāo)為躲避碎片的威脅，并不需要大幅度地調(diào)整衛(wèi)星的位置，故在中層基因中，軌道半長(zhǎng)軸設(shè)定的維度上下界為[-1,+1] km，在真近點(diǎn)角設(shè)定維度的上下界為[-0.5°,+0.5°]，如圖4所示.其中，五角星位置代表衛(wèi)星所在位置.

圖4 編隊(duì)衛(wèi)星中層基因邊界示意圖Fig.4 Diagram of middle level gene boundary of formation satellites

(2) 變異操作

變異維度為2，故需要對(duì)軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角分別進(jìn)行變異操作，根據(jù)種群數(shù)量NP和變異概率PM確定進(jìn)行變異的數(shù)量NM，NM=NP×PM.由2.2節(jié)分析，采用基于判別函數(shù)的自適應(yīng)變異算法，對(duì)種群的中層基因進(jìn)行變異.種群個(gè)體可依據(jù)其軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角在二維坐標(biāo)系下表示，如圖5所示.

圖5 種群個(gè)體在二維坐標(biāo)系中的表示Fig.5 Individual populations in two-dimensional coordinates

為避免出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，過(guò)早獲得局部最優(yōu)解進(jìn)而影響整體最優(yōu)的篩選，引入式(14)作為變異判別函數(shù)，對(duì)變異操作進(jìn)行修正.為豐富種群的基因池，尋找全局最優(yōu)解，在變異初期不對(duì)待變異個(gè)體進(jìn)行要求，即隨機(jī)選擇待變異個(gè)體，對(duì)其進(jìn)行變異操作；經(jīng)過(guò)變異前期的積累，種群中基因的多樣性得到增加，為加快尋優(yōu)速度，在變異后期選取種群中的優(yōu)質(zhì)基因作為待變異個(gè)體.兩種變異模式如圖6和7所示.其中：aM為變異生成新個(gè)體w的軌道半長(zhǎng)軸；fM為變異生成新個(gè)體w的真近點(diǎn)角；zmid,bes為中層優(yōu)質(zhì)基因.

圖6 初期變異操作模式Fig.6 Initial mutation operation mode

圖7 后期變異操作模式Fig.7 Later mutation operation mode

(3) 交叉操作

交叉的對(duì)象為初始化的個(gè)體和變異生成的個(gè)體，通過(guò)交叉操作生成新的交叉?zhèn)€體.根據(jù)種群數(shù)量NP和交叉概率PC確定進(jìn)行交叉的數(shù)量NC，NC=NP×PC.中層基因的交叉過(guò)程如圖8所示.其中：aU、fU為初始個(gè)體的軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角；aC、fC為交叉生成新個(gè)體的軌道半長(zhǎng)軸和真近點(diǎn)角.

圖8 編隊(duì)衛(wèi)星中層基因的交叉示意圖Fig.8 Diagram of middle level gene crossing in formation satellite

3.3 基于Pareto支配的優(yōu)劣評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

經(jīng)過(guò)初始化、變異和交叉操作，種群獲得了極大的豐富，對(duì)于個(gè)體基因，如何進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)判進(jìn)而對(duì)其取舍是算法中非常重要的一部分.由前文分析可知，位于下層基因中的分量是在編隊(duì)規(guī)避中最為核心的指標(biāo)，故在對(duì)不同個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)價(jià)時(shí)，其評(píng)價(jià)依據(jù)主要是個(gè)體的下層基因.

對(duì)下層基因的優(yōu)質(zhì)性進(jìn)行分析，選擇4個(gè)個(gè)體z1～z4比較，如圖9所示.由圖9(a)可知，個(gè)體z1相對(duì)于個(gè)體z2而言，工作效率η較小、燃料消耗W較少且碰撞概率P也較低，因此無(wú)論從何種方面考慮，個(gè)體z1都更為適合.但由于經(jīng)過(guò)差分進(jìn)化后種群數(shù)量激增，基因多樣性更加豐富，下層基因不同指標(biāo)的優(yōu)劣亦會(huì)出現(xiàn)區(qū)分，如圖9(b)所示.個(gè)體z3相對(duì)于個(gè)體z4雖然燃料消耗W較少，但是其工作效率η和碰撞概率P卻較大，在任務(wù)約束不明確的情況下，無(wú)法直接對(duì)其進(jìn)行優(yōu)質(zhì)性比較.

圖9 個(gè)體之間的優(yōu)質(zhì)性比較Fig.9 Comparison of high quality among individuals

針對(duì)如何進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)價(jià)問(wèn)題，可采用Pareto支配思想，對(duì)種群中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行快速非支配排序，以支配等級(jí)作為評(píng)價(jià)個(gè)體間優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，具體方法如下.

對(duì)于不同的兩個(gè)個(gè)體zp和zq，其下層基因可表示為zp=(Pp,Wp,ηp)，zq=(Pq,Wq,ηq).當(dāng)以下兩種情況同時(shí)發(fā)生時(shí)，可認(rèn)為個(gè)體zp支配zq，即zp優(yōu)于zq，記為zpzq：

(1) 個(gè)體zp中的所有分量都不差于zq對(duì)應(yīng)的分量，即(Pp≤Pq)∩(Wp≤Wq)∩(ηp≤ηq)；

(2) 個(gè)體zp中存在至少一個(gè)分量，優(yōu)于zq所對(duì)應(yīng)的分量，即(Pp

根據(jù)Pareto支配的思想，個(gè)體z2優(yōu)于個(gè)體z1，給予個(gè)體z2更加靠前的支配等級(jí)(見圖9(a))；個(gè)體z3和個(gè)體z4之間沒(méi)有相互優(yōu)于的關(guān)系，給予兩者相同的支配等級(jí)(見圖9(b)).

編隊(duì)衛(wèi)星碰撞規(guī)避中，碰撞概率是評(píng)價(jià)規(guī)避操作的最重要依據(jù)，若下層基因中出現(xiàn)碰撞概率高于預(yù)警門限(10-4)的情況，則可直接否定這一個(gè)體.故可將下層基因中的碰撞概率作為個(gè)體篩選的第1道門檻，且由基因中的機(jī)動(dòng)消耗和工作效率對(duì)種群中的個(gè)體在二維坐標(biāo)系中進(jìn)行表述，如圖10所示.

圖10 編隊(duì)衛(wèi)星下層基因的二維示意圖Fig.10 Diagram of lower level genes of formation satellites in two-dimensional view

根據(jù)Pareto快速支配排序方法，可以對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行支配等級(jí)排序，支配等級(jí)較高的個(gè)體更為優(yōu)質(zhì)，予以保留.

通過(guò)上述方法對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣性評(píng)價(jià)，且由于經(jīng)過(guò)變異、交叉等進(jìn)化操作，種群數(shù)量勢(shì)必會(huì)增長(zhǎng)，為獲取下一代個(gè)體，可采用精英保留策略，即優(yōu)先保留支配等級(jí)較高的個(gè)體.當(dāng)支配等級(jí)相同時(shí)，優(yōu)先保留擁擠度較大的個(gè)體，以此將保留的個(gè)體作為新一代種群，重復(fù)進(jìn)行進(jìn)化和篩選，直到出現(xiàn)滿足條件的最優(yōu)解.

4 仿真算例

以3顆衛(wèi)星構(gòu)成的海洋偵察編隊(duì)衛(wèi)星為算例，在碰撞發(fā)生前1圈(約107 min)發(fā)出碰撞預(yù)警，隨即對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)，對(duì)有碰撞風(fēng)險(xiǎn)的衛(wèi)星進(jìn)行相位機(jī)動(dòng).初始時(shí)刻衛(wèi)星和危險(xiǎn)碎片的軌道根數(shù)如表2所示.其中：e為軌道偏心率；i為軌道傾角；Ω為軌道升交點(diǎn)赤徑；ω為軌道近地點(diǎn)幅角.

表2 編隊(duì)衛(wèi)星和危險(xiǎn)碎片的軌道根數(shù)Tab.2 Orbital roots of formation satellites and dangerous debris

衛(wèi)星在機(jī)動(dòng)后產(chǎn)生一定的相位差，從而規(guī)避了危險(xiǎn)碎片，同時(shí)也保證偵察編隊(duì)衛(wèi)星的定位性能處于良好狀態(tài)，通過(guò)基于多目標(biāo)優(yōu)化算法比較衛(wèi)星不同位置下的狀態(tài)，確定合適的參數(shù)組合.

當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星中的1顆、2顆和3顆衛(wèi)星受到碰撞威脅時(shí)，利用不同優(yōu)化方法的結(jié)果比較如圖11～16所示.其中，紅色與黑色點(diǎn)表示該位置仍然存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)(P>10-4)；Lsa為安全解；Lda為危險(xiǎn)解；Lda-PSO為粒子群算法下的危險(xiǎn)解；Lda-NSGA-II 為NSGA-II 算法下的危險(xiǎn)解.進(jìn)行比較的優(yōu)化方法有：標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法、粒子群算法和NSGA-II 算法.

由圖11～16可知，紅色的預(yù)警點(diǎn)位置主要分布于坐標(biāo)系的下方，這是由于當(dāng)衛(wèi)星燃料消耗較少時(shí)，與危險(xiǎn)碎片之間的最小距離未能拉升到足夠長(zhǎng)，所以仍然存在碰撞風(fēng)險(xiǎn).由圖11和13可知，采用“遺傳算法+比例篩選”后的衛(wèi)星參考機(jī)動(dòng)位置存在許多非優(yōu)質(zhì)解，主要集中在右側(cè)，其在相同耗能情況下HDOP較高.相比較而言，利用粒子群算法和NSGA-II 優(yōu)化算法篩選出的衛(wèi)星機(jī)動(dòng)位置，解集元素并不相互支配，可在設(shè)定任務(wù)目標(biāo)的情況下迅速確定最優(yōu)機(jī)動(dòng)位置.

圖11 單星規(guī)避遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.11 Genetic algorithm optimal results of single satellite avoidance

圖12和14為多目標(biāo)優(yōu)化算法中粒子群算法與NSGA-II 算法的對(duì)比.由圖12和14可以看出，粒子群算法所篩選出的基因個(gè)體處于NSGA-II 算法最優(yōu)前沿之后，且分布較為離散，全局優(yōu)化效果不理想.這是由于相對(duì)于改進(jìn)的NSGA-II 算法，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在尋優(yōu)過(guò)程中缺乏對(duì)粒子速度的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致優(yōu)化效果相對(duì)較差，而采用改進(jìn)的NSGA-II 算法的優(yōu)化結(jié)果更為理想.

圖12 單星規(guī)避的PSO算法與NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果比較Fig.12 Comparison of optimal results of PSO and NSGA-II for single satellite avoidance

針對(duì)單顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖12)，衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的能量消耗區(qū)間為[0.007 8，0.026 8] km/s，對(duì)應(yīng)的HDOP范圍為[9.73，10.38].在保證任務(wù)條件HDOP≤10的情況下，考慮機(jī)動(dòng)消耗盡可能小，最佳基因?qū)?yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為(9.93，0.017 5 km/s)，對(duì)應(yīng)的真近點(diǎn)角為[358.800 3°,2°,4°].

圖13 雙星規(guī)避遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.13 Genetic algorithm optimal results of double satellites avoidance

針對(duì)兩顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖14)，能量消耗區(qū)間為[0.010 2，0.050 0] km/s，對(duì)應(yīng)的HDOP范圍為[8.64，9.97].在保證任務(wù)條件HDOP≤9的情況下考慮機(jī)動(dòng)消耗盡可能小，最佳基因?qū)?yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為(8.90，0.029 8 km/s)，對(duì)應(yīng)的真近點(diǎn)角為[359.223 6°,3.408 1°,4°].

圖14 雙星規(guī)避的粒子群算法與NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果比較Fig.14 Comparison of optimal results of PSO and NSGA-II for double satellites avoidance

針對(duì)全部三顆衛(wèi)星規(guī)避(見圖16)，能量消耗區(qū)間為[0.022 5，0.057 7] km/s，對(duì)應(yīng)的HDOP范圍為[8.54，9.68].在保證任務(wù)條件HDOP≤9.5的情況下考慮機(jī)動(dòng)消耗盡可能小，最佳基因?qū)?yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為(9.08，0.034 0 km/s)，對(duì)應(yīng)的真近點(diǎn)角為[359.106 3°,2.597 1°,3.134 7°].

圖15 三星規(guī)避的PSO算法優(yōu)化結(jié)果Fig.15 PSO algorithm optimal results for triple satellites avoidance

圖16 三星規(guī)避的NSGA-II 算法優(yōu)化結(jié)果Fig.16 NSGA-II algorithm optimal results for triple satellites avoidance

將所得最優(yōu)機(jī)動(dòng)位置與編隊(duì)衛(wèi)星原始位置進(jìn)行比較，三星編隊(duì)海洋偵察衛(wèi)星中的2顆和3顆衛(wèi)星在進(jìn)行真近點(diǎn)角調(diào)整后的位置分布如圖17和18所示.其中：LNG為經(jīng)度；LAT為緯度.

由圖17(a)可知，當(dāng)單顆衛(wèi)星受碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，需要盡可能將該衛(wèi)星機(jī)動(dòng)至使三星基線變長(zhǎng)、星下三角形外側(cè)處.由圖17(b)可知，當(dāng)2顆衛(wèi)星受碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，需要盡可能將兩顆衛(wèi)星分別機(jī)動(dòng)至星下三角形外側(cè)，將衛(wèi)星基線拉長(zhǎng).由圖18可知，當(dāng)全部3顆衛(wèi)星受碰撞風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，同軌道2顆衛(wèi)星的基線盡可能拉長(zhǎng)，同時(shí)在保證無(wú)碰撞風(fēng)險(xiǎn)下，不同軌的單顆衛(wèi)星機(jī)動(dòng)至同軌衛(wèi)星的中垂線附近，從而使其到兩同軌衛(wèi)星的距離差較小，保證三星結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定.

圖17 單顆/兩顆衛(wèi)星規(guī)避的最優(yōu)質(zhì)解集位置Fig.17 Best solution sets for single satellite/two satellites avoidance

圖18 三顆衛(wèi)星規(guī)避的最優(yōu)質(zhì)解集位置Fig.18 Best solution sets for three satellites avoidance

5 結(jié)論

針對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星在遭遇空間碎片威脅時(shí)的規(guī)避決策問(wèn)題，通過(guò)基于多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星的規(guī)避模型進(jìn)行優(yōu)化分析，并以三星編隊(duì)的海洋偵察衛(wèi)星作為仿真算例進(jìn)行研究.仿真結(jié)果表明：

(1) 衛(wèi)星可選擇的規(guī)避軌道有許多，但并不是每條規(guī)避軌道都具有使用的價(jià)值；

(2) NSGA-II算法可以對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星規(guī)避軌道的選擇進(jìn)行優(yōu)化，使得編隊(duì)衛(wèi)星在不受碰撞威脅的同時(shí)，燃料消耗和工作效率得到保證；

(3) 針對(duì)三星編隊(duì)海洋偵察衛(wèi)星，可以根據(jù)不同的預(yù)警類型，分別對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星中的一顆、兩顆和全部三顆衛(wèi)星進(jìn)行規(guī)避軌道優(yōu)化，為制定編隊(duì)衛(wèi)星規(guī)避策略提供了參考.