沈顯慶， 孫啟智， 馬志鵬

(黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

移動機器人比一般的機器人有更大的靈活性，目前廣泛應用于救災排險[1]、資源勘探[2]和物流運輸[3]等領(lǐng)域。移動機器人路徑跟隨控制[4]是移動機器人研究中的重要問題之一。路徑跟隨是在機器人進行路徑規(guī)劃[5]后對其進行運動控制，使其沿著目標路徑運動的過程。

當前，移動機器人路徑跟隨控制受到諸多研究者的關(guān)注。其中，PID控制具有控制原理簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，常用在移動機器人的路徑跟隨控制中[6]。許洋洋等[7]采用PID控制與神經(jīng)網(wǎng)絡相結(jié)合的方法，動態(tài)調(diào)整控制參數(shù)，提高了控制系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性。孟祥萍等[8]提出了在比例項和積分項前乘以α、β的積分分離式PID控制算法，提高了系統(tǒng)的響應速度，增強了系統(tǒng)的魯棒性。馮劍等[9]分析了移動機器人的動態(tài)特性，設(shè)計了直接反饋線性化的 PID 控制器方法，該方法簡單易行，具有較高的跟蹤精度和較好的抗干擾能力。李林琛等[10]通過遺傳算法對個體進行編碼，采用將遺傳算法中個體的適應度函數(shù)改為移動機器人的PID 控制精度的方法調(diào)整PID參數(shù)，提高了機器人的自調(diào)節(jié)能力，降低了路徑跟隨過程中的跟蹤誤差。在高精度的伺服控制中，可以通過前饋控制的方法提高系統(tǒng)的跟蹤性能。筆者利用P+前饋控制原理，建立了的機器人運動學模型，設(shè)計雙閉環(huán)P+前饋的控制器，通過仿真驗證該方法與經(jīng)典PID控制的路徑跟隨能力。

1 機器人運動學模型的建立

以Hawkbot差動機器人為例，該機器人由左電機驅(qū)動的驅(qū)動輪L、右電機驅(qū)動的驅(qū)動輪R和萬向輪組成，通過控制兩個電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動方向，使左右兩個驅(qū)動輪產(chǎn)生“差速”，從而控制機器人的運動。機器人運動模型如圖1所示。

式中：v——機器人的線速度；

w——機器人的角速度。

移動機器人的運動學模型可表示為：

圖1 機器人的運動學模型

2 P+前饋補償控制

2.1 經(jīng)典PID控制

PID 控制作為最成熟的控制算法具有魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點，目前被廣泛應用于運動控制當中[11]。經(jīng)典PID控制系統(tǒng)由PID控制器和被控對象構(gòu)成，如圖2所示。

圖2 經(jīng)典PID控制系統(tǒng)原理

經(jīng)典PID控制器的輸入輸出偏差：

e(t)=yd(t)-y(t)，

式中：yd(t)—— 輸入給定值；

y(t)—— 輸出值。

PID的控制規(guī)律：

式中：kp—— 比例系數(shù)；

ki—— 積分時間常數(shù)；

kd—— 微分時間常數(shù)。

傳遞函數(shù)G(s)為

2.2 P+前饋控制原理

PID參數(shù)難以整定，對于允許有靜差的系統(tǒng)，可以適用簡單的比例控制，使穩(wěn)態(tài)誤差在允許的范圍內(nèi)。在閉環(huán)系統(tǒng)連續(xù)時，利用前饋的思想對比例控制器進行前饋補償，從而提升系統(tǒng)的跟蹤性能，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

總控制輸出為

u(t)=up(t)+uf(t)，

式中：up(t)—— 比例控制輸出；

uf(t)—— 前饋控制輸出。

離散化后

u(k)=up(k)+uf(k)。

3 雙閉環(huán)P+前饋控制器設(shè)計

基于P+前饋的控制算法跟蹤性能較高，故采用前饋補償?shù)谋壤刂谱鳛檫\動控制算法。根據(jù)機器人運動學方程可知，系統(tǒng)有2個自由度，3個輸出變量，故該系統(tǒng)為欠驅(qū)動系統(tǒng)。通過設(shè)計位置控制律v可實現(xiàn)[xy]兩個位置變量的主動跟蹤，同時設(shè)計姿態(tài)控制律w實現(xiàn)機器人前進方向與x軸方向夾角的隨動跟蹤。

3.1 位置控制律

取[xdyd]為目標路徑，則位置跟蹤誤差：

xe=x-xd,

ye=y-yd,

式中：xe——x方向跟蹤誤差；

ye——y方向跟蹤誤差。

可推出位置誤差的跟蹤方程：

令

vcosθ=u1，

vsinθ=u2。

則

則

取kp1>0，則當t→∞時，xe→0。

則

取kp2>0，則當t→∞時，ye→0。

令

(1)

式(1)中的θ為滿足位置控制律的角度，實際情況中θ≠θd，位置控制律無法準確地實現(xiàn)，造成閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)的不穩(wěn)定。針對這個問題，可將θ視作理想角度θd，即

實際的位置控制律為

3.2 姿態(tài)控制律

取θd為目標路徑跟蹤角度，則跟蹤的角度誤差：

θe=θ-θd，

可推出跟蹤的角度誤差的跟蹤方程：

對其取P+前饋控制設(shè)計控制器，即

則

取kp3>0，則當t→∞時，θe→0。

3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計

采用雙閉環(huán)控制的方法，設(shè)計位置[xy]的跟蹤為系統(tǒng)外環(huán)，夾角θ的跟蹤為系統(tǒng)內(nèi)環(huán)。外環(huán)中的位置子系統(tǒng)產(chǎn)生姿態(tài)指令信號θd傳遞給內(nèi)環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)通過滑膜控制律實現(xiàn)夾角θ的快速跟蹤。雙閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 具有雙閉環(huán)的移動機器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

針對角度θ與目標跟蹤角度θd不完全相等導致的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，可設(shè)計較大的姿態(tài)控制器增益kp3，讓內(nèi)環(huán)收斂速度比外環(huán)收斂速度更快，使得θ快速跟蹤θd，避免系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題。

4 仿真結(jié)果與分析

為驗證基于P+前饋控制算法的跟蹤性能，設(shè)被控對象為

取輸入信號為：yd(k)=0.5sin(6πt)，采樣時間為1 ms。在Matlab軟件中分別對經(jīng)典PID算法和基于P+前饋的控制算法進行仿真對比，仿真結(jié)果如圖5～8所示。

由圖5仿真結(jié)果可以看出，在正弦響應跟蹤時，經(jīng)典PID控制和基于P+前饋控制均能夠快速對正弦曲線進行跟蹤。但從跟蹤結(jié)果可以看出，經(jīng)典PID控制跟蹤時與正弦曲線始終無法完全重合，跟蹤效果欠佳，而基于P+前饋控制跟蹤時能夠基本與正弦曲線重合，跟蹤效果較好。

圖5 正弦響應跟蹤效果

圖6 正弦響應跟蹤誤差

圖7 階躍響應跟蹤效果

從圖6的誤差曲線可以看出，經(jīng)典PID控制在正弦響應跟蹤時跟蹤誤差來回波動無法收斂，基于P+前饋控制能夠快速跟蹤并基本消除跟蹤誤差。

由圖7中階躍響應輸入時的仿真結(jié)果可以看出，經(jīng)典PID控制跟蹤時有一定的超調(diào)量，跟蹤效果不理想，而基于P+前饋控制的跟蹤無較大波動，跟蹤較經(jīng)典PID控制更加穩(wěn)定平穩(wěn)，能夠提高系統(tǒng)的跟蹤性能。

圖8 階躍響應跟蹤誤差

從圖8的階躍響應跟蹤誤差仿真結(jié)果可知，經(jīng)典PID控制跟蹤誤差曲線的平滑性較差，而基于P+前饋控制跟蹤誤差曲線能夠快速收斂，效果較為理想。為驗證雙閉環(huán)P+前饋控制器的設(shè)計，通過Matlab進行仿真實驗，搭建的Simulink仿真模型如圖9所示。

圖9 Simulink仿真模型

從圖10和圖11可以看出，基于雙閉環(huán)的P+前饋控制能夠快速對目標路徑進行跟隨，從圖12可以看出，θd最大值為0.961 3，θd∈(-π/2，π/2)，能夠滿足雙閉環(huán)P+前饋控制器的設(shè)計要求。

圖10 機器人的運動軌跡

圖11 位置和角度的跟隨效果

圖12 微分器的輸入與輸出

5 結(jié) 論

(1)在正弦響應輸入下，經(jīng)典PID控制的跟蹤誤差存在較大的波動，其標準差約0.020 84，平均誤差約為0.006 254，P+前饋控制的跟蹤誤差能夠迅速收斂，其標準差約為0.006 71，平均誤差約為0.001 293。

(2)在階躍響應輸入下，經(jīng)典PID控制存在較大超調(diào)，約為14.1%，P+前饋控制有效減小了超調(diào)，約為0.6%。

(3)雙閉環(huán)的P+前饋控制能夠快速跟隨目標路徑，目標路徑理想跟隨角度最大值為0.961 3 rad，滿足雙閉環(huán)P+前饋控制器的設(shè)計要求。