李耀華，周逸凡，趙承輝，秦玉貴

(長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，西安 710064)

0 引 言

永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制根據(jù)滯環(huán)比較器得到轉(zhuǎn)矩與磁鏈增減信號(hào)，通過(guò)查表方式確定輸出唯一電壓矢量，控制簡(jiǎn)單，響應(yīng)速度快[1-3]。但受開關(guān)表電壓矢量數(shù)量限制，且每個(gè)采樣周期只作用一個(gè)基本電壓矢量，直接轉(zhuǎn)矩控制的轉(zhuǎn)矩與磁鏈脈動(dòng)較大。為了減小脈動(dòng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)改進(jìn)開關(guān)表[4]、調(diào)節(jié)占空比[5]、空間矢量調(diào)制技術(shù)[6]等對(duì)直接轉(zhuǎn)矩控制進(jìn)行優(yōu)化。

基于系統(tǒng)離散模型的無(wú)差拍(以下簡(jiǎn)稱DB)控制令下一時(shí)刻的轉(zhuǎn)矩與磁鏈的預(yù)測(cè)值與參考值相等，理論上可以使系統(tǒng)在一個(gè)控制周期內(nèi)的轉(zhuǎn)矩誤差與磁鏈誤差為零[7]。傳統(tǒng)DB控制實(shí)時(shí)求解較為復(fù)雜的一元二次方程，并需要對(duì)方程的根進(jìn)行判斷，計(jì)算量較大。在磁鏈與轉(zhuǎn)矩變化較大時(shí)，求解出的電壓矢量超出逆變器的輸出電壓限制，無(wú)法通過(guò)空間矢量調(diào)制輸出，需要進(jìn)一步設(shè)計(jì)電壓矢量選擇策略，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜程度[8-9]。文獻(xiàn)[10-12]通過(guò)模型預(yù)測(cè)控制，輸出與DB控制理想電壓矢量最接近的基本電壓矢量，并將實(shí)際參與成本函數(shù)計(jì)算的基本電壓矢量進(jìn)行精簡(jiǎn)，計(jì)算量減少，但其性能受到基本電壓矢量個(gè)數(shù)限制。文獻(xiàn)[13]提出一種無(wú)需模型預(yù)測(cè)控制，僅通過(guò)理想電壓矢量幅值判斷確定施加電壓矢量的方法，簡(jiǎn)化了選擇方法，但仍僅輸出基本電壓矢量。文獻(xiàn)[14-15]通過(guò)改變占空比，將備選電壓矢量數(shù)目進(jìn)行拓展，以減少理想電壓矢量與實(shí)際施加電壓矢量之間的誤差，但仍涉及成本函數(shù)的計(jì)算，計(jì)算量較大。

為了降低直接轉(zhuǎn)矩控制的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，本文提出了永磁同步電機(jī)磁鏈與轉(zhuǎn)矩DB控制，建立了磁鏈與轉(zhuǎn)矩的變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型，并驗(yàn)證了簡(jiǎn)化模型的可行性，從而推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)磁鏈和轉(zhuǎn)矩DB控制的理想輸出電壓矢量計(jì)算方程。為了簡(jiǎn)化DB控制下理想電壓矢量的實(shí)現(xiàn)，提出通過(guò)理想電壓矢量角度和幅值簡(jiǎn)化選擇7個(gè)基本電壓矢量的方法(DB-MPC-7)，無(wú)需成本函數(shù)計(jì)算。為了減小理想電壓矢量與實(shí)際輸出電壓矢量之間的誤差，進(jìn)一步改善控制效果，提出一種從角度和幅值對(duì)備選電壓矢量進(jìn)行拓展的方法(DB-MPC-36r)，將備選電壓矢量角度拓展至36個(gè)，輸出電壓矢量幅值可為線性調(diào)制范圍內(nèi)任意值。該方法通過(guò)查表方式即可實(shí)現(xiàn)，無(wú)需空間矢量調(diào)制計(jì)算，簡(jiǎn)單易行。仿真驗(yàn)證了永磁同步電機(jī)磁鏈和轉(zhuǎn)矩DB控制的可行性。相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r可顯著減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，降低電流諧波含量，但平均開關(guān)頻率有所增大。

1 永磁同步電機(jī)磁鏈與轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型

忽略定子電阻壓降，由電壓矢量Vs引起的PMSM定子磁鏈運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 定子磁鏈運(yùn)動(dòng)

由圖1可知，第(t+Δt)時(shí)刻的定子磁鏈幅值如下式：

(1)

在采樣周期很小的情況下，轉(zhuǎn)子磁鏈運(yùn)動(dòng)較小，其對(duì)轉(zhuǎn)矩角的影響可以忽略不計(jì)。由圖1可知，施加電壓矢量引起的轉(zhuǎn)矩角變化如下式：

(2)

由式(2)可知，第(t+Δt)時(shí)刻的轉(zhuǎn)矩角如下式：

(3)

永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程：

(4)

式中：p，ψf，Ld和Lq分別為電機(jī)極對(duì)數(shù)，永磁體磁鏈，d軸和q軸電感。當(dāng)k=0時(shí)，Ld=Lq，式(4)即為表面式永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程。

由式(1)～式(4)可得下一時(shí)刻的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程:

k(t+Δt)sinδ(t+Δt)cosδ(t+Δt)]

(5)

由k的定義可知，下一時(shí)刻k值如下：

(6)

將式(1)、式(3)和式(6)代入至式(5)，可得下一時(shí)刻的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩表達(dá)式：

(1+q2+2qcosα)k(t)sin[δ(t)+

(7)

根據(jù)式(1)和式(7)，電壓矢量作用一個(gè)采樣周期后磁鏈和轉(zhuǎn)矩變化量如下式:

(8)

ΔTe=Te(t+Δt)-Te(t)=

(1+q2+2qcosα)·k(t)·sin[δ(t)+

sinδ(t)+k(t)·sinδ(t)cosδ(t)}

(9)

為了減少DB控制的計(jì)算量，對(duì)式(1)和式(7)進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得永磁同步電機(jī)下一時(shí)刻磁鏈與轉(zhuǎn)矩簡(jiǎn)化計(jì)算模型[16-17]:

(10)

ksinδ(t)cosδ(t)+qsin[α+δ(t)]-

k·qsin[α+2δ(t)]}

(11)

由式(10)～式(11)可得，施加電壓矢量引起的定子磁鏈幅值和轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型:

(12)

ΔTe_sim=Te(t+Δt)sim-Te(t)=

(13)

為了驗(yàn)證定子磁鏈幅值和轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型的有效性，定義施加電壓矢量引起的定子磁鏈幅值和轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化模型與常規(guī)模型的相對(duì)誤差率絕對(duì)值:

(14)

(15)

當(dāng)0

圖2 磁鏈變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型與常規(guī)模型的相對(duì)誤差

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，僅當(dāng)α接近90°和270°時(shí)，即分母過(guò)零點(diǎn)區(qū)域，誤差率較高，約占總數(shù)據(jù)的6%，其余94%區(qū)域的誤差率數(shù)據(jù)絕對(duì)值小于5%。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：采用簡(jiǎn)化模型代替常規(guī)模型來(lái)預(yù)測(cè)磁鏈變化量基本可行，即式(16)成立。

(16)

當(dāng)k=1，q=0.01，0<α≤360°，0<δ≤120°，轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型與常規(guī)模型的相對(duì)誤差率如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)矩變化量簡(jiǎn)化計(jì)算模型與常規(guī)模型的相對(duì)誤差

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，僅在分母過(guò)零點(diǎn)區(qū)域，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率較高。統(tǒng)計(jì)表明，簡(jiǎn)化模型與常規(guī)模型誤差率絕對(duì)值小于5%的情況，占總數(shù)據(jù)約90%。

不同轉(zhuǎn)矩角下，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率絕對(duì)值大于5%的數(shù)據(jù)占比情況，如表1所示。由表1可知，轉(zhuǎn)矩角較小時(shí)，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率大的數(shù)據(jù)較多。

表1 不同轉(zhuǎn)矩角下，轉(zhuǎn)矩變化誤差率絕對(duì)值大于5%數(shù)據(jù)占比

當(dāng)q=0.01，0<α≤360°，0<δ≤120°，不同k值下，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率絕對(duì)值大于5%的數(shù)據(jù)占比情況如表2所示。表2表明，僅當(dāng)k值較大時(shí)，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率大的數(shù)據(jù)較多。

表2 不同k值下，轉(zhuǎn)矩變化誤差率絕對(duì)值大于5%數(shù)據(jù)占比

當(dāng)k=1，0<α≤360°，0<δ<δmax，不同q值下，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率絕對(duì)值大于5%的數(shù)據(jù)占比情況如表3所示。表3表明，僅當(dāng)q值較大時(shí)，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率大的數(shù)據(jù)較多。

表3 不同q值下，轉(zhuǎn)矩變化誤差率絕對(duì)值大于5%數(shù)據(jù)占比

由表1～表3可知：僅當(dāng)k較大、q較大及轉(zhuǎn)矩角較小時(shí)，轉(zhuǎn)矩變化量誤差率大的數(shù)據(jù)較多，且僅限于分母過(guò)零點(diǎn)附近區(qū)域。因此，采用簡(jiǎn)化模型代替常規(guī)模型來(lái)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩變化量基本可行，即式(17)成立:

ΔTe_sim≈ΔTe

(17)

2 永磁同步電機(jī)磁鏈與轉(zhuǎn)矩DB控制

根據(jù)磁鏈與轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制思想，第(t+Δt)時(shí)刻永磁同步電機(jī)的磁鏈與轉(zhuǎn)矩值應(yīng)等于第(t+Δt)時(shí)刻的參考值，即:

(18)

(19)

由于采樣頻率較高，第(t+Δt)時(shí)刻的磁鏈和轉(zhuǎn)矩參考值可近似等于第t時(shí)刻的參考值:

(20)

(21)

由式(18)～式(21)可知，滿足DB控制的理想磁鏈與轉(zhuǎn)矩變化量如下式:

(22)

(23)

由式(12)～式(14)、式(16)～式(17)可知，施加電壓矢量一個(gè)采樣周期后，磁鏈與轉(zhuǎn)矩的變化量如下式:

(24)

k(t)sin[α+2δ(t)]}=

k(t)sin[α+2δ(t)]}

(25)

由式(24)可得：

(26)

將式(26)代入式(25)，變換可得:

(27)

在磁鏈與轉(zhuǎn)矩DB控制下，實(shí)際磁鏈與轉(zhuǎn)矩的變化量與滿足無(wú)差拍控制的理想磁鏈與轉(zhuǎn)矩變化量相同，即式(28)～式(29)成立:

(28)

(29)

將式(22)和式(23)代入至式(27)，則可求得令磁鏈與轉(zhuǎn)矩在第(t+Δt)時(shí)刻滿足DB控制的理想電壓矢量角度αDB：

(30)

(31)

通過(guò)式(30)和式(31)求解得出第(t+Δt)時(shí)刻應(yīng)施加的理想電壓矢量的幅值和角度后，采用簡(jiǎn)化電壓矢量選擇方法，從基本電壓矢量集合中選擇最優(yōu)電壓矢量作為輸出。基本電壓矢量集合如下式：

Vs∈{V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6}

(32)

式中：Vs為備選電壓矢量，V0-V6為逆變器產(chǎn)生的7個(gè)基本電壓矢量。當(dāng)輸出零電壓矢量時(shí)，可以由上一時(shí)刻的開關(guān)狀態(tài)選擇開關(guān)次數(shù)較少的V0開關(guān)狀態(tài)[18-20]。

傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制需要遍歷7個(gè)電壓矢量[21]，計(jì)算量較大。為了減少計(jì)算量，可根據(jù)靜止坐標(biāo)系下理想電壓矢量角度，減少備選電壓矢量，如式(33)所示。

(33)

將備選電壓矢量集合縮小后，可無(wú)需成本函數(shù)計(jì)算，直接通過(guò)判斷理想電壓矢量幅值大小，確定是否選擇非零電壓矢量或零電壓矢量。以備選電壓矢量為V0和V1為例，如式(34)所示，若理想電壓矢量幅值大于基本電壓矢量幅值的一半，即Udc/3，則選擇非零電壓矢量；反之，選擇零電壓矢量。

(34)

將上文所述的簡(jiǎn)化電壓矢量選擇磁鏈和轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制系統(tǒng)，記為DB-MPC-7。DB-MPC-7的系統(tǒng)控制框圖如圖4所示。

圖4 DB-MPC-7系統(tǒng)控制框圖

3 基于拓展電壓矢量集合的磁鏈和轉(zhuǎn)矩DB控制

由上文可知，DB-MPC-7選用7個(gè)基本電壓矢量中的一個(gè)近似替代理想電壓矢量，角度和幅值都受到較大限制，理想電壓矢量與施加的電壓矢量之間存在較大的誤差，影響系統(tǒng)性能。因此，本文對(duì)備選電壓矢量進(jìn)行拓展，增大備選電壓矢量數(shù)量，減小理想電壓矢量與施加電壓矢量間誤差。

圖5 [0°,60°]區(qū)間備選電壓矢量

(35)

根據(jù)理想電壓矢量的角度和幅值，DB控制最終輸出電壓矢量由式(36)確定：

(36)

由于輸出電壓矢量的角度確定已知，在確定輸出電壓矢量后，可采用查表方式直接得到電壓矢量相應(yīng)占空比。以[0, 50°]區(qū)間為例，DB-MPC-36r控制下電壓矢量對(duì)應(yīng)的三相開關(guān)占空比如表4所示。

表4 DB-MPC-36r電壓矢量三相開關(guān)占空比

圖6 DB-MPC-36r系統(tǒng)控制框圖

4 仿真對(duì)比

基于MATLAB/Simulink平臺(tái)，搭建了永磁同步電機(jī)拓展電壓矢量DB控制系統(tǒng)仿真模型，對(duì)DB-MPC-7和DB-MPC-36r進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。系統(tǒng)采樣周期為1×10-4s。仿真用永磁同步電機(jī)參數(shù)如表5所示。

表5 仿真用永磁同步電機(jī)參數(shù)

4.1 穩(wěn)態(tài)特性

為評(píng)價(jià)DB-MPC-7和DB-MPC-36r的穩(wěn)態(tài)特性，設(shè)定參考轉(zhuǎn)速為100r/min和500r/min，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)分別在空載和負(fù)載條件(50N·m)由靜止起動(dòng)。永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩和定子磁鏈幅值如圖7～圖10所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下空載轉(zhuǎn)矩

圖8 不同轉(zhuǎn)速，50 N·m

圖9 不同轉(zhuǎn)速下空載穩(wěn)態(tài)磁鏈

圖10 不同轉(zhuǎn)速，50 N.m負(fù)載下穩(wěn)態(tài)磁鏈

仿真結(jié)果驗(yàn)證了永磁同步電機(jī)磁鏈和轉(zhuǎn)矩DB控制的可行性，采用DB-MPC-7和DB-MPC-36r均可實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)靜態(tài)起動(dòng)。

定義穩(wěn)態(tài)下(0.1s～1s)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)均方根誤差、磁鏈脈動(dòng)均方根誤差如式(37)～式(38)所示，其中n為采樣總個(gè)數(shù)。

(37)

(38)

DB-MPC-7和DB-MPC-36r在不同負(fù)載和不同轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)以及穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩磁鏈脈動(dòng)如表6所示。

表6 不同控制策略下的穩(wěn)態(tài)控制性能

由表6可知，相較于DB-MPC-7，在低速空載時(shí)，DB-MPC-36r降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)60.5%，磁鏈脈動(dòng)略有上升；低速加載時(shí)，DB-MPC-36r降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)38.2%，磁鏈脈動(dòng)基本相同。在高速空載時(shí)，DB-MPC-36r降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)61.0%，磁鏈脈動(dòng)也略有下降；高速加載時(shí)，DB-MPC-36r降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)47.4%，磁鏈脈動(dòng)略有上升。仿真結(jié)果表明DB-MPC-36r可較大幅度降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

空載下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r的定子磁鏈軌跡如圖11所示。

(d) DB-MPC-36r,500 r/min

由圖11可知，DB-MPC-7和DB-MPC-36r的磁鏈軌跡都接近圓形。相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r的磁鏈軌跡更加平滑。

(a) DB-MPC-7,100 r/min

(b) DB-MPC-7,500 r/min

(c) DB-MPC-36r,100 r/min

轉(zhuǎn)速為500r/min且負(fù)載為50N·m下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r穩(wěn)態(tài)a相電流和電流總諧波含量(THD)如圖12～圖13所示。

(a) DB-MPC-7

(b) DB-MPC-36r

(a) DB-MPC-7

(b) DB-MPC-36r

由圖12～圖13可知，相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r控制下的電流波形更加平滑，總諧波含量明顯下降。

4.2 動(dòng)態(tài)特性

轉(zhuǎn)速開環(huán)下，參考轉(zhuǎn)矩在0.01s時(shí)由零階躍至 50N·m，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下轉(zhuǎn)矩動(dòng)態(tài)特性如圖14所示。

圖14 不同控制策略下轉(zhuǎn)矩階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)

由圖14可知，DB-MPC-7動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度略快于DB-MPC-36r。穩(wěn)態(tài)下，DB-MPC-7轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯大于DB-MPC-36r。

4.3 平均開關(guān)頻率

定義系統(tǒng)平均開關(guān)頻率fave如下：

(39)

式中：Nswitching為逆變器開關(guān)總次數(shù)；t為仿真總時(shí)長(zhǎng)。 不同轉(zhuǎn)速下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下的平均開關(guān)頻率如圖15所示。

圖15 不同轉(zhuǎn)速下DB-MPC-7和DB-MPC-36r的平均開關(guān)頻率

由仿真結(jié)果可知，不同轉(zhuǎn)速下DB-MPC-36r的平均開關(guān)頻率均高于DB-MPC-7。這是因?yàn)橐粋€(gè)采樣周期內(nèi)DB-MPC-7只作用一個(gè)基本電壓矢量，且相鄰采樣周期作用的基本電壓矢量可以相同，而DB-MPC-36r一個(gè)采樣周期內(nèi)作用2或3個(gè)基本電壓矢量，且相鄰采樣周期施加的電壓矢量基本不同。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)磁鏈與轉(zhuǎn)矩變化量計(jì)算模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，驗(yàn)證了簡(jiǎn)化模型的可行性。推導(dǎo)出滿足磁鏈與轉(zhuǎn)矩DB控制的理想電壓矢量，提出簡(jiǎn)化選擇7個(gè)基本電壓矢量的方法(DB-MPC-7)及從角度和幅值對(duì)備選電壓矢量進(jìn)行拓展的方法(DB-MPC-36r)。前者使用逆變器生成的7個(gè)基本電壓矢量，后者將備選電壓矢量角度擴(kuò)展至36個(gè)且幅值在線性調(diào)制范圍內(nèi)任意可調(diào)。通過(guò)仿真對(duì)比，得出結(jié)論如下：

1) 永磁同步電動(dòng)機(jī)磁鏈與轉(zhuǎn)矩DB控制可行，電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行良好。

2)DB-MPC-7通過(guò)理想電壓矢量角度和幅值確定施加的電壓矢量，無(wú)需成本函數(shù)計(jì)算，省去傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制計(jì)算。

3)DB-MPC-36r根據(jù)理想電壓矢量角度和幅值通過(guò)查表方式生成角度更加豐富且幅值連續(xù)可變的電壓矢量，從而減小施加電壓矢量與理想電壓矢量的誤差，且無(wú)需空間矢量調(diào)制，簡(jiǎn)單易行。

4) 相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r可顯著減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和電流諧波含量，動(dòng)態(tài)響應(yīng)基本相當(dāng)，但平均開關(guān)頻率有所增大。