蔣 科，林小匯，夏安銀

（西華大學 理學院，四川 成都 610039）

1 序言及預備知識

趨化性是指細胞受到空間中分布不均勻的物質(zhì)所產(chǎn)生的化學信號的刺激而產(chǎn)生的定向運動.它分為兩類：趨化吸引意味著細胞向信號濃度增加的方向移動，趨化排斥意味著細胞向信號濃度降低的方向移動.趨化性在免疫系統(tǒng)反應(yīng)、胚胎發(fā)育、腫瘤生長等生物學現(xiàn)象中起著重要作用.20 世紀70 年代，Keller和Segel［1］根據(jù)細胞黏菌的趨化現(xiàn)象提出了標準的Keller-Segel模型：

其中未知函數(shù)u（x，t）、v（x，t）分別表示細胞密度和化學信號濃度.由第2 個方程可知，細胞既消耗化學物質(zhì)，又會產(chǎn)生化學物質(zhì).考慮方程組的齊次Neumann初邊值問題，即考慮模型：

其中Ω?Rn（n∈N）是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，ν 是邊界?Ω 的單位外法向量.文獻［2-4］證明了空間維數(shù)n ＝1 時，對任意充分光滑的初值，模型（1）存在全局有界經(jīng)典解；當n ＝2，初值充分小時，同樣存在全局有界經(jīng)典解；當n≥3 時，對任意小的初值，模型（1）的解在有限時刻爆破.

由于不同生物環(huán)境中的趨化機制不同，許多學者開始關(guān)注經(jīng)典Keller-Segel 模型的各種變體，其中一類為如下只含信號消耗而沒有產(chǎn)生機制的模型：

此模型的第2 個方程表明氧氣在與細菌接觸后以固定的速率降解，并且不再產(chǎn)生額外的氧氣.針對此模型，如果考慮有界凸區(qū)域，文獻［5-6］對解的適定性問題做了大量的工作.

在大時間尺度下，細菌自身的增殖與死亡也應(yīng)該被考慮.Mimura等［7］研究了基于細菌趨化、擴散和增長的模型.他們在模型（1）中增加了Logistic源項ru-μu2（r≥0，μ ＞0）.后續(xù)的研究表明，Logistic源項對方程組解的爆破有一定的抑制作用.

Winkler［8］研究了一類含Logistic 源項的趨化模型：

其中Ω?Rn（n∈N）是一個具有光滑邊界的有界凸區(qū)域，τ ＞0.f（u）是Logistic 增長項且f（0）≥0，k≥0，μ ＞0 及

當μ足夠大時，作者證明了模型（3）存在全局有界經(jīng)典解.Wang等［9］考慮以下具有Logistic源項的趨化模型：

證明了對于適當大的μ ＞0，模型（4）存在全局經(jīng)典解；對任意的μ ＞0，模型（4）存在全局弱解.關(guān)于更多帶Logistic 源項的Keller-Segel 模型的變體以及相關(guān)結(jié)論，可參看文獻［10-13］.

自經(jīng)典的Keller-Segel 模型及一些變體模型以后，關(guān)于趨化方程組的已有研究大多集中在對其整體適定性及長時間漸進行為等性質(zhì)的研究，但是對方程組解自身定性性質(zhì)的研究，還明顯不足.最近，文獻［14］證明了模型（3）在任意空間維數(shù)上其解都有一個正的下界，這表明如果細胞有任何死亡現(xiàn)象，那么它一定是空間上的局部性質(zhì)，整個細胞種群總是持續(xù)存在的.

受到這項工作的啟發(fā)，考慮這種細胞的持續(xù)存在性是否仍然適用于只含消耗機制的趨化模型（4）.對于模型（3）而言，信號產(chǎn)生機制對質(zhì)量的持續(xù)存在性有積極的影響.但是模型（4）只含信號消耗機制.因此，對于任何給定的時間尺度，它是否仍然具有類似的性質(zhì)是一個有趣的問題.更確切地說，考慮

其中Ω?Rn（n∈N）是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，r，χ，μ ＞0.假設(shè)初始條件滿足：

在這樣的初始條件假設(shè)下，根據(jù)文獻［9］可知，存在正常數(shù)k1（n）、k2（n），使得當

時，方程組（5）存在全局有界經(jīng)典解（u，v）.基于這一全局存在性和有界性的結(jié)果，將繼續(xù)對模型（5）的解進行定性性質(zhì)的研究.

為行文方便，令

定理1.1假設(shè)Ω?Rn（n∈N）是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，且χ，r，μ ＞0.若（u，v）∈C0（ˉΩ×［0，∞））∩C2，1（ˉΩ×（0，∞））是方程組（5）的經(jīng)典解，且初值u0、v0滿足（6）式，則存在m，A，L ＞0，使得對任意的t ＞0，只要

其中m*＝m*（m，A，L，χ，r，μ，Ω）＞0.

2 一些基本的估計

引理2.1設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 且μ ＞μ0，初值u0、v0滿足（6）式.則對任意的t ＞0 有

且對任意的t0≥0 和T ＞0 有

證明將方程組（5）的第一個方程關(guān)于變量x在區(qū)域Ω內(nèi)積分有

由Cauchy-Schwarz不等式知：

再由常微分方程的比較原理可以得（9）式.將（11）式關(guān)于時間t∈（t0，t0+T）積分，再由u 的非負性可得

即（10）式成立.

以下兩個引理是研究信號消耗趨化模型時常用到的基本引理（可參看文獻［15-17］）.

引理2.2設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，初值u0、v0滿足（6）式.則對任意的t ＞0 有

‖v（·，t）‖L∞（Ω）≤‖v0（·，t）‖L∞（Ω）＝：C∞.（12）

證明將方程組（5）的第2 個方程兩邊同時乘以vp-1，再關(guān)于空間變量x 在區(qū)域Ω 內(nèi)積分，利用分部積分公式及u、v 的非負性可知，對任意的t ＞0 有

引理2.3設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，初值u0、v0滿足（6）式，則有

其中C∞是由（12）式所定義的常數(shù).

證明將方程組（5）的第2 個方程兩邊同時乘以v，再關(guān)于空間變量x在區(qū)域Ω內(nèi)積分，則對任意的t ＞0 有

再對時間積分有

其中C∞是由（12）式所定義的常數(shù).當t→∞時，可證得（13）式.

本節(jié)是為證明主要結(jié)論做一些準備.特別地，將對函數(shù)∫Ωln u進行分析并推導出它的一個下界.

引理3.1設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 和μ ＞μ0，且u 在區(qū)域ˉΩ ×（0，∞）內(nèi)非負，則對任意的t ＞0 有

證明將方程組（5）的第一個方程兩邊同時乘以，再利用Young不等式有

結(jié)合（15）和（11）式可得（14）式.

引理3.2設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 且μ ＞μ0，若存在t0，L0≥0 和T ＞0，滿足

其中m*和C∞分別是引理2.1 和（12）式所定義的常數(shù).

證明由（14）式可知，對任意的t ＞t0有

再令t：＝t0+T，則由（16）式、引理2.3 和u 的非負性可知

又因為對任意的ξ ＞0，有l(wèi)n ξ≤ξ，即可得

再由（17）和（19）式可知

即（18）式得證.

由引理3.2 的結(jié)論，可以直接得到下面的估計.

引理3.3設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 和μ ＞μ0，且t0，L0≥0 和T ＞0 分別滿足（16）和（17）式.則

證明令

因此，由引理3.2 可知

再由η的定義可證得（20）式.

引理3.4設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 且μ ＞μ0，令T，K ＞0，t0≥0，則有

其中m*是由（9）式所定義的常數(shù).

證明令

因此，由（10）式可以直接得到（22）式.

引理3.5設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 和μ ＞μ0，且t0≥0 和L0＞0 滿足（16）式，則對任意的M，T ＞0 有

其中m*和C∞分別是由（9）和（12）式所定義的常數(shù).

證明將（14）式關(guān)于時間t∈（t0，t0+T）積分，則由引理2.1、引理2.3 和（16）式以及

再結(jié)合（24）式可證得（23）式.

引理3.6令η，K ＞0，則對非負函數(shù)ψ ∈L2（Ω），若滿足

證明引理的證明可參看文獻［14］的引理4.1.

引理3.7假設(shè)φ∈C1（）是一個正的函數(shù)，且對任意的ε，σ ＞0，若滿足

則存在一個常數(shù)C（ε）＞0，使得

證明引理的證明可參看文獻［14］的引理4.3.

引理3.8令m，A，L ＞0，設(shè)（u，v）是方程組（5）的非負全局經(jīng)典解，χ，r ＞0 和μ ＞μ0，且u0∈C0（ˉΩ），v0∈C0（ˉΩ）滿足

則可以找到一數(shù)列（tk）k∈N?［0，∞），使得有

成立，其中ˉL ＝ˉL（m，L，r，χ，μ，Ω）和T ＝T（m，A，L，r，χ，μ，Ω）都為正常數(shù)，k∈N，tk＜tk+1＜tk+T，且當k→∞時，有tk→∞.

證明令

取適當?shù)腒，M ＞0 滿足

其中m*＞0 是由引理2.1 所定義的常數(shù).記

對引理3.8 的證明主要是利用微分不等式（14）和一個迭代理論.令

其中C（ε）是由引理3.7 所給定的常數(shù).固定適當大的T ＞0 滿足

其中C∞是由（12）式所定義的常數(shù).

在上面的假設(shè)條件下，需要證明（30）式成立.以下運用數(shù)學歸納法對其進行證明.令t1＝0，并且假設(shè)當j∈｛1，2，…，k｝時，有

成立.接下來證明當j ＝k+1 時，存在

使得（40）式同樣成立.

為此，引入集合

取L0：＝，t0：＝tk，則當j ＝k 時，由（39）和（40）式可得（16）和（17）式.再由引理3.3 和η 的定義可得

其次，由（31）式可知η≤m*，即有

取t0：＝tk，再根據(jù)（32）和（38）式以及引理3.4可得

最后，由（40）式和引理3.5 可知

再根據(jù)（33）和（37）式可知

結(jié)合（42）和（43）式可得

即（41）式得證.

接下來證明對任意的t∈S1∩S2∩S3有

為此，固定t∈S1∩S2∩S3，再根據(jù)引理3.6 以及σ和ε的定義，可得

因此，由引理3.7 可知

由于t也屬于S3，故有

再由（36）式可得（44）式.因此，當j ＝k+1 時，存在

使得（40）式成立，即引理得證.

4 主要結(jié)果的證明

結(jié)合引理3.8 和引理3.3 可以得證本文的主要結(jié)論.

定理1.1 的證明由引理3.8 知，存在數(shù)列（tk）k∈N?［0，∞），使得當k→∞時，有tk→∞，且對所有的k∈N，有

成立.令t0：＝tk，再根據(jù)引理3.3 知，存在～tk∈（tk，tk+T），使得

其中η是由（21）式所定義的常數(shù)，且對任意的k∈N，有.

又因為對任意的t ＞0，有

再結(jié)合（45）式，對任意的t∈［0，～tk）有

對于較大的時間t，當k≥2 時，由tk＜tk-1+T和tk＜＜tk+T 可以推出＜+2T.因此，由（46）式可知，對任意的有

取m*：＝min｛ηe-2rT，ηe-r～t1｝，又因為當k→∞時，有～tk＞tk→∞，再結(jié)合（47）式可得證（8）式.