蔣顏君，張 林

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

量子測量是量子力學(xué)的特征之一。近年來，量子測量得到廣泛研究，尤其是聯(lián)合測量。文獻(xiàn)[1]指出關(guān)于聯(lián)合可測性的討論需要從投影算子測度推廣到正算子值測度；Yu等在文獻(xiàn)[2]中討論量子的兩組測量的聯(lián)合可測性，并得出一個明確的充要條件，同時在文獻(xiàn)[3]中研究量子比特系統(tǒng)上的三組測量的聯(lián)合可測性；此外，文獻(xiàn)[4]證明了文獻(xiàn)[2]中給出的兩組二值無偏測量聯(lián)合可測的充要條件；為分析給定測量的聯(lián)合可測性，文獻(xiàn)[5]引入W-測度，并根據(jù)文獻(xiàn)[2-3]中得出的充要條件，分別討論兩組二值無偏測量的聯(lián)合可測性和兩組三值無偏測量的聯(lián)合可測性；文獻(xiàn)[6]研究一組測量的兩兩聯(lián)合可測性與共同聯(lián)合可測性的等價性。由于對二值無偏測量和三值無偏測量的聯(lián)合可測性還未曾有明確的刻畫條件，故本文研究量子比特系統(tǒng)上的二值無偏測量與三值無偏測量的聯(lián)合可測性。

1 正算子值測度與W-測度

正算子值測度與W-測度及其負(fù)性的定義如下。

定義4[5]Cd上的W-測度的負(fù)性Ν(Θ)定義如下：

2 符號表示

3 主要結(jié)論

在推導(dǎo)二值無偏測量與三值無偏測量的聯(lián)合可測性條件之前，先介紹關(guān)于兩組正算子值測度聯(lián)合可測的命題[5]，即：

正算子值測度Α和Β是聯(lián)合可測的，當(dāng)且僅當(dāng)Ν(Θ)=0。

利用上述命題，給出關(guān)于二值無偏測量與三值無偏測量的聯(lián)合可測性的定理及其證明。

定理對于量子比特測量，Α=(A1,A2)和Β=(B1,B2,B3)分別為二值無偏測量和三值無偏測量，Α和Β是聯(lián)合可測的充要條件為|a-b1+θ11|+|a+b1+θ11|+|a+b2-θ22|+|a-b2-θ22|+|a+b3-θ11+θ22|+|a-b3-θ11+θ22|≤6。

證明由文獻(xiàn)[5]可知，正算子值測度Α和Β是聯(lián)合可測的，當(dāng)且僅當(dāng)Ν(Θ)=0。此時有

(1)

則有：

(2)

由λ-(X1j-Θ1j)+λ-(X2j-Θ2j)≤0(j=1,2,3)可以得到：

|a-b1+θ11|+|a+b1+θ11|≥2

(3)

|a+b2-θ22|+|a-b2-θ22|≥2

(4)

|a+b3-θ11+θ22|+|a-b3-θ11+θ22|≥2

(5)

使用本文提出的二值無偏測量與三值無偏測量的聯(lián)合可測性定理，通過一個實例來證明滿足此定理條件的兩組測量是聯(lián)合可測的。

4 結(jié)束語

本文主要研究兩組測量的聯(lián)合可測性問題，即推導(dǎo)量子比特系統(tǒng)上的二值無偏測量與三值無偏測量的聯(lián)合可測性條件。本文的研究可以推廣到多組無偏測量聯(lián)合可測的相關(guān)研究中，為有偏測量聯(lián)合可測的研究提供一定思路。但是，本文暫未解決二值有偏測量與三值有偏測量的聯(lián)合可測性，下一步將繼續(xù)研究量子比特系統(tǒng)上的多組有偏測量的聯(lián)合可測性。